Questões de Matemática e Computação Numérica

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Sejam os vetores u, v e w no R3. Considere ainda o vetor nulo 0. É incorreto afirmar que: 
 
 
 
 
u x v = v x u 
 
 
u + 0 = u 
 
 
u.v = v.u 
 
 
u + v = v + u 
 
 
(u + v) + w = u + (v + w) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
 
 
17/16 
 
 
- 2/16 
 
 
16/17 
 
 
2/16 
 
 
9/8 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). 
 
 
 
 
- 4/3 
 
 
- 0,4 
 
 
- 3/4 
 
 
4/3 
 
 
3/4 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 
 
 
2 
 
 
-7 
 
 
-8 
 
 
-11 
 
 
3 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado 
nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida 
vendedora, expresse seu salário em função de x. 
 
 
 
 
1000 + 0,05x 
 
 
1000 
 
 
1000 + 50x 
 
 
50x 
 
 
1000 - 0,05x 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
-3 
 
 
-11 
 
 
-7 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
-7 
 
 
-11 
 
 
-3 
 
 
 
 
8. 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por 
exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na 
qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual 
a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
 
 
Função logaritma. 
 
 
Função linear. 
 
 
Função exponencial. 
 
 
Função quadrática. 
 
 
Função afim. 
 
Considere o conjunto de instruções: Enquanto A ≥ B faça A = A - B Fim enquanto Se os valores iniciais de A e B 
são, respectivamente, 12 e 4, determine o número de vezes que a instrução será seguida. 
 
 
Indefinido 
 
0 
 
1 
 
2 
 3 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403758250) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o 
intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é 
ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas 
lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR: 
 
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em 
pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
 
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para 
expressarem as ações a serem executadas. 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No 
pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if". 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de 
uma ação é a entrada de outra. 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes 
determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403747208) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 
0,435. Esse erro é denominado: 
 
 De truncamento 
 
Relativo 
 
De modelo 
 
Percentual 
 
Absoluto 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403289748) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado 
de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro 
relativo. 
 
 
 0,1266 
 0,2667 
 0,30 
 0,6667 
 0,1667 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403283976) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha 
encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, 
respectivamente: 
 
 3.10-2 e 3,0% 
 2.10-2 e 1,9% 
 0,030 e 1,9% 
 0,030 e 3,0% 
 0,020 e 2,0% 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403286789) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 apenas III é verdadeira 
 apenas I é verdadeira 
 apenas II é verdadeira 
 todas são falsas 
 todas são verdadeiras 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201403241955) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro 
relativo. 
 
 
0,023 E 0,026 
 0,026 E 0,023 
 
0,026 E 0,026 
 
0,013 E 0,013 
 
0,023 E 0,023 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201403241957) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de: 
 
 Erro relativo 
 
Erro fundamental 
 
Erro absoluto 
 
Erro conceitual 
 
Erro derivado 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o 
escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
intervalo: 
 
 
[3/2,3] 
 
[0,3] 
 
[1,3] 
 
[1,2] 
 [0,3/2] 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403372382) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. 
percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que: 
 
 
É o valor de f(x) quando x = 0 
 
Nada pode ser afirmado 
 
É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 É a raiz real da função f(x) 
 
É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403242008) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais 
para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
valor: 
 
 
1 
 1,5 
 
-0,5 
 
0,5 
 
0 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403284321) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os 
expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Bisseção 
 Gauss Jordan 
 Newton Raphson 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403284320) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto 
afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 (-0,5; 0,0) 
 (0,9; 1,2) 
 (0,2; 0,5) 
 (0,5;0,9) 
 (0,0; 0,2) 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403284099) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma 
raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta 
equação. 
 
 0,625 
 
 0,715 
 0,687 
 0,750 
 0,500 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201403241998) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para 
determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1 
 
 
5 e 6 
 1 e 2 
 
4 e 5 
 
2 e 3 
 
3 e 4 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201403242000) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o 
escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
intervalo: 
 
 [1,10] 
 
[-4,5] 
 
[0,1] 
 
[-8,1] 
 
[-4,1] 
 
Em nossa vivência matemática, lidamos com diversas funções, incluindo aquelas denominadas de 
transcendentais (seno, cosseno, exponencial, logarítma etc) e as funções polinomiais, que seguem o padrão 
f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+....+an, onde os coeficientes designados pela letra "a" são, no âmbito de nosso estudo, 
números reais. Para resolver equações expressas com estes tipos de funções, podemos utilizar métodos 
numéricos entre os quais o Método do Ponto Fixo ou Método Iterativo Linear. Considerando as características 
deste método, só NÃO podemos citar: 
 
 
As funções equivalentes utilizadas no método do ponto fixo utilizam um valor inicial x0 a partir do 
qual inicia-se uma sequência iterativa de investigação das raízes. 
 
Métodos de investigação do intervalo de existência de raízes utilizados em outros métodos, como 
por exemplo o do método da bisseção, podem ser utilizados no método do ponto fixo. 
 O método do ponto fixo é utilizado para funções, contínuas ou não, que apresentam alguma raiz 
em um intervalo numérico. [a,b]. 
 
O método do ponto fixo utiliza uma função equivalente a função original, pois em alguns casos 
esta última não facilita a investigação das raízes. 
 
O método do ponto fixo pressupõe o conhecimento do intervalo de ocorrência das raízes. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403242015) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da 
equação f(x) = x3 - 4x + 7 = 0 
 
 
7/(x2 - 4) 
 -7/(x2 - 4) 
 
-7/(x2 + 4) 
 
7/(x2 + 4) 
 
x2 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403748462) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- 
Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: 
x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
 
 0,4 
 
0,6 
 
0,8 
 
1,0 
 
1,2 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403241993) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para 
determinação da raiz da função f(x) = x3 -8x -1 
 
 
0,5 e 1 
 1 e 2 
 
3,5 e 4 
 
0 e 0,5 
 2 e 3 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403242036) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se 
como pontos iniciais x0 = 2 e x1= 4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 
 
 
-2,2 
 2,4 
 
-2,4 
 
2,0 
 2,2 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403812130) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como: f(x)=φ(x)-x=0, assim para calcular a raiz da 
equação x2-3x+ex=2 empregando o MPF, determine qual função abaixo NÃO corresponde a uma função de 
iteração. 
 
 
 
 
φ(x)=2-x2-ex-3 
 φ(x)=-x2+3x+2 
 
φ(x)=2-exx-3 
 
φ(x)=2+3x-ex 
 
φ(x)=ln(2-x2+3x) 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201403378227) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Considere a função polinomial f(x) = 2x5 + 4x + 3. Existem vários métodos iterativos para se determinar as 
raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto 
inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será: 
 
 
1,25 
 
1,75 
 
-1,50 
 
0,75 
 -0,75 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201403372367) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja 
satisfeito. Pode ser um critério de parada, considerando ε a precisão: 
 
 
O produto de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
A soma de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 
O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
A soma de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
Ao realizarmos a modelagem matemática de um problema analisado pela pesquisa operacional, acabamos 
originando um sistema de equações lineares que, na maioria das vezes, devido a sua grande extensão exige 
bastante nos processos de resolução. Para nos auxiliar nesta árdua tarefa, existem os métodos numéricos, nos 
quais a representação matricial do sistema de equações é essencial. 
Considerando o sistema a seguir, encontre a opção que o represente através de uma matriz aumentada ou 
completa. 
 
x +3z=2 
5y+4z=8 
4x+2y=5 
 
 1 4 5 3 
8 2 0 1 
1 2 2 3 
 
 1 2 0 3 
0 8 5 4 
4 5 2 0 
 
 1 3 0 2 
0 4 5 8 
4 0 2 5 
 
 1 0 3 2 
0 5 4 8 
4 2 0 5 
 
 1 2 0 3 
4 5 8 0 
1 2 0 3 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403758349) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares 
para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre 
as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de 
sistemas lineares. 
 
 
Método do ponto fixo. 
 
Método de Newton-Raphson. 
 
Método da falsa-posição. 
 
Método da bisseção. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403758351) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Gauss-Jacobi representa uma poderosa ferramenta que utilizamos para resolver sistemas 
lineares, baseado na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G. Neste Método, 
comparamos as soluções obtidas em duas iterações sucessivas e verificamos se as mesmas são inferiores a uma 
diferença considerada como critério de parada. Considerando o exposto, um sistema de equações lineares 
genérico com quatro variáveis x1, x2, x3 e x4 e um critério de parada representado por 0,050, determine qual a 
menor interação que fornece uma solução aceitável referente a variável x1: 
 
 
Segunda interação: |x1(2) - x1(1)| = 0,15 
 
Quarta interação: |x1(4) - x1(3)| = 0,020 
 Terceira interação: |x1(3) - x1(2)| = 0,030 
 
Primeira interação: |x1(1) - x1(0)| = 0,25 
 
Quinta interação: |x1(5) - x1(4)| = 0,0104a Questão (Ref.: 201403758355) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para 
os casos em que o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e 
Gauss-Seidel. Com relação a estes métodos, NÃO podemos afirmar: 
 
 Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, xk representa uma solução 
quando o módulo de xk-x(k-1) for superior a precisão. 
 
Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que 
garante a convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1. 
 
Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a 
precisão. 
 
Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, 
segundo um critério numérico de precisão, paramos o processo. 
 
Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema 
xk=Cx(k-1)+G. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403758346) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições 
de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, 
identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas. 
 
 
Método de Decomposição LU. 
 
Método de Gauss-Seidel. 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método de Gauss-Jacobi. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403697950) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos diretos, como o de Gauss-
Jordan. Com relação aos métodos diretos é correto afirmar que: 
 
 Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento. 
 
Fornecem a solução exata do sistema linear a partir das iterações consecutivas. 
 
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, por conta das iterações que ocorrem 
 
Não são adequados para a resolução de sistemas de equações lineares. 
 
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201403748475) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma 
ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA. 
 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a 
convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-
Jacobi. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em 
transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado 
pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir 
para a solução do sistema. 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201403284014) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos 
iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: 
 
 no método direto o número 
de iterações é um fator 
limitante. 
 não há diferença em 
relação às respostas 
encontradas. 
 os métodos iterativos são 
mais simples pois não 
precisamos de um valor 
inicial para o problema. 
 o método direto apresenta 
resposta exata enquanto o 
método iterativo pode não 
conseguir. 
 o método iterativo 
apresenta resposta exata 
enquanto o método direto 
não. 
1. 
 
Em Cálculo Numérico, interpolação polinomial consiste em substituir a função 
original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de tornar possível ou 
facilitar certas operações matemáticas. Este procedimento é realizado, por 
exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função 
para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um 
ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são 
 
 
complicadas ou impossíveis de serem realizadas. Com relação a interpolação 
linear, NÃO podemos afirmar: 
 
 
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de 
Lagrange. 
 
 
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de 
Newton-Raphson. 
 
 
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de 
Newton. 
 
 
Para interpolarmos um polinômio de "n", devemos ter "n+1" pontos. 
 
 
O polinômio de grau "n" interpolado em "n+1" pontos é único. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
2. 
 
 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje 
encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - 
método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este 
polinômio interpolador? 
 
 
 
 
grau 31 
 
 
grau 20 
 
 
grau 30 
 
 
grau 32 
 
 
grau 15 
 
 
 
 
3. 
 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial 
de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método 
como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), 
(3,7) e (2,5). 
 
 
 
 
y=x2+x+1 
 
 
y=2x-1 
 
 
y=2x+1 
 
 
y=2x 
 
 
y=x3+1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
4. 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um 
laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se 
relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o 
 
 
número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por 
interpolação polinomial? 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
3 
 
 
2 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
5. 
 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para 
grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), 
(x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) 
interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 
 
 
Será de grau 9, no máximo 
 
 
Sempre será do grau 9 
 
 
Nunca poderá ser do primeiro grau 
 
 
Poderá ser do grau 15 
 
 
Pode ter grau máximo 10 
 
 
 
 
6. 
 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) 
que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo 
Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
 
 
Função linear. 
 
 
Função logarítmica. 
 
 
Função exponencial. 
 
 
Função quadrática. 
 
 
Função cúbica. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis 
"x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável 
y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinadoíndice inflacionário (variável y), 
entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar 
uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode 
 
 
ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos 
afirmar: 
 
 
Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de 
Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y). 
 
 
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" 
pontos. 
 
 
As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) 
podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange. 
 
 
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, 
precisamos de dois pontos (x,y). 
 
 
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" 
pontos. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
8. 
 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias 
de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos 
(x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 
4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que 
ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
 
 
Integração. 
 
 
Determinação 
de raízes. 
 
 
Derivação. 
 
 
Interpolação 
polinomial. 
 
 
Verificação de 
erros 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, 
isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este 
método para resolver a integral definida com a n = 10, 
cada base h terá que valor? 
 
 
 
 
 
 
indefinido 
 
 
0,1 
 
 
0,2 
 
 
2 
 
 
1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
2. 
 
Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, 
não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de 
 
 
 
integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base 
na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua 
integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. 
Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA. 
 
 
Integral = 0,31 
 
 
Integral = 0,63 
 
 
Integral = 1,50 
 
 
Integral = 0,15 
 
 
Integral = 1,00 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos 
retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos 
congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida 
com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 
200, cada base h terá que valor? 
 
 
 
 
 
0,250 
 
 
0,050 
 
 
0,500 
 
 
0,025 
 
 
0,100 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
4. 
 
 
O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se 
ao fato de que: 
 
 
 
 
 
Os trapézíos se ajustarem a curva da função 
 
 
Os trapézios não terem uma boa aplicação de calculo de integrais 
 
 
Esta regra não leva a erro. 
 
 
Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função 
 
 
O melhor é utilizar uma calculadora para o calculo 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
5. 
 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que 
representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados 
apresentados acima é do tipo 
 
 
 Y = b + x. ln(a) 
 
 
 Y = b + x. log(a) 
 
 
Y = ax2 + bx + c 
 
 
Y = ax + b 
 
 
Y = abx+c 
 
 
 
 
6. 
 
 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a 
integração de polinômios de que grau? 
 
 
 
 
 
terceiro 
 
 
segundo 
 
 
nunca é exata 
 
 
primeiro 
 
 
quarto 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
 
A literatura especializada oferece diversos métodos para cálculo de área 
sob a curva, sendo a Regra dos Trapézios de fácil execução, fornecendo 
bons resultados quanto a precisão. Considerando que a integral definida 
de uma função f(x) no intervalo [a,b] neste método é dada por h/2 
[f(x1)+ 2.f(x2)+ 2.f(x3)+.... f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada 
subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do 
intervalo [a,b] em "n" partes, obtenha a integral da função f(x)=2x no 
intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a 
opção CORRETA. 
 
 
 
 
 
10,0 
 
 
22,5 
 
 
12,3 
 
 
45,0 
 
 
20,0 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
8. 
 
 
O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos 
criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de 
Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no 
intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 
2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada 
subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do 
intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral 
da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 
partes. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
 
 
293,2 
 
 
146,6 
 
 
220 
 
 
20,0 
 
 
73,3 
 
 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, 
exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros 
métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através 
R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a 
integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha 
R2,1para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas 
decimais. 
 
 
 
 
0,382 
 
 
1,567 
 
 
0,725 
 
 
1,053 
 
 
0,351 
 
 
 
 
2. 
 
 
Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da 
Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da 
Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-
b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, 
considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha 
R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas 
decimais. 
 
 
 
 
1,313 
 
 
0,939 
 
 
0,313 
 
 
1,230 
 
 
0,625 
 
 
 
 
3. 
 
 
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos 
fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. 
Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que apresenta expressão 
relacionada a este método. 
 
 
 
 
R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
 
 
[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)] 
 
 
xn+1=xn- f(x) / f'(x) 
 
 
xk=Cx(k-1)+G 
 
 
Ax=B, com A, x e B representando matrizes 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
4. 
 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas 
numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo 
diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
 
Permite a obtenção de diversos pontos que originamuma função passível de 
integração definida. 
 
 
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 
 
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
 
Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 
 
Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
5. 
 
Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes 
afirmações: 
 
I - É um método de alta precisão 
 
 
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do 
trapézio 
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
É correto afirmar que: 
 
 
 
todas são corretas 
 
 
todas são erradas 
 
 
apenas II e III são corretas 
 
 
apenas I e II são corretas 
 
 
apenas I e III são corretas 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
6. 
 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é 
correto afirmar que: 
 
 
 
 
É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração 
 
 
É um método de pouca precisão 
 
 
Só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
 
Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos 
retângulos 
 
 
Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do 
trapézio 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior 
e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 
^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 
 
 
 
 
1/5 
 
 
1/4 
 
 
1/2 
 
 
1/3 
 
 
0 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
8. 
 
 
Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais 
definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. 
Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg: 
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios 
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos 
trapézios 
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter 
aproximações preliminares 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 
 
 
 Apenas II e III 
são 
verdadeiras. 
 
 
Todas as 
afirmativas 
estão 
corretas 
 
 
 Todas as 
afirmativas 
estão 
erradas. 
 
 
 Apenas I e III 
são 
verdadeiras 
 
 
 Apenas I e II 
são 
verdadeiras 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva 
que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando 
a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação 
diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a 
opção CORRETA. 
 
 
 
 
3 
 
 
0 
 
 
-3 
 
 
1 
 
 
-2 
 
 
 
 
2. 
 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de 
equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método 
é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto 
associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
 
1,00 
 
 
2,54 
 
 
2,50 
 
 
1,34 
 
 
3,00 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos 
equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de 
funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem 
é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução 
do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" 
representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere 
o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
 
0 
 
 
-1 
 
 
1 
 
 
-2 
 
 
2 
 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com 
a condição inicial dada, considerando duas divisões do intervalo entre x0 e 
xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
 
 
1,0000 
 
 
1,7776 
 
 
1,6667 
 
 
15555 
 
 
1,5000 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y 
+ 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] 
em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, 
determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 
 
 
2 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
3 
 
 
7 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a E.D.O. y¿ = x + y, com a condição de contorno y(0) = 1 e h=1. A solução da EDO 
empregando o método de Euler calculada no intervalo [0; 5] é: (Demonstre os cálculos) 
 
 
 
 
27 
 
 
121 
 
 
5 
 
 
12 
 
 
58 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y 
+ 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em 
apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1e, aplicando o método de Euler, 
determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada. 
 
 
 
 
21 
 
 
22 
 
 
25 
 
 
23 
 
 
24 
1. 
 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é 
y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 
2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição. 
 
 
 
 
0 
 
 
0,5 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
0,25 
 
 
 
 
2. 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é 
y(x) = a.e^x, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado 
 
 
é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta 
condição. 
 
 
3 
 
 
1/2 
 
 
1 
 
 
0 
 
 
2 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a E.D.O. y' = x + y, com a condição de contorno y(0) = 1 e h=1. A solução da EDO 
empregando o método de Euler calculada no intervalo [0; 4] é: (Demonstre os cálculos) 
 
 
 
 
2 
 
 
58 
 
 
5 
 
 
12 
 
 
27 
 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com 
a condição inicial dada, considerando que não há divisão do intervalo entre 
x0 e xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
 
 
1,7776 
 
 
1,5555 
 
 
1,0000 
 
 
1,5000 
 
 
1,6667 
 
 
 
 
5. 
 
Considere a equação diferencial y'= e2x, sendo y uma função de x. Sua 
solução geral é 
 
 
 y(x)=(e2x/2) + C , onde C é uma constante. Se a condição inicial é tal 
que 
 y(12)=e2, determine o valor de C para esta condição. 
 
 
 
C = 0 
 
 
C = 1 
 
 
C = 2 
 
 
C = 3 
 
 
C = 10 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dado o problema de valor inicial xy' = x - y e y(2) = 2, 
determine y(2,01) com h = 0,1. 
 
 
 
 
1,02 
 
 
2,0002 
 
 
2,20 
 
 
2,22 
 
 
1,022 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y 
(x). A soluçãogeral desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um 
número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a condição inicial tal que 
y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição. 
 
 
 
 
1/2 
 
 
4 
 
 
1/5 
 
 
5 
 
 
2 
 
 
 
8. 
 
 
Considere a equação diferencial y=e3x, sendo y uma função de x. Sua 
solução geral é y(x) = (e3x/3) + C , onde C é uma constante. Se a 
condição inicial é tal que y(13)=e3, determine o valor de C para esta 
condição. 
 
 
 
 
C = 3 
 
 
C = 0 
 
 
C = 2 
 
 
C = 1 
 
 
C = 4