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Chama-se de traço de uma matriz quadrada X e representa-se por tr(X) a soma dos elementos da sua diagonal 
principal. Sendo A = [aij] uma matriz quadrada de ordem par onde aij=1 se i é par ou aij=-1 se i é ímpar. 
Determine tr(3A). 
 
 
 
3 
 1 
 
2 
 
4 
 0 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407131841) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram 
modelados segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada 
em Bauru e a matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes 
são referentes ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. 
A primeira linha representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes 
M1 e M2 fornecem o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base 
nessas informações, pode-se afirmar que os custos de produção e transporte do produto B 
são respectivamente iguais a: 
 
 
 
 
87 e 93 
 
63 e 55 
 140 e 62 
 
74 e 55 
 102 e 63 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407091863) Fórum de Dúvidas (3) Saiba (0) 
 
Considere as matrizes A=[abc532246] e B=[a51b32c23] de determinantes não nulos. 
Apresente uma relação entre os determinantes das matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
det A = det B 
 
det A = 3det B 
 det B = 2det A 
 det A = 2 det B 
 
det A = -det B 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407091109) Fórum de Dúvidas (3) Saiba (0) 
 
Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, 
-2), (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
 
 
 
b) 24 
 
c) 26 
 d) 28 
 
e) 30 
 a) 22 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407091859) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a 
matriz[3104025623804751] onde cada elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas 
para fabricar um aparelho do tipo i. Determine o total do material 2 que será empregado para fabricar oito 
aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4. 
 
 
 50 
 
10 
 30 
 
20 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407091145) Fórum de Dúvidas (3 de 3) Saiba (0) 
 
Suponha que tenhamos dois alunos X e Y que obtiveram as seguintes notas nos meses de março e 
abril: 
março Português Matemática Física 
Aluno X 7 6 6 
Aluno Y 6 4 5 
Podemos ter matrizes representativas das notas de cada aluno nos dois meses: A e B, respectivamente. Determinando a matriz que representa 
as médias de cada aluno em cada uma das matérias, obtemos: 
 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6 4 5 
Aluno Y 5,5 4,5 5,5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 7,5 4,5 5 
Aluno Y 5,5 5 5,5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6,5 4 5 
Aluno Y 5,5 4 5,5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6,5 4,5 5 
Aluno Y 5 4,5 5 
 
 Média Português Matemática Física 
Aluno X 6,5 4,5 5 
Aluno Y 5,5 4,5 5,5 
 
 
Seja A= [11232-1-104] uma matriz 3x3 não singular. Sabendo que 
A-1 =[8-4-5-a672-1b] é a inversa da matriz A, 
determine os valores de a e b 
 
 
 a = 11 e b =-1 
 a = -11 e b = -1 
 
a=-11 e b=2 
 
a= -11 e b = -2 
 
a =11 e b=2 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407091202) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dada a matriz X abaixo, determine a matriz Z = X.Xt. 
X = [123] 
 
 
 [14] 
 [3 2 1] 
 
[1 0 4] 
 
[0] 
 
[1] 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407308985) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a matriz inversa da matriz A se existir. 3 6 A= 1 2 
 
 
 não existe a matriz inversa. 
 
2 6 3 2 
 
3 2 1 6 
 
2 1 6 3 
 
1 2 3 6 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407091866) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja A =[11232-1-104] uma matriz não singular. 
Sabendo que A-1 = [8-4-5-a672-1b] 
 determine os valores de a e b 
 
 
 a=11 e b=-1 
 
a=13 e b=1 
 
a=-11 e b=1 
 
a=10 e b=2 
 
a=9 e b=3 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407089837) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual matriz abaixo 
é anti-simétrica: 
 
 
 [0ab-a0-c-b-c0] 
 
[0ab-a0c-bc0] 
 
[0aba0c-b-c0] 
 
[0ab-a0cb-c0] 
 [0ab-a0c-b-c0] 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407091133) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica 
M=[53x+yx-y4z-3-12x] 
 
 
 
1,2,5 
 
-1,2,5 
 1,-2,5 
 
1,2,-5 
 -1,2,-5 
 
Quais os valores de a e b para que o sistema abaixo não tenha solução. 
 
2x + 1y - 3z = 1 
1x - 2y + 3z = 2 
3x - 1y - az = b 
 
 
 
a≠0 e b=-3 
 a=0 e b≠3 
 
a≠0 e b=3 
 
a=0 e b≠-3 
 
a=1 e b≠0 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407131838) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. 
As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e 
são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o 
sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes 
quantidades de caixas: 
 
 
 
 
2, 1, 3 
 
4, 5, 1 
 2, 3, 1 
 
1, 2, 3 
 
1, 4, 5 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407134182) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Vinte pacientes apresentaram-se a um médico, e cada um deles possuía uma dessas enfermidades: calafrio (x), 
febre (y) e vômito (z). Houve 10 pacientes que queixaram-se de febre ou de vômito; doze apresentaram os 
sintomas de calafrio ou de febre. Qual o número de pacientes afetados pela febre? 
 
 
 
8 
 
10 
 
6 
 2 
 12 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407131836) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma das idades de duas pessoas 
totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas pessoas é igual a 20. Abaixo está representado o 
sistema referente a essa situação. É correto afirmar que a idade da pessoa mais velha corresponde a : 
 
 
 
 
 
60 anos 
 58 anos 
 
76 anos 
 
50 anos 
 
82 anos 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407091842) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma criança economizou a quantia de R$500,00 guardando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 95 
cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais eram iguais. Neste caso, qual a 
quantidade de cédulas de cinco reais a criança economizou? 
 
 
 45 
 
35 
 15 
 
25 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407091353) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com 3 equaçõese 3 variáveis (x, y, z). Seja A 
a matriz dos coeficientes das variáveis deste sistema. Se o determinante da matriz A for igual a zero (det A = 
0), então pode-se afirmar que para as variáveis (x, y, z) do sistema: 
 
 
 
Admite uma única solução 
 
Admite apenas três soluções reais 
 
Admite apenas soluções complexas 
 Admite infinitas soluções 
 Não admite solução real 
 
O valor de k para que as equações ( k - 2 ) x + 3y = 4 e 2x + 6y = 8 , represente no plano cartesiano um par 
de retas coincidentes é: 
 
 
 k = 3 
 
k = 6 
 
k = 7 
 k = 4 
 
k = 5 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407715537) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O sistema de equações 2 x + y = 3 e 4 x + 2y = 5 , representa no plano cartesiano um par de retas: 
 
 
 
coincidentes 
 
reversas 
 paralelas distintas 
 concorrentes 
 
simétricas 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407715583) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O sistema de equações (a-2) x + 2y = 4 e 3x -3y = 9 tem como representação gráfica no plano cartesiano duas 
retas paralelas. O valor de a é : 
 
 
 
-1 
 
2 
 1 
 0 
 
-2 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407715544) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para que o sistema de equações ax + 2y = 3 e x + y = 5 , represente no plano cartesiano um par de retas 
paralelas o valor de a deve ser: 
 
 
 
a =5 
 
a = 3 
 a = 2 
 a = 6 
 
a = 4 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407715579) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para que o sistema de equações (a-2) x + 3y = 4 e 2x-6y =10 tenha representação gráfica de retas 
concorrentes, devemos ter: 
 
 
 
a igual a 1 
 a diferente de 1 
 a igual a 2 
 
a diferente de 2 
 
a igual a - 3. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407715542) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para que o sistema de equações (a-1) x + 3 y = 5 e 3 x + 6 y = 10 , represente no sistema cartesiano retas 
coincidentes , o valor de a deve ser igua a : 
 
 
 
a = 6,5 
 a = 3,5 
 a = 2,5 
 
a = 5, 5 
 
a = 4,5 
 
Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os seguintes subconjuntos de V: 
W1={A=[abcd]: det A≠0} 
W2={A=[a0bc]} 
W3={A=[abcd]: det A=1} 
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares} 
W5={A=[abcd]: a,b,c,d são números racionais} 
Selecione os subespaços vetoriais de V 
 
 
 
W1, W2 e W5 
 W2 e W4 
 
W2 , W4 e W5 
 
W1, W2 e W4 
 W2 e W5 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407086995) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,-1,3) e de v = (2,4,0): 
I - (3, 3, 3) 
 
II - (2, 4, 6) 
 
III - (1, 5, 6) 
 
 
 
I - III 
 
II - III 
 
I 
 
I - II - III 
 
II 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407716432) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dados os vetores u = (1, -2, -3, -1, 0) e v = (9, -4, -2, 0, 3) de R5. Marque a alternativa 
abaixo que indica as operações u + v, 3v e u - 2v , nessa ordem. 
 
 
 (10, -6, 1, -1, 3), (27, -12, -6, 0, 9) e (-17, 6, 7, -1, -6) 
 (10, 6, 1, -1, -3), (17, 12, -6, 0, 9) e (17, 6, 7, -1, -6) 
 
(-7, -6, 17, -1, 6), (27, -12, 6, 0, 0) e (10, 6, 1, -1, -3) 
 
(27, -12, -6, 0, 9), (10, -6, 1, -1, 3) e (17, 6, 7, -1, -6) 
 
(-17, 6, 7, -1, -6), (27, -12, 0, 0, 9) e (10, -6, 1, -1, 3) 
 
 Gabarito Comentado Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407716468) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa 
que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w. 
 
 
 
x = (-5/2, -2, -2) 
 
x = (2, -2, 0) 
 x = (-2, 2, 5/2) 
 x = (2, -2, -5/2) 
 
x = (2, -2, -5) 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407716436) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja u = (1,1,0) , w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares 
x, y e z de modo que w - r = u. 
 
 
 x = 3, y = 3 e z = -2 
 
x = -3, y = 3 e z = -2 
 x = -3, y = -3 e z = -2 
 
x = 3, y = 3 e z = 2 
 
x = 3, y = -3 e z = 2 
 
 Gabarito Comentado Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407716462) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa 
que indica a solução de 2u + v = 3w. 
 
 
 
(7, 2, 0) 
 (-7, -3, 1) 
 
(6, -2, 0) 
 (-7, 2, 0) 
 
(-6, 1, 0) 
 
Dado o conjunto de vetores S = { ( 2, -5 ) , ( -1 , 3 ) } e sendo W o conjunto de todos os vetores gerados por combinação 
linear dos vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) , denotado por W = Span { S } , marque a alternativa correta 
 
 
 os vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) estão em W 
 
 os vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) não estão em W 
 
 W possui 2 vetores 
 
o vetor nulo não está em W 
 
 W possui uma quantidade finita de vetores 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407091209) Fórum de Dúvidas (1 de 2) Saiba (1 de 1) 
 
Complete a afirmativa abaixo com a alternativa correta: 
Os vetores v1, v2, ... , vp em um Espaço Vetorial V formam uma base para V se ... 
 
 
 
um dos vetores v1, v2, ... , vp é o vetor nulo 
 os vetores v1, v2, ... , vp geram V e são linearmente independentes 
 
os vetores v1, v2, ... , vp são linearmente dependentes 
 os vetores v1, v2, ... , vp formam um subespaço de V 
 
os vetores v1, v2, ... , vp formam um subconjunto de V 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407091136) Fórum de Dúvidas (1 de 2) Saiba (1 de 1) 
 
Dados os vetores: v1 = [22-1] , v2 = [341] , v3 = [121] e v4 = [284] , marque a alternativa correta 
 
 
 
 v2 não é combinação linear de v1 , v2 , v3 e v4 
 
 v4 não é combinação linear de v1 , v2 e v3 
 
 v1 não é combinação linear de v1 , v2 , v3 e v4 
 
v4 não é combinação linear de v1 , v2 , v3 e v4 
 v4 é combinação linear de v1 , v2 e v3 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407086995) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,-1,3) e de v = (2,4,0): 
I - (3, 3, 3) 
 
II - (2, 4, 6) 
 
III - (1, 5, 6) 
 
 
 
I - II - III 
 
I - III 
 
II 
 I 
 
II - III 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407087000) Fórum de Dúvidas (2) Saiba (1) 
 
Qual a condição para K, para que os vetores sejam Linearmente Independentes? v1 = (1, -2, K); v2 = (1, 0, 1) 
e v3 = (1, -1, -2). 
 
 
 K ≠ 0 
 
K ≠ 5 
 
K ≠ -1 
 
K ≠ -2 
 K ≠ -5 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407090792) Fórum de Dúvidas (1 de 2) Saiba (1 de 1) 
 
 Considere as afirmações, abaixo, sendo S = c um subconjunto de um espaço vetorial V, não trivial de dimensão finita. 
I - O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v1, ... , vp é um espaço vetorial 
II - Se { v1, ... , vp-1 } gera V, então S gera V 
III - Se { v1, ... , vp-1 } é linearmente dependente, então S também é. 
 
 
 I e III são verdadeiras, II é falsa 
 
 I e II são falsas, III é verdadeiraI e II são verdadeiras , III é falsa 
 I e III são falsas, II é verdadeira 
 
 I, II e III são falsas 
 
Encontre as condições em X, Y, Z de modo que (x, y, z) є R3 pertença ao espaço gerado por r = (2, 
1, 0), s= (1, -2, 2) e t = (0, 5, -4). 
 
 
 X + Y – Z = 0 
 2X – 4Y – 5Z ≠ 0 
 2X – 4Y – 5Z = 0 
 2X - 3Y + 2Z = 0 
 2X – 3Y + 2Z ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407087725) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Qual dos seguintes conjuntos de vetores abaixo forma uma base de R4? 
 
 
 
{(1, 3, 4, 5), (1,2,3,4), (2,3,-1,0) } 
 {(1,2,3,4), (0,-2, 4, 7), (0,0,1,0), (0,0,0,3)} 
 
{(1,2,3,4), (0,2,-3,4),(0,-4, 6,-8),(0,0,2,3)} 
 {(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,3), (0,2,3,1) } 
 
{(1,0,0, 0), (0,1,0,4), (0, 2, 0, 8), (0,0,2,3)} 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407091087) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Considere as assertivas abaixo: 
I - Se nenhum dos vetores de R3 no conjunto S = {v1, v2, v3} é um múltiplo escalar de um dos outros vetores, 
então S é um linearmente independente; 
II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o R5; 
III - Se {u, v, w} é um conjunto linearmente independente, então u, v e w não estão no R2; 
IV- Sejam u, v e w vetores não nulos do R5, v não é um múltiplo de u , e w não é uma combinação linear 
de u e v. Então {u, v, w} é linearmente independente. 
 
 
 
 As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras 
 
As afirmações I e III são falsas e as afirmações II e IV são verdadeiras 
 
As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas 
 As afirmações III e IV são falsas e as afirmações I e II são verdadeiras 
 
As afirmações I e IV são verdadeiras e as afirmações II e III são falsas 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407087688) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Considere os vetores v1= (1, 2, 1), v2=(1, -1, 3) e v3= (1, 1, 4). Para que os mesmos 
formem uma base de R3 é necessário que para qualquer u = (x, y,z) existam c1, c2 e c3 de 
modo que u = c1v1 + c2 v2 +c3v3. Verifique se os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e 
quais os valores de c1, c2 e c3 que satisfazem a equação vetorial 
 
 
 Os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= -6/7 
 Os vetores v1 , v2 e v3 não formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7 
 Os vetores v1 , v2 e v3 não formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7 
 Os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e c1 = -3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7 
 Os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407696850) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
 
(I) O conjunto {1} não é uma base de R. 
 (II) O conjunto {(1,-1), (-2,2),(1,0)} é uma base de R2. 
 (III) O conjunto A = {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)} é uma base de R3. 
 
 
 
II e III, apenas 
 III, apenas 
 I e III, apenas 
 
I, apenas 
 
II, apenas 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407090921) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
 Considere as afirmações abaixo, em que S = { v1 , ... , vp } é um conjunto de vetores do espaço vetorial V não trivial de 
dimensão finita 
I - Se S é linearmente independente, então S é uma base para V 
II - Se SpanS = V , então algum subconjunto de S é uma base para V 
III - Um plano do R3 é um subespaço vetorial bidimensional 
 
 
 
 I, II e III são falsas 
 
 I e II são verdadeiras, III é falsa 
 I e III são falsas, II é verdadeira 
 I e II são falsas, III é verdadeira 
 
 I, II e III são verdadeiras 
 
1a Questão (Ref.: 201407091138) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a Transformada Linear T(X) = AX tal que A = [231-252]Sendo B = [13327] a imagem de X por T, o vetor X é 
 
 
 [51] 
 [135] 
 
[531] 
 
 [-5-1] 
 
[15] 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407130998) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma transformação linear T: ℝ3 → ℝ3 tal que T(x,y,z)= (x-2y,y+z,x-
y+2z).Determine a matriz dessa transformação na base canônica. 
 
 
 [1-21011112] 
 [1-2001-11-12] 
 [1-200111-12] 
 [101-21-1012] 
 [1-20011111] 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407091853) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja T uma transformação linear tal que T(1,0,0) = (1,2,1), T(0,1,0) = (3,5,2) e T(0,1,1) = (-1,-2,-1). 
Determine uma base para N(T)(núcleo de T). 
 
 
 
Base deN(T)={(1,0,1)}. 
 Base deN(T)={(1,1,1), (1,2,1}. 
 
Base deN(T)={(1,0,0),(0,1,0)}. 
 
Base deN(T)={(1,2,1)}. 
 Base deN(T)={(1,1,1)}. 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407133141) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja T:ℝ2→ℝ3 uma transformação linear. 
Considere as seguintes afirmações: 
 I) T é certamente injetora. 
II) T é certamente não sobrejetora. 
III) T(0)=0 
 
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmação(ões): 
 
 
 
 I e II 
 
 II 
 
 I 
 I e III 
 
 III 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407087687) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma Transformação linear é um mapeamento de um espaço vetorial V para um espaço vetorial 
W. Qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Seja um vetor (x1 ,x2) 
e considere as transformações realizadas pelas matrizes abaixo. Quais as transformações sobre 
os pontos (x1 ,x2), no plano: 
A = [1 00-1] B = [-100-1] C = [0-11 0] D = [1000] 
 
 
 
 (x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2, x1), (x1, 0) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (0 , x2) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,x2) 
 (x1,-x2),(-x1,-x2), (-x1, x2), (x1, 0) 
 
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,0) 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407091359) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o Teorema: 
Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, A pode ser fatorada na forma A = 
P. D. P-1 , sendo: 
 P uma matriz invertível, tal que as colunas de P são n autovetores de A, linearmente 
independentes e, 
 D uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores 
de A associados, respectivamente, aos autovalores de P. 
Desse modo, para A = [72-41], cujos autovalores são 5 e 3 , com autovetores 
associados v1= ( 1, -1 ) e v2 = ( 1, -2 ), respectivamente temos: 
 
 
 P = [1-11-2] e D = [5003] 
 P = [1001] e D = [53-3-5] 
 P = [11-1-2] e D = [5003] 
 P = [11-1-2] e D = [0530] 
 P = [2-1-11] e D = [3005] 
 
 1a Questão (Ref.: 201407133292) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja A uma matriz 3x3 tal A² = A. Encontre os autovalores de A. 
 
 
 λ=0 ou λ=1 
 λ=0 
 λ=- 1 ou λ=0 
 λ=1 ou λ=2 
 λ=1 ou λ=-1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407091108) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a matriz A abaixo: 
A = [50 0 005 0 014-3 0-1-2 0-3] 
 
 
 
d) Os autovalores são 5 e 3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal 
D = [ 5 0 0 0 0 5 0 0 0 03 0 0 0 0 3] 
 e) Os autovalores são -5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz 
diagonal D = [ -5 0 0 0 0 -5 0 0 0 0-3 0 0 0 0 -3] 
 
a) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado amatriz A à matriz 
diagonal D = [50 0 005 0 000-3 0-10 0-3] 
 b) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz 
diagonal D = [50 0 005 0 000-3 000 0-3] 
 
c) Os autovalores são - 5 e 3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz 
diagonal D = [-5 0 0 0 0-5 0 0 0 03 0 0 0 0 3] 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407087031) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a representação matricial do operador do R2 - R2 em relação à T(x, y)=(4x, 
2y -x) e base canônica. 
 
 
 4 1 
 -1 0 
 
 4 0 
 1 2 
 
 4 0 
 -1 2 
 
 -4 0 
 -1 2 
 
 4 0 
 0 2 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407087025) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determinar os autovetores da matriz abaixo: 
 2 2 
 1 3 
 
 
 
 
v = (2, 3) e u = (1, 2) 
 v = (2, 1) e u = (1, 2) 
 v = (2, 1) e u = (1, 1) 
 
v = (2, 2) e u = (1, 1) 
 
v = (2, 3) e u = (1, 1) 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407774384) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é: 
 
 
 5 
 1 
 
2 
 
4 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407651656) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz A. 
A = [-2-152] 
 
 
 
λ= 1 
 λ1 = i , λ2= -i 
 
λ1 = 1 , λ2= -1 
 
λ= -i 
 
λ = i 
 
 1a Questão (Ref.: 201407091265) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Os autovalores de [00005200-1] são 
 
 
 
λ1 = 5 e λ2 = -1 
 λ1 = -5 , λ2 = -2 , λ3 = 1 
 λ1 = 0 , λ2 = 5 , λ3 = -1 
 
λ1 = 5 , λ2 = 2 , λ3 = -1 
 
λ1 = 0 , λ2 = -5 , λ3 = 1 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407091856) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja um operador definido por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Apresente a matriz P que diagonaliza a matriz do 
operador. 
 
 
 
[P] =[2-511] 
 [P] =[4521] 
 [P] = [15-12] 
 
 
[P] = [-1006] 
 
[P] =[1757-1727] 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407805993) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Os valores próprios de um operador linear T:R2 em R2 são a1 = 2 e a2 = 3, sendo v1 = (1,-1) e v2 = (-1,0) os 
respectivos vetores associados. Determine T (x,y): 
 
 
 
T(x,y) = (-3x-7y, 4y) 
 
T(x,y) = (-4x-5y, 2y) 
 
T(x,y) = (-3x-5y, 3y) 
 T(x,y) = (-3x-5y, 2y) 
 
T(x,y) = (-3x-5y, 4y) 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407774410) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O número de autovalores reais associados a matriz A = [-2 -1 5 2] é igual a : 
 
 
 
2 
 
3 
 1 
 0 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407747304) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico quando a ordem dessas matrizes for: 
 
 
 
5 
 
4 
 2 
 
3 
 qualquer ordem 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407774400) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O número de autovalores racionais da matriz A = [0 -1 0 0 0 1 -4 -17 8], é: 
 
 
 1 
 2 
 
5 
 
4 
 
3