Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Libere esse material sem enrolação!
Cadastre-se ou realize login
Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade
Prévia do material em texto
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
FINAL
2016.1A 28/05/2016
CURSO
DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA
TURMA DATA DA PROVA
ALUNO(A)
MATRÍCULA POLO
GABARITO OBRIGATÓRIO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B E E D C A B C A
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho.
2. Esta avaliação possui 10 questões.
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta.
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta.
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira
página.
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente.
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie.
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para
conferência posterior à realização da avaliação.
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação.
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta.
Página 2 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
1. Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (aij), em
que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.
=
124
310
205
A
Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2?
a) 5 unidades
b) 2 unidades
c) 7 unidades
d) 3 unidades
e) 4 unidades
SOLUÇÃO - 01
aij : Quantidade de unidade do material j
i : Tipo de roupa
Então temos: i = 2 (tipo de roupa)
j = 3 (material usado)
portanto o elemento aij = a23 = 3
RESPOSTA: (3 UNIDADES) LETRA “D”
2. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias.
Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.
2,390,371,367,355,35
4,405,402,370,371,36
0,360,386,384,366,35
Determine: a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
a) 38,6ºC
b) 37,3ºC
c) 34,24ºC
d) 40,4ºC
e) 40,5ºC
=
124
310
205
A
Página 3 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
SOLUÇÃO 02
2,390,371,367,355,35
4,405,402,370,371,36
0,360,386,384,366,35
A média para o terceiro dia de observação é:
Cº3,37
3
1,362,376,38 =++
RESPOSTA: LETRA “B”
3. Determine a inversa da matriz
a)
b)
c)
d)
e) Não existe esta Inversa.
SOLUÇÃO 03.
Sendo A =
00
21
e fazendo A-1 =
dc
ba
temos:
=
++
⇒
=
⇒=−
10
01
0
2
0
2
10
01
00
21
.
?
2
1 dbca
dc
ba
IAA
Ora, a última igualdade não pode ser satisfeita, pois implicaria 0 = 1. Logo, a matriz
00
21
não admite
inversa.
RESPOSTA: LETRA “E” (não existe a inversa).
04. Seja a matriz . O valor de seu determinante é:
a) 3/22
b) 3/33
º390cosº120
º65º25cos
sen
sen
Página 4 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
c) 2/3
d) 1
e) zero
SOLUÇÃO 04
Determinante de ordem 2x2, cujo valor é igual:
)º60º.(65)º30º.(cos25cos
)º120º.65º390cosº25cos
º390cosº120
º65º25cos
sensen
sensen
sen
sen
−=
−⋅=
A matriz
º390cosº120
º65º25cos
sen
sen
é uma
matriz quadrada de segunda ordem ou
Sabemos que: 2
3
º60
2
3
º30cos == sene
que podemos escrever:
)(0º65
2
3
º25cos
2
3
zerosen =−
Obs.: )º90º65º25(º65º25cos =+= poissen
RESPOSTA: LETRA “E” (ZERO).
05. Considere a equação matricial abaixo e determine o valor de “x” para que y2 – 2y + 1 = 0.
x
x
x
x
y
000
100
110
021
=
a) 1 ou 10
b) 1 ou zero
c) 3 ou 2
d) 1 ou – 1
e) 3 ou – 2
05.- SOLUÇÃO
x
x
x
x
y
000
100
110
021
=
ou y = x
4
(a matriz é triangular)
Página 5 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
0)1(012 22 =−∴=+− yyy (Fatorando y)
( )
111
10101
44
2
−==∴=∴=
=∴=−∴=−
xouxxxy
yyy
RESPOSTA: LETRA “D”
6. Uma certa Faculdade tem 107 alunos nos primeiros e segundos períodos, 74 nos segundos e terceiros e 91
nos primeiros e terceiros períodos. Represente esses dados na forma de um sistema de equação, dando sua
forma matricial e determinando o número total de alunos da Faculdade.
a) 105
b) 107
c) 136
d) 64
e) 74
06. SOLUÇÃO
Fazendo
x = número de alunos no 1º período
y = número de alunos no 2º período
z = número de alunos no 3º período
Temos o sistema:
=++
=++
=++
→
=+
=+
=+
91101
74110
107011
91
74
107
zyx
zyx
zyx
zx
zy
yx
A forma matricial do sistema é:
=
⋅
91
74
107
101
110
011
z
y
x
Resolvendo o sistema:
=+
=+
=+
91
74
107
zx
zy
yx
Da 2ª equação: y = 74 – z
Substituindo na 1ª equação: x + 74 – z = 107 ⇒⇒⇒⇒ x – z = 33 (4)
Página 6 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
Da 4ª e da 3ª equação, vem:
Substituindo na 2ª equação: y = 74 – 29 = 45
O total de alunos da escola é x + y + z = 62 + 45 + 29 = 136 alunos
RESPOSTA: (136 alunos) LETRA: “C”
07. Considere o sistema linear:
Qual o valor de “k” para que o sistema seja impossível.
a) 2
b) – 2
c) 1
d) – 1
e) zero
SOLUÇÃO 07
Vamos discutir o sistema linear
=+
=+
32
1
yx
kyx
k
k
D −== 2
21
1
D ≠≠≠≠ 0, ou seja, 2 – k ≠≠≠≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ k ≠≠≠≠ 2, o sistema é possível e determinado.
D = 0, ou seja, 2 – k = 0 ⇒⇒⇒⇒ k = 2, devemos substituir k = 2 no sistema
=+
=+
32
12
yx
yx
e observar as
equações. Nessas condições, com k = 2, o sistema terá conjunto solução vazio, pois as duas
equações são incompatíveis.
Portanto:
Para k ≠≠≠≠ 2, o sistema é possível e determinado;
Para k = 2, o sistema é impossível.
RESPOSTA: LETRA: “A
=+
=+
32
1
yx
kyx
==⇒
=+
=−
2962
91
33
ezx
zx
zx
Página 7 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
8. As livrarias A, B, C, e D de uma cidade vendem livros de Cálculo do 1º ao 4º ano do Ensino Superior de uma
mesma coleção, com preço comum estabelecido pela editora. Os dados de vendas diárias são os seguintes:
Livrarias Número de livros vendidos Valor total recebido (R$)
1º
periodo
2º
periodo
3º
periodo
4º
periodo
A 2 2 3 2 563,10
B 2 1 2 4 566,10
C 0 5 0 0 304,50
D 3 2 5 1 687,90
O preço de venda de cada um dos livros do 3º período:
a) R$ 72,00
b) R$ 63,90
c) R$ 65,80
d) R$ 60,90
e) R$ 50,40
SOLUÇÃO 08
5y = 304,50 ∴∴∴∴ y = 60,90
RESPOSTA: (R$ 60,90) LETRA: “D”
09. Vetorial e v = (– 4, – 1. Considere um espaço 8, 7) um vetor neste espaço. Assinale abaixo a alternativa
correspondente a combinação linear dos vetores v1 e v2 com o vetor v. Dados:
( ) )14,2(2,3,121 −=−= vev :
a) 21 vv −
b) 21 2vv −
c) 21 32 vv −
d) 21 2vv +
e) 21vv
09. SOLUÇÃO:
Dados:
Considere αααα1 e αααα2 como escalares:
( )
)2,43,2,()7,18,4(
),4,2()2,3,()7,18,4(
)1,4,2()2,3,1(7,18,4
212121
222111
21
αααααα
αααααα
αα
−+−+=−−
−+−=−−
−+−=−−
)1,4,2()2,3,1(),7,18,4( 21 −=−=−−= vevv
Página 8 de 8
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR(A): BRAULIO ANCHIETA
=−
−=+−
−=+
72
1843
42
21
21
21
αα
αα
αα
, cuja solução é αααα1= 2 e αααα2 = a–3. Portanto o vetor: 2211 vvv αα += pode ser escrito
como v = 2v1 – 3v2
RESPOSTA: LETRA: C
10. Sejam
Sendo v1 e v2 autovetores de A associados respectivamente aos autovalores λλλλ1 e λλλλ2. Determine estes
autovalores.
Os autovalores λλλλ1 e λλλλ2 são respectivamente
a) 1 e 4
b) 2 e – 1
c) – 1 e 2
d) 3 e 2
e) 4
10.SOLUÇÃO:
Sabemos que Av = λλλλv, então:
(1)
( ) 12,1
2
1
2
1
22
13
2
1
22
13
111111
1
=−=∴=
−
=
−
∴
−
=
=
λλλ entãoAvvAv
veA
(2 )
( ) ( )
4
1,144,4
4
4
1
1
22
13
1
1
22
13
2
222222
2
=
==∴=
=
∴
=
=
λ
λλ
então
AvouAvvAv
veA
RESPOSTA: (1 e 4) LETRA: “A”
=
−
=
=
1
1
2
1
,
22
13
21 vevA
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1
AV2 –15/07/2016
CURSO
DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR
PROFESSOR(A)
TURMA DATA DA PROVA
ALUNO(A)
MATRÍCULA POLO
GABARITO OBRIGATÓRIO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A D B B C B D B B
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho.
2. Esta avaliação possui 10 questões.
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta.
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta.
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira
página.
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente.
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie.
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para
conferência posterior à realização da avaliação.
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação.
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta.
Página 2 de 3
ÁLGEBRA LINEAR
1. A transposta da matriz é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2. Considere o produto entre as matrizes. A5x3.B3x8,
então a matriz produto será de ordem?
a) 5x8.
b) 8x3.
c) 8x5.
d) 3x8.
e) 3x3.
3. Qual das seguintes matrizes se encontra na
forma escada?
a)
b)
c)
d)
e)
4. O produto dos elementos da diagonal principal
da matriz é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
5. O determinante associado a matriz
é:
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
e) 60.
6. O produto entre as matrizes é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
7. Qual das matrizes abaixo é triangular.
a) .
b) .
c) .
1 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 -1 2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 1 -3 0 0 0
0 0 0 1 4 7
0 0 0 0 0 0
0 1 -3 1 0 0
0 0 0 1 4 7
0 0 0 0 0 0
Página 3 de 3
ÁLGEBRA LINEAR
d) .
e) .
8. Encontre a solução do sistema
.
a) (3,3,-1).
b) (2,4,5).
c) (-56,45,33).
d) (-49,9,18).
e) (78,-34,98).
9. Qual das matrizes abaixo admite inversa.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
10. A solução do sistema linear é
o par ordenado:
a) (2,3).
b) (4,2).
c) (1,2).
d) (2,4).
e) (3,2).
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1
FINAL – 23/07/2016
CURSO
DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR
PROFESSOR(A)
TURMA DATA DA PROVA
ALUNO(A)
MATRÍCULA POLO
GABARITO OBRIGATÓRIO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B E E E A E A A E E
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho.
2. Esta avaliação possui 10 questões.
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta.
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta.
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira
página.
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente.
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie.
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para
conferência posterior à realização da avaliação.
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação.
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta.
Página 2 de 3
ÁLGEBRA LINEAR
1. A matriz A = (aij) 2x3, definida por aij = 2i -3j é:
a)
b)
c)
d)
e)
2. A inversa da matriz é:
a)
b)
c)
d)
e)
3. O valor de x no sistema é:
a) 3/4
b) 7/13
c) 9/13
d) 1/16
e) 7/16
4. Para que o produto entre as matrizes A5xn.B7x3
seja possível é necessário que:
a) A matriz A seja quadrada.
b) A matriz B seja inversível.
c) As matrizes A e B sejam quadradas.
d) O valor de n seja igual a 5.
e) O valor de n seja igual a 7.
5. O módulo do vetor é:
a) 7.
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
6. Qual dos subconjuntos abaixo do R3 não é um
subespaço vetorial ?
a) as retas que passam pela origem.
b) os planos que passam pela origem.
c) a origem, ou seja, o ponto (0,0,0).
d) o vetor nulo do R3.
e) as retas que não passam pela origem.
7. Qual dos vetores abaixo é perpendicular ao vetor
a) ( 4, 2, 2).
b) (1, 2, 3)
c) (-2, 3, 1)
d) (1, -3, 2)
e) (-1 , 2, -2)
8. Seja T : R2 ���� R2 a transformação linear dada por
T ( x , y ) = (2x+y , x+y) então o valor de T(1,2) é
igual a:
a) (4, 3).
b) (2,1)
c) (3,4)
d) (2,2)
e) (1,1)
9. A transformação linear T:R2����R2 tal que T(1,0) =
(2,-1,0) e T(0,1) = (0,0,1) é?
a) T(x,y) = (2x,-2x,5y)
b) T(x,y) = (x,x,y)
c) T(x,y) = (x,-x,y)
d) T(x,y) = (2x,-2x,3y)
e) T(x,y) = (2x,-x,y)
Página 3 de 3
ÁLGEBRA LINEAR
10. A imagem do elemento (2,-1,0) na
transformação T:R2����R3 dada por
T(x,y,z) = (x+y , y-2x , x+y) é:
a) uma reta que passa pela origem.
b) um plano que passa pela origem
c) uma reta que não passa pela origem.
d) um plano que não passa pela origem
e) um ponto do espaço.
Página 1 de 3
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
AV2-2016.2A – 08/10/2016
1. Resolva a seguinte equação:
-2 -4 3 2
1 5 6det det
1 0 2 -8
x + = det 0 2 4
3 1 3 5
det det 3 7 1
4 2 1 2
Assinale a alternativa que corresponde ao valor de
x.
a) 26
b) 28
c) 13
d) 15
e) -15
Alternativa correta: Letra C
Identificação do conteúdo: UNIDADE-1-Cálculo
determinante- páginass 17 e 18.
Comentário: Resolvendo os determinantes teremos a
equação:
2x-28= -2
2x= 28-2
X=13.
2. Dado o sistema:
3 5 1
2 3
5 0
x y
x z
x y z
Assinale a alternativa que apresenta o seu posto,
grau de liberdade e a classificação, após o
escalonamento.
a) Posto= 2, Grau de liberdade= 2,sistema
impossível
b) Posto= 3, Grau de liberdade= 0, sistema
possível e determinado.
c) Posto= 2, Grau de liberdade= 0, sistema
impossível
d) Posto= 3, Grau de liberdade= 2 sistema possível
e determinado
e) Posto= 1, Grau de liberdade= 2 sistema possível
e determinado
Alternativa corrreta: Letra B
Identificação do conteúdo: Unidade 2, Posto e grau
de liberdade.-pág.50.
Comentário: Posto é o nº de linhas não nulas. Logo
neste p=3
Grau de liberdade, representa o nº de variáveis livres
do sistema
G= N-P, N nº de variáveis do sistema
N=3
P=3, G= 3-3, G=0. Sistema possível e determinado.
3. Dados os vetores u= ( 1,0, -1) e v= (0, -1, 0),
verificar se os vetores geram um subespaço do R ³.
Caso gere, apresente o subespaço gerado por v.
GABARITO
QUESTÕES COMENTADAS
Disciplina ÁLGEBRA LINEAR
Professor (a) KARLA ADRIANA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
C B E B B D A A A A
Página 2 de 3
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
a) S={(x, y, -x)}
b) S={(x, y, -z)}
c) S={(-x, y, -x)}
d) S={(x, y, x)}
e) S={(x, -y, -x)}
Alternativa correta: Letra E
Identificação do conteúdo: Unidade 3.subespaço
vetorial- páginas 79 e 80.
Comentário: a(1, 0, 1)+ b(0,-1,0)= (x, y, z)
a=x
-b=y, b=-y
-a=z , z= -x
S{(x,-y,-x)}
4. Seja A= , calcule o valor de x para
que A = AT
a) -1
b) 1
c) 2
d) -2
e) 0
Alternativa correta: Letra B
Identificação do conteúdo: Unidade 1-Matriz
transposta e simétrica.páginas 4 e 17.
Comentário: Pela propriedade da transposta , realiza-
se a matiz transposta
=
2x-1= x
X=1.
Pode ser respondida também pela matriz simétrica
utilizando a propriedade da transposta.
Sea matriz é igual a transposta logo é simétrica. 2x-1=
x
5. Seja a matriz
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
, calcule o
valor de x para que a seguinte expressão seja
verdadeira: det 240A .
a) -1
b) 2
c) 0
d) -2
e) 1
Alternativa correta: Letra B
Identificação do conteúdo: Unidade 1. Cálculo do
determinante. Páginas17 e18.
Comentário: Calcular o determinante da matriz A.
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
-18x-60x+112+8-72x+ 210x=240
60x=120, x=2.
6. Subespaços são subconjuntos contidos nos
Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da
adição e multiplicação por um escalar, sendo
assim, verifique se os subconjuntos a seguir são
subespaços do Espaço Vetorial M2x2 .
S={ ( X, Y) є R²/ x= } , W= ; a, b, c, d ∊
R / d= b +1}
Marque a alternativa correta.
a) S e W são subespaços de M2x2 .
b) S é subespaço de M2x2 e W não.
c) S não é subespaço de M2x2, mas W sim
d) S e W não são subespaços de M2x2 .
e) W não são subespaços de M2x2 .
Alternativa correta: Letra D
Identificação do conteúdo: Unidade 3-Subespaços
vetoriais.páginas 79 e 80.
Comentário: S não é subespaço de M2x2 , por estar
contido no espaço do R², ou seja, ele não está contido
no espaço M2x2 .
W está contido no espaço M2x2 , mas não é subespaço,
pois o elemento não pertence a W. Logo os dois
conjuntos não são subespaços de M2x2 .
7. Dados os vetores do Espaço Vetorial R ³,
apresentar as coordenadas da combinação linear,
para que o vetor v= (4, 3, -6) não seja combinação
linear dos vetores v1= (1, -3, 2) e v2= (2, 4, -1).
a) a= -8/5 e b= 14/5
b) a= 8/5 e b=14/5
c) a= - 8/5 e b= -14/5
d) a= 8/5 e b= -14/5
e) a= 8/5 e b= -14
Alternativa correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Unidade 3.Combinação
Linear. Pág.84.
Comentário: (4,3, -6)= a(1,-3,2)+b(2,4,-1)
a+2b=4
-3 a+4b=3
2 a-b=-6, a= -8/5 e b= 14/5.
Página 3 de 3
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
8. Sejam os vetores u= (1, 0, -1), v= (1, 2, 1) e t= (0,-
1, 0) do R³, mostrar através da alternativa, a
combinação que demonstra que B={(u, v, t) } é uma
base do R³.
a) a=x-z/2 e b= x+z/2
b) a=x/2 e b= x+z/2
c) a=z/2 e b= x+z/2
d) a=x-z e b= x+z/2
e) a=-x-z e b= x+z/2
Alternativa correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Unidade 3.Combinação
Linear. Pág. 84.
Comenário: a(1, 0, -1) + b(1,2,1)+ c(0, -1,0)= (x,y,z)
a+b=x
2b-c=y
-a +b= z,
a=x-z/2 e b= x+z/2.
9. Ache a transformação linear T: R³ R² tal que T
(1,0,0) = (2,0), T(0,1,0) = (1,1) e T(0,0,1) = (0,-1).
a) T(V)= (2X+Y, Y-Z)
b) T(V)= (-2X+Y, Y-Z)
c) T(V)= (2X+Y, Y)
d) T(V)= (2X , Y-Z)
e) T(V)= (-2X , Y-Z)
Alternativa correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Unidade
4.Transformação Linear.pág. 102.
Comentário: X(2, 0)+ y(1, 1)+ z(0, -1)=
(2x+y, y-z)
10. Seja o operador T(x,y,z) = (x + 2z , z – x , x + y +
2z ).T é uma Transformação Linear? Qual é a matriz
transformação linear associada a ‘T’? Qual o
polinômio característico? Apresente a alternativa
que responde respectivamente as perguntas
realizadas no enunciado.
a) T é linear, , -X³+2X²+ X-2
b) não é linear, , -X³+2X²+ X-2
c) T é linear, , não tem polinômio
característico.
d) T é linear, não tem matriz transformação
X³+2X²+ X-2
e) não é linear, , -X³+2X²+ X-2
Alternativa correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Unidade
4.Transformação Linear- autovalores (valores próprios).
Pág. 116.
Comentário: T é linear, basta testar as propriedades:
T(U+V)= T(U)+t(V)
T(KU)= KT(U)
A matriz transformação, é a matriz do operador linear
O polinômio característico é resultante do
Det[ - x. ]= 0
-X³+2X²+ X-2.
Página 1 de 3
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
SEGUNDA CHAMADA – 22/10/2016
1.Seja o operador T(x,y,z) = (2x + z , 2z , 3y ). T é
uma Transformação Linear? Qual é a matriz
transformação linear associada a ‘T’? Assinale a
alternativa que responde respectivamente a cada
pergunta anterior.
a) Não; Não apresenta matriz de transformação
linear.
b) Não;
c) Sim;
d) Sim;
e) Sim;
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo:Unidade 4, Transformação
Linear (Definição). Págs.100 e 103.
Comentário: Fazendo a verificação das propriedades
T(u+v)= T(u)+ T(v)
T(ku) = k T(u), T é linear.
A matriz transformação:
2.Considere a transformação linear T: R2 --> R2 tal
que T(1, 0) = (-1, 1) e T(0, 1) = (4, 2). Apresente a
alternativa que representa o Operador Linear de T.
T(x,y)=(x, x+2y):
a) T(x,y)=( - x +4y, x+2y)
b) T(x,y)=(x +4y, x+2y)
c) T(x,y)=(x, x-2y)
d) T(x,y)=(x, -x-2y)
e) T(x,y)=(-x, -x-2y)
Alternativa correta: Letra B.
Identificação do conteúdo: Unidade 4,
Transformação Linear (Imagem). Pág.102.
Comentário: Utilizar as propriedades das imagens.
X(1,0) + y(0, 1)=(x, y)
(X,Y)= (x, y)
X(-1,1)+ y(4, 2)==
(-x, x)+ (4y, 2y)= T(v)
(-x+4y, x+2y)= T(v),
Nível: Dificil
GABARITO
QUESTÕES COMENTADAS
Disciplina ÁLGEBRA LINEAR
Professor (a) KARLA ADRIANA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B A
A
A
B D C C D C B
Página 2 de 3
ALGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
3.Sejam as matrizes:
1
12 3 2 0 1
, , 2 2 1
2 1 1 3 0 1
4
A B C e D
Se possível, determine e assinale a alternativa que
apresenta respectivamente a solução das
operações entre as matrizes: A+B; A·C e A+ D.
a) , , Não ocorre A+D
b) , ,
c) , , Não ocorre A+D
d) Não ocorre A+B, , Não ocorre A+D
e) , não ocorre A.C e A+D
Alternativa correta: Letra A.
Identificação do conteúdo: Unidade 1, Operações
com matrizes. Págs. 7-9
Comentário: A+B = , A.C= ,
A+D= Não ocorre A+D, pois as duas não apresentam
mesma ordem.
4.Quais os valores de X, Y, Z e W se
2 3 1 0
3 4 0 1
X Y
Z W
?
a) X=3, y= -2, z= 4 e w=-3
b) X= -4, y= 3, z=3 e w= -2
c) X= -3, y= -2, z= 4 e w= -3
d) X=-4, y= -2, z= 3 e w= -3
e) X=4, y= -2, z= 3 e w= -3
Alternativa correta: Letra B.
Identificação do conteúdo: Unidades 1 e 2, sistemas
de equaçõs lineares ou matriz inversa. Págs 20 e 40.
Comentário: Pela propriedade matriz inversa, diz que
se o produto entre duas matrizes resulta na identidade,
ou seja, AB=I, uma será a inversa da outra.
A= , = , Logo
temos:
= x= -4, y=3, z=3 e w= -2.
5. Assinale a alternativa, que não corresponde a
representação do subespaço vetorial do R4.
W = {(x, y, z, t) R4 | 2x + y – t = 0 e z = 0}.
a) W= {(x, y, 0, 2x+y)
b) W= {(x, t-2x, 0, t)
c) W= {( ,y , 0, t)}
d) W= {(x, t-2x,t , t)
e) W= {(-x, -y, 0, 2x+y)
Alternativa correta: Letra D.
Identificação de conteúdo:Unidade 3-subespaço
vetorial. Págs. 79 e 80.
Comentário: O subespaço da letra d, não corresponde
a uma representação de w por ter a coordenada z= t, e
por definição, a coordenada z=0.
6.Qual a transformação linear T: R³ R² tal que
S(3,2,1) = (1,1), S(0,1,0) = (0,-2) e S(0,0,1) = (0,-1)?
a) (-2y+ 5z, z)
b) (-2y+x, y)
c) (z, -2y+5z)
d) (-z, -2y+5z)
e) (-z, 2y+5z)
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo: Unidade 4, transformação
linear. Pág.102
Comentário: Resolvendo a combinação linear dos
vetores transformados
A(3,2, 1)+ b(0,1,0)= (x, y, z)
Temos a= z e b= y-2z, logo
Temos z(1,1)+(y-2z)(0, -2)= (x, y)
T(v)= (z, -2y+5z).
Página 3 de 3
ALGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
7.Sejam as
matrizes:
2 0 1 1 0
1 1 0
0 1 3 4 0
0 3 2
1 0 2 5 2
A B C
(AxB +C.
Assinale a alternativa que apresenta a solução final
da expressão.
a)
b)
c) Não pode ser realizada a soma do produto
A.B +C
d)
e)
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo: Unidade 1, operações
entre matrizes. Pág.7-9
Comentário: O produto entre A.B resulta em uma
matriz 2x3 e C é uma matriz 3x2. Logo não
apresentam mesma ordem, dessa forma não poderá
ser concluída a expressão.
8. Determine o valor de k para que o sistema seja
possível:
4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
,
a) K=6
b) K= -26
c) K=26
d) K= -6
e) K= 25
Alternativa correta: Letra D.
Identificação do conteúdo: Unidade 2, Sistema de
equações lineares-pág 40.
Comentário:
Resolvendo o Sistema temos x= -8 e y= -10. Logo k=
2x-y, k= 2.(-8)- (-10)
K=-6.
9.Seja a matriz
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
, calcule o
valor de x para que a seguinte
expressão seja verdadeira: det A= 120.
a) 2
b) 0
c) -2
d) 1
e) -1
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do comentário: Unidade 1- Cálculo do
determinante.págs. 17 e18
Comentario: Calcular o determinante da matriz A.
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
-18x-60x+112+8-72x+ 210x=120
60x=0, x=0.
10.Dado o sistema:
3 5 1
2 3
5 0
x y
x z
x y z
, apresente o
posto e grau de liberdade da matriz do sistema,
antes do escalonamento.
a) Posto= 2, Grau de liberdade= 2
b) Posto= 3, Grau de liberdade= 0
c) Posto= 2, Grau de liberdade= 0
d) Posto= 3, Grau de liberdade= 2
e) Posto= 3, Grau de liberdade= 1
Alternativa correta: Letra B.
Identificação do conteúdo: Unidade 2- Posto e grau
de liberdade. Pág 50
Comentário: Posto é o nº de linhas não nulas. Logo
neste p=3
Grau de liberdade, representa o nº de variáveis livres
do sistema
G= N-P, N nº de variáveis do sistema
N=3
P=3, G= 3-3, G=0.
Página 1 de 4
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
FINAL -2016.2A – 29/10/2016
1. Dado o sistema:
3 5 1
2 3
5 0
x y
x z
x y z
, apresente o
posto , grau de liberdade e a classificação do
sistema, antes do escalonamento.
a) Posto= 2, Grau de liberdade= 2, sistema possível
e determinado.
b) Posto= 3, Grau de liberdade= 0, sistema
possível e determinado.
c) Posto= 2, Grau de liberdade= 0, sistema
impossível
d) Posto= 3, Grau de liberdade= 2, sistema
Indeterminado.
e) Posto= 1, Grau de liberdade= 0, sistema
Indeterminado.
Alternatva correta: Letra B
Identificação do conteúdo: Unidade 2-Classificação
do sistema PAg 50
Comentário: Posto- é o nº de linhas não nulas p=3;
Grau de liberdade- nº variáveis livres do sistema, G= N-
P, G=3-3=0. Logo se G=0
Sistema possível e determinado.
2. Sejam as matrizes:
Se possível, determine e assinale a alternativa que
apresenta respectivamente a solução das
operações entre as matrizes: A+B; C.D
a)
b)
c)
d)
e) Não pode ser realizada A+B e E.D
Alternatva correta: Letra B
Identificação do conteúdo: Resposta: Unidade 1-
Operações com matrizes. Págs.7-9
Comentário: A+B =
, C. D= ,
GABARITO
QUESTÕES COMENTADAS
Disciplina ALGEBRA LINEAR
Professor (a) KARLA ADRIANA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B C C C C D B C A
Página 2 de 4
ALGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
3.Considere a transformação linear T: R2 --> R2 tal
que T(1, 0) = (-1, 1) e T(0, 1) = (4, 2). Apresente a
alternativa que representa respectivamente o
Operador Linear de T e T(5,-4) nesse operador.
a) T(x,y)=(x, x+2y),(5, -3)
b) T(x,y)=(x +4y, x+2y), (-11, -3)
c) T(x,y)=( - x +4y, x+2y), (-21,-3)
d) T(x,y)=(x, x-2y), (5, 13)
e) T(x,y)=(-x, -x-2y), (5, 13)
Alternatva correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Resposta:Unidade 4-
Transformação Linear (Imagem) Pág.102
Comentário: Utilizar as propriedades das imagens
X(1,0) + y(0, 1)=(x, y)
(X,Y)= (x, y)
X(-1,1)+ y(4, 2)==
(-x, x)+ (4y, 2y)= T(v)
(-x+4y, x+2y)= T(v),
T(5,-4)= (-5+4.(-4),5+2.(-4))= (-21, -3)
4. Determine a matriz inversa, sabendo que seus
elementos estão representados pelas variáveis X,
Y, Z e W, na matriz que compõe o sistema a seguir.
Utilize uma propriedade da matriz inversa para
determinar as
variáveis.
2 3 1 0
3 4 0 1
X Y
Z W
.
a)
b)
c)
d)
e)
Alternatva correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 1-matriz
inversa..pág.20
Comentário: Pela propriedade matriz inversa, diz que
se o produto entre duas matrizes resulta na identidade,
ou seja, AB=I, uma será a inversa da outra.
A= , = , Logo
temos:
= x= -4, y=3, z=3 e w= -2.
5. Considere a transformação linear T: R2 --> R2 tal
que T(1, 0) = (-1, 1) e T(0, 1) = (4, 2). Sendo λ1 e λ2 os
autovalores de T, encontre estes autovalores.
a) -3 e 2
b) 3 e 2
c) 3 e -2
d) -3 e -2
e) 1 e -2
Alternatva correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 4-
Transformação Linear (Autovalores). Pág116.
Comentário: A matriz transformação:
Det( .k )=0
K²-k-6=0,
K= 3 ek=-2
6. Dada a transformação linear T: R³ R² tal que
S(3,2,1) = (1,1), S(0,1,0) = (0,-2) e S(0,0,1) = (0,-
1).Qual operador de T? T admite autovetores e
autovalores? Assinale a alternativa que apresenta o
operador e a justificativa correta em relação aos
autovetores e autovalores de T. DIFÍCIO
a) (-2y+ 5z, z), Não admite pois a transformação é T:
V→V
b) (-2y+x, y) Não admite pois a transformação é T:
V→V
c) (z, -2y+5z), Não admite pois a transformação é
T: V→V
d) (-z, -2y+5z) Não admite pois a transformação é T:
V→V
e) (-z, -2y-5z),Não admite pois a transformação é T:
V→V
Página 3 de 4
ALGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Alternatva correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 4-Transformação
linear propriedade das imagens.pág102 .
Comentário: : Resolvendo a combinação linear dos
vetores transformados
A(3,2, 1)+ b(0,1,0)= (x, y, z)
Temos a= z e b= y-2z, logo
Temos z(1,1)+(y-2z)(0, -2)= (x, y)
T(v)= (z, -2y+5z).
Em relação aos autovetores e autovalores, só ocorre
em a transformação é do tipo T: V→V.
7. Determine o valor de k para que o sistema seja
impossível:
4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
.
a) K≠6
b) K ≠ -26
c) K≠26
d) K≠ -6
e) K≠ -16
Alternatva correta: Letra D
Identificação do conteúdo: Unidade 2. Sistemas de
equações lineares- Classificação. Pág 40
Comentário:
Resolvendo o Sistema temos x= -8 e y= -10. Logo k=
2x-y, k ≠ 2.(-8)- (-10)
K ≠ -6.
8. Seja a matriz
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
, calcule o
valor de x para que a seguinte expressão seja
verdadeira: det A= 360.
a) -1
b) 4
c) 0
d) -2
e) -4
Alternatva correta: Letra B
Identificação do conteúdo: Unidade 1-Cálculo do
determinante. Pág. 17 e 18
Comentário: Resposta: Calcular o determinante da
matriz A.
3 5 2
7 1 3
4 8 6
x x
A
-18x-60x+112+8-72x+ 210x=360
60x=240, x=4.
9. Seja o operador Linear T(x,y,z) = (2x + z , 2z , 3y ).
Qual é a matriz transformação linear associada a
‘T’? O polinômio característico associado a
T?Assinale a alternativa que responde
respectivamente a cada pergunta anterior.
a) Não apresenta matriz de transformação linear,
não tem polinômio característico.
b) , k³ + k²=0
c) , - k³ + k²=0
d) , não tem polinômio característico.
e) , - k³ - k²=0
Alternatva correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 4-
Transformação Linear (Autovalores). Pág.116
Comentário: Resposta:
A matriz transformação:
Det ( . k )=0
- k³ + k²=0
10. Se T é uma matriz triangular superior, que tipo
de matriz é T²?
a) TRINGULAR SUPERIOR
b) TRIANGULAR INFERIOR
c) MATRIZ DIAGONAL
d) MATRIZ NULA
e) SIMÉTRICA
Página 4 de 4
ALGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Alternatva correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Resposta: Unidade 1-
Tipo de matriz e operação com matriz . Págs 4-6
Comentário: . =
,
Continua triangular superior.
Página 1 de 4
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
AV2 2017.1B – 10/06/2017
1. Dado o sistema: S= ,
apresente o posto , grau de liberdade e a
classificação do sistema, antes do escalonamento.
a) Posto= 2, Grau de liberdade= 1, sistema
possível e indeterminado.
b) Posto= 3, Grau de liberdade= 3, sistema possível
e determinado.
c) Posto= 2, Grau de liberdade= 3, sistema possível
e indeterminado
d) Posto= 1, Grau de liberdade= 1, sistema possível
e Indeterminado.
e) Posto= 1, Grau de liberdade= 0, sistema possível
e Indeterminado.
Alternativa correta: Letra A
Identificação de conteúdo: Unidade 2-Classificação
do sistema. Pág50
Comentário: Posto- é o nº de linhas não nulas p=2;
Grau de liberdade- nº variáveis livres do sistema, G= N-
P, G=3-2=1. Logo se G=1
Sistema possível e indeterminado.
2. Sejam as matrizes:
1
1 2 3 2 0 1
, , 2 2 1
2 1 1 3 0 1
4
A B C e D
Se possível, determine e assinale a alternativa que
apresenta respectivamente a solução das
operações entre as matrizes: A.B; C.D
a) ,
b) ,
c) não são possíveis os produtos A.B e
d) , C.D=
e) não pode ser realizado A.B ;
Alternativa correta: Letra E
Identificação de conteúdo: : Unidade 1- Operações
com matrizes.Págs.7-9.
Comentário: Não pode ser realizado o produto de A.B,
tendo em vista que o número de colunas de A é
diferente do número de linhas de B.
GABARITO
QUESTÕES COMENTADAS
Disciplina ÁLGEBRA LINEAR
Professor (a) KARLA ADRIANA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A E C A C A C A C D
Página 2 de 4
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
C. D= ,
3.Considere a transformação linear T: R2 --> R2 , tal
que T(1, 0) = (-1, 1) e T(0, 1) = (4, 2). Apresente a
alternativa que representa, respectivamente, o
Operador Linear de T e T(0,-3) nesse operador.
a) T(x,y)=(x, x+2y),(0, -3)
b) T(x,y)=(x +4y, x+2y), (12, -3)
c) T(x,y)=( - x +4y, x+2y), (-12,-6)
d) T(x,y)=(x, x-2y), (0, -6)
e) T(x,y)=(-x, -x-2y), (5, 13)
Alternativa correta:Letra C
Identificação de conteúdo: Unidade 4-
Transformação Linear (Imagem) Pág.102.
Comentário: Utilizar as propriedades das imagens:
X(1,0) + y(0, 1)=(x, y)
(X,Y)= (x, y)
X(-1,1)+ y(4, 2)==
(-x, x)+ (4y, 2y)= T(v)
(-x+4y, x+2y)= T(v),
T(0,-3)= (0+4.(-3),0+2.(-3))= (-12, -6)
4. Determine a matriz inversa, sabendo que seus
elementos estão representados pelas variáveis X,
Y, Z e W, na matriz que compõe o sistema a seguir.
Utilize uma propriedade da matriz inversa, para
determinar as variáveis.
a)
b)
c)
d)
e)
Alternativa correta: Letra A
Identificação de conteúdo: Unidade 1-matriz inversa,
pág.20.
Comentário: A propriedade matriz inversa diz que se
o produto entre duas matrizes resulta na identidade, ou
seja, AB=I, uma será a inversa da outra.
Resolvendo os sistemas: ,
; teremos: x= -2, y=1, z=3/2 e w= -1/2.
ou
A= , = , Logo
temos:
= x= -2, y=1, z=3/2 e w= -1/2.
5. Considere a transformação linear T: R2 --> R2 , tal
que T(x,y)=( - x +4y, x+2y)
Sendo λ1 e λ2 os autovalores de T, encontre estes
autovalores.
a) -3 e 2
b) 3 e 2
c) 3 e -2
d) -3 e -2
e) 1 e -2
Alternativa correta: Letra C
Identificação de conteúdo: Unidade 4-
Transformação Linear (Autovalores). Pág116
Comentário: A matriz transformação:
Det( .k )=0
K²-k-6=0,
K= 3 e k=-2
6. Dada a transformação linear T: R² R³ , tal que
T(1,0) = (2,-1,0) e T(0,1) = (0,0,1) .Assinale a
alternativa que apresenta a T(X,Y), e responde
corretamente sobre a existência de autovetores e
autovalores nessa transformação.
a) (2x, -x, y), não admite autovetores e
autovalores, pois a transformação é T: V→W
b) (-2y, x, y), não admite autovetores e autovalores
pois a transformação é T: V→W
c) (x, x, y), admite autovetores e autovalores pois a
transformação é T: V→V
d) (-z, -2y+5z), não admite autovetores e autovalores
pois a transformação é T: V→W
e) (-2x, -x, y), admite autovetores e autovalores pois
a transformação é T: V→V
Alternativa correta: Letra A
Página 3 de 4
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Identificação de conteúdo: Unidade 4-Transformação
linear propriedade das imagens, pág102 .
Comentário: Resolvendo a combinação linear dos
vetores transformados:
a(1,0)+ b(0,1)= (x, y)
Temos a= x e b= y, logo
Temos x(2,-1,0)+y(0, 0,1)= T(x, y, z)
T(v)= (2x,-x,y).
Em relação aos autovetores e autovalores, só ocorrem
em transformações do tipo T: V→V e no problema
ocorre T: V→W.7. Assinale a alternativa que apresenta a
classificação e o valor de k que torna o sistema
possível :. ,
a) K=-6, possível e indeterminado.
b) K = -26, possível e determinado.
c) K= -6, possível e determinado.
d) K= 26, possível e indeterminado.
e) K=-16, possível e determinado.
Alternativa correta: Letra C
Identificação de conteúdo: Unidade 2. Sistemas de
equações lineares- Classificação. Pág 40
Comentário:
Resolvendo o Sistema temos x= -8 e y= -10. Logo k=
2x-y, k = 2.(-8)- (-10)
K = -6. Sistema possível e determinado.
8.Sejam as matrizes. ,
calcule o valor detA + det B.
a) 1
b) 5
c) 0
d) -2
e) 3
Alternativa correta: Letra A
Identificação de conteúdo: Resposta: Unidade 1-
Cálculo do determinante. Págs. 17 e 18.
Comentário: Calcular o determinante da matriz
det = 0-2=-2 =3,
Logo, detA+ detB= -2 + 3= 1.
9. Seja a T: R³→R³ com operador Linear T(x,y,z) =
x(2,0,0)+ y(0,0,3)+ z(1,2,0).
Qual é a matriz transformação linear associada a
‘T’? E o polinômio característico associado a
T?Assinale a alternativa que responde,
respectivamente, a cada pergunta anterior.
a) Não apresenta matriz de transformação linear,
não tem polinômio característico.
b) , k³ + k²=0
c) , - k³ + k²=0
d) , não tem polinômio característico.
e) , - k³ - k²=0
Alternativa correta: Letra C
Identificação de conteúdo: Unidade 4-
Transformação Linear (Autovalores). Pág.116.
Comentário: T(x,y,z)=x(2,0,0)+ y(0,0,3)+ z(1,2,0),
T(x,y,z)= (2x + z , 2z , 3y)
A matriz transformação:
Det ( . k )=0
- k³ + k²=0
10 .Se A é uma matriz simétrica (parte superior é
uma reflexão da inferior em relação à diagonal
principal), que tipo de matriz é A- A’( A menos sua
transposta) ?
a) Triangular Superior.
b) Triangular Inferior.
c) Matriz Diagonal.
d) Matriz Nula.
e) Matriz Identidade.
Alternativa correta: Letra D
Identificação de conteúdo: Unidade 1- Tipo de matriz
e operação com matriz .Pág17.
Página 4 de 4
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Comentário: - =
,
Matriz nula. Alternativa D.
Página 1 de 5
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
SEGUNDA CHAMADA 2017.1B – 17/06/2017
1.Dado o sistema S= , apresente o posto da matriz dos coeficientes e a classificação do sistema,
após o escalonamento.
a) Posto= 2, sistema possível e determinado.
b) Posto= 3, sistema possível e determinado.
c) Posto= 2, sistema impossível.
d) Posto= 1, sistema possível e Indeterminado.
e) Posto= 3, sistema impossível.
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo: Unidade 2-Classificação do sistema, Pág. 50.
Comentário: Posto- é o nº de linhas não nulas pc=2;pa= 3, logo como pc≠pa o
Sistema é impossível.
2. Sejam as matrizes:
[ ]
1
1 2 3 2 0 1
, , 2 2 1
2 1 1 3 0 1
4
A B C e D
−
− = = = = − −
Se possível, determine e assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, a solução das operações entre as
matrizes: A.C e B+D
a) A.C= ; B+D=
GABARITO
QUESTÕES COMENTADAS
Disciplina ÁLGEBRA LINEAR
Professor (a) KARLA ADRIANA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A A C C D C E D
Página 2 de 5
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
b) ,
c) Não é possível o produto A.C e a adição B+
d) , não é possível B+D
e) não pode ser realizado A.C; B+D
Alternativa correta: Letra D.
Identificação do conteúdo: Unidade 1- Operações com matrizes, Págs.7-9.
Comentário: Não pode ser realizada a adição entre B+D, tendo em vista que a ordem das matrizes são diferentes.
A.C=
3.Considere os vetores u=(3,6,2), v=(-1,0,1) e t= (3,12,7). Assinale a alternativa que apresente o vetor h formado pelas
coordenadas de t em relação aos vetores u e v.
a) h= (2,3)
b) h=(2, 11)
c) h=(-2, -3)
d) h=(15, 5)
e) h= (2, 15)
Alternativa correta: Letra A.
Identificação do conteúdo: Unidade 3 - Combinação Linear MÉDIO. Págs.84 – 92.
Comentário: x(3,6,2) + y(-1,0, 1)=(3,12,7) , , x=2 e y=3
4. Determine a matriz inversa, sabendo que seus elementos estão representados pelas variáveis X, Y, Z e W, na matriz
que compõe o sistema a seguir. Utilize uma propriedade da matriz inversa para determinar as variáveis.
a)
b)
c)
d)
Página 3 de 5
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
e)
Alternativa correta:
Identificação do conteúdo: Unidade 1-matriz inversa, pág.20.
Comentário: Na propriedade matriz inversa fala-se que se o produto entre duas matrizes resulta na identidade, ou seja,
AB=I, uma será a inversa da outra.
Resolvendo os sistemas: , ; teremos: x= -1, y=1, z=3/2 e w= -1.
ou
A= , = , Logo temos:
= x= -1, y=1, z=3/2 e w= -1
5. Considere a transformação linear T: R2 --> R2 , tal que T(x,y)=( - x +4y, x+2y).
Sendo λ1 e λ2 os autovalores de T, marque a alternativa que apresenta, respectivamente, o polinômio característico e
os autovalores associados a T.
a) K²-k+6=0, -3 e 2
b) K²-k-6=0, 3 e 2
c) K²-k-6=0, 3 e -2
d) K²-k-6=0, -3 e -2
e) K²-k+6=0, 3 e 2
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo: Unidade 4- Transformação Linear (Autovalores), Pág. 116.
Comentário: A matriz transformação:
Det( .k )=0
K²-k-6=0,
K= 3 e k=-2
6. Seja S o subespaço de = { at² + bt + c/ a,b,c R} gerado pelos vetores = t²-2t+1,
= t+2 . Analise os vetores e classifique-os em LD e LI. Caso seja LI, determinar a dimensão de S.
a) LD e 3
b) LD e 2
c) LI e 2
d) LI e 1
e) LI e 3
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo: Unidade 3- Dependência e Independência Linear – págs. 87 – 92.
Página 4 de 5
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Comentário: a (1, -2,1) + b(0,1, 2)= (0,0,0), resolvendo o sistema a=0 e b=0, logo os vetores são LI. Todo conjunto de
vetores geram subespaços e a quantidade de vetores indica a dimensão do subespaço, ou seja, a dimensão é 2. Alternativa C.
7. Assinale a alternativa que apresenta a classificação e o valor de k que torna o sistema abaixo impossível.
,
a) K≠6
b) K ≠ -26
c) K≠26
d) K≠ -6
e) K≠ -16
Alternativa correta: Letra D.
Identificação do conteúdo: Unidade 2. Sistemas de equações lineares- Classificação, Pág 40.
Comentário:
Resolvendo o Sistema temos x= -8 e y= -10. Logo k= 2x-y, k ≠ 2.(-8)- (-10)
K ≠ -6.
8.Sejam as matrizes. , calcule o valor (detA x det B).
a) 1
b) 5
c) -6
d) -2
e) 3
Alternativa correta: Letra C.
Identificação do conteúdo: Unidade 1-Cálculo do determinante, Pág. 17 e 18.
Comentário: Calcular o determinante da matriz det = 0-2=-2 =3,
Logo, detA+ detB= -2 x 3= -6
9. Seja a T: R³→R³ com operador Linear T(x,y,z) definido pela matriz .
Qual é o operador da transformação e o polinômio característico associado a T?Assinale a alternativa que responde,
respectivamente, a cada pergunta anterior.
a) T(v)= (2x +z, 2z,3y), não apresenta polinômio característico.
b) T(v)= (x +z, 2z,3y), k³ + k²=0
c) T(v)= (2x +z, -z,3y), não tem polinômio característico.
d) T(v)= (2x +z, 2z,3y), - k³ - k²=0
e) T(v)= (2x +z, 2z,3y), - k³ + k²=0
Alternativa correta: Letra E.
Identificação do conteúdo: Resposta:Unidade 4- Transformação Linear (Autovalores).Págs. 102 e 116.
Página 5 de 5
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Comentário: . = 2x+z, 2z, 3y
T(x,y,z)=x(2,0,0)+ y(0,0,3)+ z(1,2,0), T(x,y,z)= (2x + z , 2z , 3y)
A matriz transformação:
Det ( . k )=0
- k³ + k²=0
10. Se A é uma matriz identidade, que tipo de matriz é A- A’( A menos sua transposta) ?
a) Triangular Superior.
b) Triangular Inferior.
c) Matriz Diagonal.
d) Matriz Nula.
e) Matriz Identidade.Alternativa correta: Letra D.
Identificação do conteúdo:
Comentário: Unidade 1- Tipo de matriz e operação com matriz . Págs 4-6 e 17
- = ,
Página 1 de 4
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
FINAL 2017.1B – 08/07/2017
1. Seja o conjunto B={(u, v, t) } uma base do R³, e os vetores u= (1, 0, -1), v= (1, 2, 1) e t= (0,-1, 0), assinale a
alternativa que apresenta as coordenadas que demonstram que é uma base do R³.
a) a= , b= e c= x+z-y
b) a= , b= e c= x+z-y
c) a= , b= e c= x+z-y
d) a= x-z , b= e c= x+z-y
e) a= x-z , b= e c= x+z-y
Alternativa correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Unidade 3- Combinação Linear. Págs: 84-92.
Comentário: a(1, 0, -1) + b(1,2,1)+ c(0, -1,0)= (x,y,z)
a+b=x
2b-c=y
-a +b= z,
a=x-z/2 , b= x+z/2 e c= x+z-y
2.Dado o sistema: S= , apresente o posto da matriz ampliada e a classificação do sistema,
após o escalonamento.
a) Posto= 2, sistema possível e determinado.
b) Posto= 3, sistema possível e determinado.
c) Posto= 2, sistema impossível.
d) Posto= 1, sistema possível e Indeterminado.
GABARITO
QUESTÕES COMENTADAS
Disciplina ÁLGEBRA LINEAR
Professor (a) KARLA ADRIANA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A E C C E C C B C A
Página 2 de 4
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
e) Posto= 3, sistema impossível.
Alternativa correta: letra E
Identificação do conteúdo: Unidade 2-Classificação do sistema Pág50
Comentário: Posto- é o nº de linhas não nulas pc=2;pa= 3, logo como pc≠pa o
Sistema é impossível
3. Subespaços são subconjuntos contidos nos Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da adição e
multiplicação por um escalar, sendo assim, verifique se os subconjuntos são subespaços do Espaço Vetorial
M2x2 .
S={ ( X, Y) є R²/ x= } , W= ; a, b, c, d ∊ R / d= b}
a) S e W são subespaços de M2x2
b) S é subespaço de M2x2 e W não.
c) S não é subespaço de M2x2, mas W é.
d) S e W não são subespaços de M2x2 .
e) S e W são subespaços de R².
Alternativa correta: letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 3.Subespaços vetoriais. Pág .79.
Comentário: S não é subespaço de M2x2 , por estar contido no espaço do R², ou seja, ele não está contido no
espaço M2x2 .
W está contido no espaço M2x2 , é subespaço, pois o mesmo atende as duas condições necessárias para ser
subespaço, ou seja, a adição e multiplicação por um escalar. Logo apenas W é subespaço de M2x2 .
4. Assinale a alternativa que representa o vetor m formado pelas coordenadas de l em relação aos vetores p e q.
Sendo os vetores p=(3,6,2), q=(-1,0,1) e l= (3,12,7).
a) m= (-2,-3)
b) m=(2, 11)
c) m=(2, 3)
d) m=(15, 5)
e) m= (2, 15)
Alternativa correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 3- Combinação Linear, págs. 84 – 92.
Comentário:
x(3,6,2) + y(-1,0, 1)=(3,12,7) , , x=2 e y=3
5. Que tipo de matriz representada pelas variáveis X, Y, Z e W será resultante do sistema de equações lineares,
representado na forma matricial ?
a) Simétrica.
b) Identidade.
c) Triangular inferior.
d) Triangular superior.
e) Inversa em relação à matriz de coeficientes.
Alternativa correta: Letra E
Identificação do conteúdo: Unidade 1-matriz inversa, pág.20.
Comentário: Pela propriedade matriz inversa, diz que se o produto entre duas matrizes resulta na identidade, ou seja,
AB=I, uma será a inversa da outra.
Página 3 de 4
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
6. Considere a transformação T: R2 --> R2 tal que T(x,y)=( - x +4y, x+2y), verifique se é linear. Caso seja,
determine λ1 e λ2, os autovalores de T, e marque a alternativa que apresenta, respectivamente, as
solicitações do enunciado.
a) Não é linear.
b) É linear, 3 e 2.
c) É linear, 3 e -2.
d) É linear, -3 e -2.
e) É linear, -3 e 2.
Alternativa correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 4- Transformação Linear (Autovalores), pág. 116.
Comentário: A matriz transformação:
Det( .k )=0
K²-k-6=0,
K= 3 e k=-2
7. Seja S o subespaço de = { at² + bt + c/ a,b,c R} gerado pelos vetores = t²-2t+1,
= t+2 . Analise os vetores e classifique-os em LD e LI, caso seja LI, determinar a dimensão de S.
a) LD e 3.
b) LD e 2.
c) LI e 2.
d) LI e 1.
e) LI e 3.
Alternativa correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 3- Dependência e Independência Linear, págs- 87 – 92.
Comentário: a (1, -2,1) + b(0,1, 2)= (0,0,0), resolvendo o sistema a=0 e b=0, logo os vetores são LI. Todo conjunto de
vetores geram subespaços e a quantidade de vetores indica a dimensão do subespaço, ou seja, a dimensão é 2.
8. Sejam as matrizes. , calcule o valor detA - det B.
a) 1
b) -5
c) 0
d) -2
e) 3
Alternativa correta: Letra B
Identificação do conteúdo: Unidade 1-Cálculo do determinante, págs. 17 e 18
Comentário: Calcular o determinante da matriz det = 0-2=-2 =3,
Logo, detA+ detB= -2 - 3= -5.
9.Sejam as matrizes: , calcule o valor (detA x det B).
a) 1
b) -5
c) -3
d) -1
e) 3
Alternativa correta: Letra C
Identificação do conteúdo: Unidade 1-Cálculo do determinante, págs. 17 e 18
Página 4 de 4
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA
Comentário: Calcular o determinante da matriz det = 0-3= -3 =3 – 2= 1,
Logo, detA+ detB= -3 x 1= -3
10. Seja o operador T(x,y,z) = (x + 2z , z – x , x + y + 2z ).T é uma Transformação Linear? Qual é a matriz
transformação linear associada a ‘T’? Qual o polinômio característico? Apresente a alternativa que responde,
respectivamente, as perguntas realizadas no enunciado.
a) T é linear, , -X³+3X²+ X-3
b) não é linear, ,
-X³+2X²+ X-2
c) T é linear, , não tem polinômio característico.
d) T é linear, não apresenta matriz transformação , -X³+2X²+ X-2
e) T não é linear, não apresenta matriz transformação, não apresenta polinômio característico.
Alternativa correta: Letra A
Identificação do conteúdo: Unidade 4:Transformação Linear- autovalores (valores próprios).págs.116 e 117.
Comentário: T é linear, basta testar as propriedades:
T(U+V)= T(U)+t(V)
T(KU)= KT(U)
A matriz transformação, é a matriz do operador linear
O polinômio característico é resultante do
Det[ - x. ]= 0
-X³+3X²+ X-3.
Página 1 de 2
GRADUAÇÃO EAD
AV2 2018.1B
16/06/2018
QUESTÃO 1.
Nas aulas de física é comum o professor resolver
problemas de decomposição de forças utilizando
vetores. Em uma das aulas, o professor escreveu o
mesmo vetor algebricamente em dois espaços
vetoriais diferentes. Sendo v= (5,4,2) o vetor
utilizado pelo professor, e os vetores da base do
R³ B={ a=(1,2,3), b=(0,1,2),c=(0,0,1)}. Represente a
combinação do vetor utilizado, no espaço vetorial
R³ em relação à base B e marque a alternativa
correta.
R: 5a – 6b -c
QUESTÃO 2.
Sejam os vetores u= ( 1,1) e v= (-1, 0) uma base
para o R², marque a combinação que escreve o
vetor genérico do R².
R: y (1,1) + (y- x) (- 1, 0)
QUESTÃO 3.
Para tratar de circuitos elétricos faz-se necessário
definir a lei de Ohm, em que a força elétrica é
produto da resistência pela corrente elétrica. F=R.i.
No circuito com duas baterias e quatro resistores
encontramos as seguintes equações para os nós.
2a+b+3c=8
4a+2b+2c= 4
2a+5b+3c= -12, sendo a, b, c as correntes.
Determine o vetor solução das correntes.
R: (-1,-5, 5)
QUESTÃO 4.
Seja o conjunto S= {(x, y, z) / x ≥ 0}, um
subconjunto do R³. Marque a justificativa incorreta
em relação a S não ser um subespaço vetorial.
R: S não é subespaço, por que ele admite as duas
condições,ou seja, a adição e multiplicação por um
escalar.
QUESTÃO 5.
5. Subespaços são subconjuntos contidos nos
Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da
adição e multiplicação por um escalar Sendo
assim, verifique se os subconjuntos a seguir são
subespaços do Espaço Vetorial M2x2 e marque a
alternativa correta.
R: S não é subespaço de M2x2, mas W e T, sim.
QUESTÃO 6.
Dados os vetores do Espaço Vetorial R³, assinale
as coordenadas(a,b,c) da combinação linear, para
que o vetor v= (4, 3, -6) seja combinação linear
dos vetores v1= (1,0,0) e v2= (0,1,0) e v3 = (0,0,1).
R: a=4 , b= 3, c=-6
QUESTÃO 7.
As imagens de um filme na terceira dimensão
foram analisadas em um plano com duas
coordenadas. De acordo com os dados das
imagens das transformações, marque a
transformação linear
R: T(V)= (2X+Y, Y-Z)
QUESTÃO 8.
Seja o operador T(x,y,z) = (x + 2z , z – x , x + y + 2z
).T é uma Transformação Linear? Qual é a matriz
transformação linear associada a ‘T’? Qual o
núcleo de T? Assinale a alternativa que responde
respectivamente as perguntas realizadas no
enunciado.
R:
ÁLGEBRA LINEAR
Página 2 de 2
QUESTÃO 9.
Se A é uma matriz identidade, que tipo de matriz é
A- A’( A menos sua transposta) ?
R: Matriz Nula.
QUESTÃO 10.
Considere os vetores u=(3,6,2), v=(-1,0,1) e t=
(3,12,7). Assinale a alternativa que apresente o
vetor h formado pelas coordenadas de t em relação
aos vetores u e v.
R: h= (2,3)
Página 1 de 2
GRADUAÇÃO EAD
SEGUNDA CHAMADA 2018.1B
30/06/2018
QUESTÃO 1.
Dadas as matrizes A e B, determine os valores de m
e n para que as matrizes sejam iguais.
Sendo:
A= e B=
R: n=5 e m=-6
QUESTÃO 2.
Dados os vetores do Espaço Vetorial R³, apresentar
as coordenadas(a,b,c) que compõe a combinação
linear, de forma que o vetor v= (4, 3, -6) seja
combinação linear dos vetores v1= (1,0,0) e v2=
(0,1,0) e v3 = (0,0,1).
R: a=4 , b= 3, c=-6
QUESTÃO 3.
Sejam os vetores u= ( 1,1) e v= (-1, 0) uma base
para o R², apresente a combinação que escreve o
vetor genérico do R².
R: y (1,1) + (y- x) (- 1, 0)
QUESTÃO 4.
Sendo T: R²→ R² uma transformação linear no
mesmo plano. Determine os valores próprios (a e b)
e vetores próprios(v1 e v2) de t(x,y)= (x+2y, -x+4y).
R: a=3 e v1=(y,y); b=2 e v2=(2y,y)
QUESTÃO 5.
No circuito com duas baterias e quatro resistores,
encontramos as seguintes equações para os nós.
2a+b+3c=8
4a+2b+2c= 4
2a+5b+3c= -12, sendo a, b, c as correntes.
Determine o vetor solução das correntes.
R: (-1,-5, 5)
QUESTÃO 6.
Subespaços são subconjuntos contidos nos
Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da
adição e multiplicação por um escalar e são
gerados por bases e estas determinam a sua
dimensão. Sendo assim, determine a dimensão do
subespaço T de M2x2 .
, T = ; a, b, c, d ∊ R / d= b}
R: Dim=3
QUESTÃO 7.
Para quais valores de k o conjunto B= {(1, k), (k,4) }
é base do R²?
R: K ≠2 e K ≠ -2
QUESTÃO 8.
Seja a T: R³→R³ , determine o operador Linear
T(x,y,z), definido pela matriz .
R: ( 2x+z, 2z, 3y)
QUESTÃO 9.
Determine o valor de k que torna o sistema
possível .
R: K= - 6
QUESTÃO 10.
Duas matrizes são iguais, se e somente se, seus
termos correspondentes são iguais. Sendo assim,
determine os valores de y e x da matriz A, para que
esta seja igual a matriz B.
A=
e
B=
ÁLGEBRA LINEAR
Página 2 de 2
R: X= 7, -7 ; Y= 8
GRADUAÇÃO EAD
FINAL 2018.1B
07/07/2018
QUESTÃO 1.
Um engenheiro mecânico apresentou os vetores
que representam as forças sobre uma determinada
estrutura através da combinação linear dos vetores
u= (1, 0, -1), v= (1, 2, 1) e t= (0,-1, 0) do R³. Sendo
assim, marque a alternativa que mostra a
combinação que demonstra que B={(u, v, t) } é uma
base do R³, ou seja, que escreve todos os vetores
força através da combinação linear.
R: a=(x-z)/2, b=(x+z)/2, c=(2X- 2Y+2Z)/2
QUESTÃO 2.
Dados os vetores do Espaço Vetorial R³, assinale a
alternativa que apresenta as coordenadas(a,b,c)
que compõem a combinação linear de forma que o
vetor v= (4, 3, -6) seja combinação linear dos
vetores v1= (1,0,0) e v2= (0,1,0) e v3 = (0,0,1).
R: a=4 , b= 3, c=-6
QUESTÃO 3.
Sejam os vetores u= ( 1,1) e v= (-1, 0) uma base
para o R², marque a alternativa que apresenta a
combinação que escreve o vetor genérico do R².
R: y (1,1) + (y- x) (- 1, 0)
QUESTÃO 4.
Sendo T: R²→ R² uma transformação linear no
mesmo plano. Determine os valores próprios (a e b)
e vetores próprios (v1 e v2) de t(x,y)= (x+2y, -x+4y).
R: a=3 e v1=(y,y); b=2 e v2=(2y,y)
QUESTÃO 5.
Subespaços são subconjuntos contidos nos
Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da
adição e multiplicação por um escalar. Sendo
assim, assinale a alternativa que apresenta uma
base e a dimensão do subespaço M2x2 .
R: , , , dim= 3
QUESTÃO 6.
De acordo com os dados das imagens das
transformações lineares,determine r T: R³ R² tal
que T (1,0,0) = (2,0), T(0,1,0) = (1,1) e T(0,0,1) = (0,-1).
R: T(V)= (2X+Y, Y-Z)
QUESTÃO 6.
Dado o operador T(x,y,z) = (x + 2z , z – x , x + y + 2z
).T , podemos afirmar que ele é uma Transformação
Linear? Qual o núcleo de T? Assinale a alternativa
que responde, respectivamente, as perguntas
realizadas no enunciado.
R: T é linear, (0,0,0)
QUESTÃO 8.
Determine a dimensão do subespaço vetorial w={
(x,y,z)ЄR³/ Y=3X}.
R: Dim=2
QUESTÃO 9.
Determine o valor de K para que a matriz não
admita matriz inversa. Sendo: A= .
R: k=9
QUESTÃO 10.
Dadas as matrizes A e B, determine os valores de m
e n para que as matrizes sejam iguais. Sendo:
A= e B=
R: n=5 e m=-6
ÁLGEBRA LINEAR
Página 1 de 2
GRUPO SER EDUCACIONAL
GRADUAÇÃO EAD
GABARITO
FINAL 2018.1B – 14/07/2018
1.Dado o sistema S= , apresente o posto da matriz dos coeficientes e a classificação do sistema,
após o escalonamento.
Posto= 2, sistema impossível.
2. Sejam as matrizes:
1
1 2 3 2 0 1
, , 2 2 1
2 1 1 3 0 1
4
A B C e D
Se possível, determine e assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, a solução das operações entre as
matrizes: A.C e B+D
, não é possível B+D
3.Considere os vetores u=(3,6,2), v=(-1,0,1) e t= (3,12,7). Assinale a alternativa que apresente o vetor h formado pelas
coordenadas de t em relação aos vetores u e v.
h= (2,3)
4. Determine a matriz inversa, sabendo que seus elementos estão representados pelas variáveis X, Y, Z e W, na matriz
que compõe o sistema a seguir. Utilize uma propriedade da matriz inversa para determinar as variáveis.
QUESTÕES
Disciplina ÁLGEBRA LINEAR
Página 2 de 2
DISCIPLINA: SOCIOLOGIA E ÉTICA PROFISSIONAL PROFESSOR (A): ROBERTO SANTOS
5. Considere a transformação linear T: R2 --> R2 , tal que T(x,y)=( - x +4y, x+2y).
Sendo λ1 e λ2 os autovalores de T, marque a alternativa que apresenta, respectivamente, o polinômio característico e
os autovalores associados a T.
K²-k-6=0, 3 e -2
6. Seja S o subespaço de = { at² + bt + c/ a,b,c R} gerado pelos vetores = t²-2t+1,
= t+2 . Analise os vetores e classifique-os em LD e LI. Caso seja LI, determinar a dimensão de S.
LI e 2
7. Assinale a alternativa que apresenta a classificação e o valor de k que torna o sistema abaixo impossível.
,
K≠ -6
8.Sejam as matrizes. , calcule o valor (detA x det B).
-6
9. Seja a T: R³→R³ com operador Linear T(x,y,z) definido pela matriz .
Qual é o operador da transformação e o polinômio característico associado a T?Assinale a alternativa que responde,
respectivamente, a cada pergunta anterior.
T(v)= (2x +z, 2z,3y), - k³+ k²=0
10. Se A é uma matriz identidade, que tipo de matriz é A- A’( A menos sua transposta) ?
Matriz Nula.
21152 . 7 - Álgebra Linear - 20201.B
AV2
AV2
Roberto Ferreira de Oliveira
Nota finalEnviado: 23/05/20 16:59 (UTC-3)
4,8/6
1. Pergunta 1
/0,6
Seja o operador T(x,y,z) = (x + 2z , z – x , x + y + 2z ).T é uma Transformação Linear? Qual é a
matriz transformação linear associada a „T‟? Qual o núcleo de T? Assinale a alternativa que
responde respectivamente as perguntas realizadas no enunciado.
Correta
(B) T é linear, , (0,0,0...
Ocultar outras opções
1.
não é linear, , (0,0,0)
2.
T é linear, , (0,0,0)
Resposta correta
3.
T é linear, não tem matriz transformação, (x, x+z, z)
4.
T é linear, , não apresenta núcleo
5.
T é linear, , (x, x+z, z)
2. Pergunta 2
/0,6
Para tratar de circuitos elétricos faz-se necessário definir a lei de Ohm, em que a força elétrica é
produto da resistência pela corrente elétrica. F=R.i. No circuito com duas baterias e quatro resistores
encontramos as seguintes equações para os nós.
2a+b+3c=8
4a+2b+2c= 4
2a+5b+3c= -12, sendo a, b, c as correntes.
Determine o vetor solução das correntes.
Correta
(E) (-1,-5, 5
Ocultar outras opções
1.
(5, -1, 5 )
2.
(-1, 5, -5)
3.
(-4, -5, 5)
4.
(4, 5, 5)
5.
(-1,-5, 5)
Resposta correta
3. Pergunta 3
/0,6
Assinale a alternativa, que não corresponde a representação do subespaço vetorial do R4.
W = {(x, y, z, t) → R4 | 2x + y – t = 0 e z = 0}.
Incorreta
(B) W= {(x, t-2x,t , t está correta
Ocultar outras opções
1.
W= {( ,y , 0, t)}
2.
W= {(x, t-2x,t , t)
Resposta correta
3.
W= {(x, y, 0, 2x+y)
4.
W= {(-x, -y, 0, 2x+y)
5.
W= {(x, t-2x, 0, t)
4. Pergunta 4
/0,6
Seja a matriz A de ordem 3. Calcule o determinante de A.
Sendo A= .
Correta
(B) 156
Ocultar outras opções
1.
90
2.
156
Resposta correta
3.
276
4.
216
5.
-60
5. Pergunta 5
/0,6
Seja a matriz A de ordem 2. Calcule o determinante de A.
Sendo .
Correta
(E) 18
Ocultar outras opções
1.
28
2.
-10
3.
-60
4.
90
5.
18
Resposta correta
6. Pergunta 6
/0,6
Uma certa Faculdade tem 107 alunos nos primeiros e segundos períodos, 74 nos segundos e terceiros
e 91 nos primeiros e terceiros períodos. Represente esses dados na forma de um sistema de equação,
dando sua forma matricial e determinando o número total de alunos da Faculdade.
Correta
(B) 136
Ocultar outras opções
1.
105
2.
136
Resposta correta
3.
107
4.
64
5.
74
7. Pergunta 7
/0,6
Seja o conjunto S= {(x, y, z) / x ≥ 0}, um subconjunto do R³, apresente a justificativa incorreta em
relação a S não ser um subespaço vetorial.
Correta
(C) S não é subespaço, porque...
Ocultar outras opções
1.
S não é subespaço, porque ele não admite a propriedade da adição em relação ao elemento simétrico.
2.
S não é subespaço, porque ele admite a adição entre dois elementos, mas não atende à todas as
propriedades da adição.
3.
S não é subespaço, porque ele admite as duas condições, ou seja, a adição e multiplicação por um
escalar.
Resposta correta
4.
S não é subespaço, porque ele não admite a propriedade distributiva.
5.
S não é subespaço, porque ele não admite a multiplicação de um elemento que pertence a ele, por
qualquer escalar
8. Pergunta 8
/0,6
Dados os vetores do Espaço Vetorial R³, apresente as coordenadas da combinação linear, para que o
vetor v= (2, -3, 4) seja combinação linear dos vetores v1= (1, 0,0) e v2= (0, 1, 0) e v3= (1,-1,1).
Incorreta
(D) a= -2, b=1, c= 4 está correta
Ocultar outras opções
1.
a=5, b=14, c= 3
2.
a= x+y , b= y , c= z
3.
a= y, b= -x, c=z
4.
a= -2, b=1, c= 4
Resposta correta
5.
a= 3, b=4, c= -6
9. Pergunta 9
/0,6
Considere a transformação linear T: R2 --> R2 , tal que T(x,y)=( - x +4y, x+2y).
Sendo λ1 e λ2 os autovalores de T, marque a alternativa que apresenta, respectivamente, o polinômio
característico e os autovalores associados a T.
Correta
(E) K²-k-6=0, 3 e -2
Ocultar outras opções
1.
K²-k-6=0, -3 e -2
2.
K²-k-6=0, 3 e 2
3.
K²-k+6=0, 3 e 2
4.
K²-k+6=0, -3 e 2
5.
K²-k-6=0, 3 e -2
Resposta correta
10. Pergunta 10
/0,6
Considere a equação matricial abaixo e determine o valor de “x” para que y2 – 2y + 1 = 0.
Correta
(D) 1 ou -1
Ocultar outras opções
1.
1 ou 10
2.
1 ou zero
3.
3 ou -2
4.
1 ou -1
Resposta correta
5.
3 ou 2
Ajuda para a página atual
Cursos carregados com sucesso
0,60,600,60,60,60,600,60,6
https://d2aqwpvls1cndj.cloudfront.net/ultra/uiv2020-05-19_19-21-29-release
https://d2aqwpvls1cndj.cloudfront.net/ultra/uiv2020-05-19_19-21-29-release
Correta
(D) S= { (x,y,z) є R³ / 7x+5y...
Ocultar outras opções
AV2
21138 . 7 - Álgebra Linear - 20201.B
Pergunta 1 -- /0,6
Determine o subespaço gerado pelo conjunto, A={(-1,3,2),(2,-2,1)}.
S= { (x,y,z) є R³ / x -y-z=0}
S= { (x,y,z) є R³ / x= y e z= y}
S= { (x,y,z) є R³ / x= -2y e z= y}
Resposta corretaS= { (x,y,z) є R³ / 7x+5y-4z=0}
S= { (x,y,z) є R³ / x= -2y e z= -3y}
Pergunta 2 -- /0,6
Sejam as matrizes: (AxB +C.
Assinale a alternativa que apresenta a solução final da expressão.
6/6
Nota final
Enviado: 23/05/20 18:45 (BRT)
Correta
(B) Não pode ser ...
Ocultar outras opções
Correta
(D) S não é subespaço de M2x2...
Ocultar outras opções
Resposta corretaNão pode ser realizada a soma do produto A.B +C
Pergunta 3 -- /0,6
Subespaços são subconjuntos contidos nos Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da adição e
multiplicação por um escalar. Sendo assim, verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços do
Espaço Vetorial M e marque a alternativa correta.
S={ ( X, Y) є R²/ x = 0}, ; a, b, c, d є R / d= b+c}, ; a, b, c, d є R / d= }
2x2
S , W e T são subespaços de M .2x2
Correta
(B) W= {(x, t-2x,t , t
Ocultar outras opções
Correta
(D) (5, -6, -1
S é subespaço de M , mas W e T, não. 2x2
S e W não são subespaços de M , mas T é.2x2
Resposta corretaS não é subespaço de M , mas W e T, sim.2x2
S e T não são subespaços de M , mas W sim.2x2
Pergunta 4 -- /0,6
Assinale a alternativa, que não corresponde a representação do subespaço vetorial do R .
W = {(x, y, z, t) → R | 2x + y – t = 0 e z = 0}.
4
4
W= {(-x, -y, 0, 2x+y)
Resposta corretaW= {(x, t-2x,t , t)
W= {(x, t-2x, 0, t)
W= {( ,y , 0, t)}
W= {(x, y, 0, 2x+y)
Pergunta 5 -- /0,6
Sendo v= (5,4,2) o vetor e os vetores da base do R³ B={ a=(1,2,3), b=(0,1,2),c=(0,0,1)}. Represente o vetor
coordenada, da combinação que escreve v em relação à base B.
Ocultar outras opções
Correta
(D) (2,1
Ocultar outras opções
(5, 12,6)
(1, 6, 9)
(2, -6, 9)
Resposta correta(5, -6, -1)
(1, 26, 9)
Pergunta 6 -- /0,6
Dados os vetores do R², apresente o vetor coordenada de v= (6,2) em relação à base
B= {(3,0), (0,2)}.
(-3,4)
(-2, -1)
(6,2)
Resposta correta(2,1)
(3,4)
Pergunta 7 -- /0,6
Considere a equação matricial abaixo e determine o valor de “x” para que y – 2y + 1 = 0.2
Correta
(A) 1 ou -1
Ocultar outras opções
Correta
(E) 156
Ocultar outras opções
Resposta correta1 ou -1
1 ou 10
1 ou zero
3 ou -2
3 ou 2
Pergunta 8 -- /0,6
Seja a matriz A de ordem 3. Calcule o determinante de A.
Sendo A= .
216
276
Correta
(D) (3, 2, 1
Ocultar outras opções
Correta
(A) a= (x-y) e b= (-x+2y
-60
90
Resposta correta156
Pergunta 9 -- /0,6
Para tratar de circuitos elétricos faz-se necessário definir a lei de Ohm, em que a força elétrica é produto da
resistência pela corrente elétrica. F=R.i.
No circuito com duas baterias e quatro resistores encontramos as seguintes equações para os nós:
3a+2b-5c=8
2 a-4b - 2c= -4
A -2b -3c= -4, sendo a, b, c as correntes.
Determine o vetor solução das correntes.
(5, -1, 5 )
(-4, -5, 5)
(-1,-5, 5)
Resposta correta(3, 2, 1)
(-1,5, -5)
Pergunta 10 -- /0,6
Apresentar as coordenadas, que mostram que v= (2,1) e u= (1,1) geram o R².
Ocultar outras opções
Resposta corretaa= (x-y) e b= (-x+2y)
a= x e b= (-x+2y)
a= (x-y) e b= 2y
a= -y e b= (-x+2y)
a= (x- 2y) e b= (x+2y)
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/outline/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7524594_1/review?courseId=_27605_1 1/6
Correta
(D) Matriz Nula
Mostrar outras opções
AV2
Raianny Neiva de Queiroz
Pergunta 1 -- /0,6
Se A é uma matriz identidade, que tipo de matriz é A- A’( A menos sua transposta) ?
Pergunta 2 -- /0,6
6/6
Nota final
Enviado: 23/05/20 19:01 (BRT)
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/outline/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7524594_1/review?courseId=_27605_1 2/6
Correta
(D) 3 unidades
Mostrar outras opções
Correta
(D) (3, 2, 1
Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (a j), em que a representa quantas unidades do material j
serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.
A =
Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2?
i ij
Pergunta 3 -- /0,6
Para tratar de circuitos elétricos faz-se necessário definir a lei de Ohm, em que a força elétrica é produto da resistência pela corrente elétrica. F=R.i.
No circuito com duas baterias e quatro resistores encontramos as seguintes equações para os nós:
3a+2b-5c=8
2 a-4b - 2c= -4
A -2b -3c= -4, sendo a, b, c as correntes.
Determine o vetor solução das correntes.
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/outline/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7524594_1/review?courseId=_27605_1 3/6
Mostrar outras opções
Correta
(C) S= { (x,y,z) є R³ / x= -...
Mostrar outras opções
Correta
(C) (2,1
Pergunta 4 -- /0,6
Determine o subespaço gerado pelo conjunto, A={(2,-1,3)} em função da variável y.
Pergunta 5 -- /0,6
Dados os vetores do R², apresente o vetor coordenada de v= (6,2) em relação à base
B= {(3,0), (0,2)}.
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/outline/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7524594_1/review?courseId=_27605_1 4/6
Mostrar outras opções
Correta
(C) a= (x-y) e b= (-x+2y
Mostrar outras opções
Correta
(C) S não é subespaço de M2x2...
Pergunta 6 -- /0,6
Apresentar as coordenadas, que mostram que v= (2,1) e u= (1,1) geram o R².
Pergunta 7 -- /0,6
Subespaços são subconjuntos contidos nos Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da adição e multiplicação por um escalar. Sendo assim, verifique se
os subconjuntos a seguir são subespaços do Espaço Vetorial M e marque a alternativa correta.
S={ ( X, Y) є R²/ x = 0}, ; a, b, c, d є R / d= b+c}, ; a, b, c, d є R / d= }
2x2
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/outline/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7524594_1/review?courseId=_27605_1 5/6
Mostrar outras opções
Correta
(D) n=5 e m=-6
Mostrar outras opções
Correta
(E) K= -6
Pergunta 8 -- /0,6
Dadas as matrizes A e B, determine os valores de m e n para que as matrizes sejam iguais.
Sendo:
A = e B =
Pergunta 9 -- /0,6
Determine o valor de k para que o sistema seja possível:
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/outline/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7524594_1/review?courseId=_27605_1 6/6
Mostrar outras opções
Correta
(C) LI e 2
Mostrar outras opções
Pergunta 10 -- /0,6
Seja S o subespaço de = { at² + bt + c/ a,b,c R} gerado pelos vetores = t²-2t+1, = t+2 . Analise os vetores e classifique-os em LD e LI. Caso seja LI,
determinar a dimensão de S.
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 1/7
Correta
(D) 5a – 6b -c
Ocultar outras opções
Correta
(D) a=3 e v1=(y,y); b=2 ...
Ocultar outras opções
Pergunta 1 -- /0,6
Nas aulas de física é comum o professor resolver problemas de decomposição de forças utilizando vetores. Em
uma das aulas, o professor escreveu o mesmo vetor algebricamente em dois espaços vetoriais diferentes.
Sendo v= (5,4,2) o vetor utilizado pelo professor, e os vetores da base do R³ B={ a=(1,2,3), b=(0,1,2),c=(0,0,1)}.
Represente a combinação do vetor utilizado, no espaço vetorial R³ em relação à base B e marque a alternativa
correta.
-7 a + 5b+ -6c
5a + 12b + -6c
a + 26b + 9c
Resposta correta5a – 6b -c
2 a + -6b + 9c
Pergunta 2 -- /0,6
Sendo T: R²→ R² uma transformação linear no mesmo plano. Determine os valores próprios (a e b) e vetores
próprios (v1 e v2) de t(x,y)= (x+2y, -x+4y).
a=-5 e v1=(y,y); b=-2 e v2=(2y,y)
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 2/7
Correta
(E) 1 ou -1
Ocultar outras opções
a=-4 e v1=(y,y); b=-2 e v2=(2y,y)
a=-3 e v1=(y,y); b=-2 e v2=(2y,y)
Resposta corretaa=3 e v1=(y,y); b=2 e v2=(2y,y)
a=5 e v1=(y,y); b=3 e v2=(2y,y)
Pergunta 3 -- /0,6
Considere a equação matricial abaixo e determine o valor de “x” para que y – 2y + 1 = 0.2
1 ou 10
3 ou 2
1 ou zero
3 ou -2
Resposta correta1 ou -1
Pergunta 4 -- /0,6
Apresentar as coordenadas, que mostram que v= (2,1) e u= (1,1) geram o R².
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 3/7
Correta
(B) a= (x-y) e b= (-x+2y
Ocultar outras opções
Incorreta
(D) (3, 2, 1 está correta
Ocultar outras opções
a= x e b= (-x+2y)
Resposta corretaa= (x-y) e b= (-x+2y)
a= (x- 2y) e b= (x+2y)
a= -y e b= (-x+2y)
a= (x-y) e b= 2y
Pergunta 5 -- /0,6
Para tratar de circuitos elétricos faz-se necessário definir a lei de Ohm, em que a força elétrica é produto da
resistência pela corrente elétrica. F=R.i.
No circuito com duas baterias e quatro resistores encontramos as seguintes equações para os nós:
3a+2b-5c=8
2 a-4b - 2c= -4
A -2b -3c= -4, sendo a, b, c as correntes.
Determine o vetor solução das correntes.
(-1, 5, -5)
(-1,-5, 5)
(-4, -5, 5)
Resposta correta(3, 2, 1)
(5 -1 5 )
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 4/7
Incorreta
(E) está correta
Ocultar outras opções
(5, 1, 5 )
Pergunta 6 -- /0,6
Seja o operador linear T(x,y,z) = (x + 2z , z – x , x + y + 2z ). Apresente a matriz transformação linear associada
a ‘T’.
Resposta correta
Pergunta 7 -- /0,6
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 5/7
Correta
(E) X= -4, y= 3, z=3 e w= -2
Ocultar outras opções
Correta
(D) K= -6
Ocultar outras opções
Quais os valores de X, Y, Z e W se ?
X=-4, y= -2, z= 3 e w= -3
X= -3, y= -2, z= 4 e w= -3
X=3, y= -2, z= 4 e w=-3
X=4, y= -2, z= 3 e w= -3
Resposta corretaX= -4, y= 3, z=3 e w= -2
Pergunta 8 -- /0,6
Determine o valor de k para que o sistema seja possível:
K=6
K= -26
K=26
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 6/7
Correta
(C) 136
Ocultar outras opções
Correta
(D) a=3 e v1=(y,y); b=2 ...
Resposta corretaK= -6
K= 25
Pergunta 9 -- /0,6
Uma certa Faculdade tem 107 alunos nos primeiros e segundos períodos, 74 nos segundos e terceiros e 91 nos
primeiros e terceiros períodos. Represente esses dados na forma de um sistema de equação, dando sua forma
matricial e determinando o número total de alunos da Faculdade.
74
64
Resposta correta136
107
105
Pergunta 10 -- /0,6
Sendo T: R²→ R² uma transformação linear no mesmo plano. Determine os valores próprios (a e b)e vetores
próprios (v1 e v2) de t(x,y)= (x+2y, -x+4y).
23/05/2020 Ultra
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_27605_1/grades/assessment/_2142254_1/overview/attempt/_7520861_1/review?courseId=_2760… 7/7
Ocultar outras opções
a=5 e v1=(y,y); b=3 e v2=(2y,y)
a=-3 e v1=(y,y); b=-2 e v2=(2y,y)
a=-5 e v1=(y,y); b=-2 e v2=(2y,y)
Resposta corretaa=3 e v1=(y,y); b=2 e v2=(2y,y)
a=-4 e v1=(y,y); b=-2 e v2=(2y,y)Mais conteúdos dessa disciplina
Diapositivas - Sesión 4- Diapositivas - Sesión 5
- Cuestionario - Sesión 5
- Gabarito - Teste Avaliativo
- Sistema de Avaliação Pós-Graduação
- SISTEMAS DE EQUAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES
- Matrizes determinantes
- Agebra Linear
- Revisar envio do teste_ QUESTIONÁRIO UNIDADE II MATEMATICA APLICADA
- ATIVIDADE ONLINE 2 - AV220262 Revisão da tentativa
- PROVA Pergunta 2. A Regra de Cramer é uma técnica muito importante para a resolução de sistemas pois nos permite encontrar a solução deste, express...
- Pergunta 2. A Regra de Cramer é uma técnica muito importante para a resolução de sistemas pois nos permite encontrar a solução deste, expressando c...
- Seja T : E −→ E um operador linear e [T] a matriz de T associada `a base canônica de E. Chama-se polinômio característico de T (ou da matriz [T]) ao d
- Autovalores e autovetores são muito utilizados em ________________________, pois estão relacionados com propriedades intrínsecas da matriz. computação
- multiplicidade geométrica dos autovalores indica: indica a largura do autoespaço associado a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetore
- Informalmente falando, dada uma matriz quadrada A, um autovetor de é um vetor que não muda a sua direção, quando multiplicado por A, e seu autovalor A
- A multiplicidade algébrica dos autovalores indica: a quantidade de vezes que um determinado autovalor aparece como solução do polinômio característico
- Repita o exercício anterior, considerando um campo magnético não-homogêneo dado por, B⃗ = α x y ˆi + β y2 ˆj + [ γ ( 2x + y) − ( α + 2β ) y z ] ˆk . (
- Sejam A, B e C três matrizes tais que A=(aij)m×p e B=(bij)p×n. O produto AB é a matriz C=(cij)m×n, em que cada elemento cij é obtido por meio da soma
- uiz/attempt.php?attempt=229510&cmid=233287 30 2 GUÊS BRASIL (PT_BR) 8 TEMPO RESTANTE 1:36:53 Considere que você está conduzindo um estudo para aval...
- Dadas as matrizes abaixo: encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1. Questão 13Escolha uma opção: a. b. c. d. e.
- Dadas as matrizes abaixo: encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1. Questão 13Escolha uma opção: a. b. c. d. e.
- Dado o sistema de equações lineares abaixo a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente:
- Trivedi-Petri-43
- LIVRO INFANTIL - COLEÇÃO SENTIMENTOS - Medo