Séries de Fourier Aplicações em Geral Transformada de Fourier (TF) Aplicações específicas da TF Conclusões

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Aplicações das séries e transformadas 
de Fourier
• Séries de Fourier
•Aplicações em Geral
• Transformada de Fourier (TF)
•Aplicações específicas da TF
• Conclusões
Sinais e Sistemas
ALLapolli
Baseado no seguinte material: 
http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeF
ourier.pdf
Séries de Fourier
Exponencial Complexa:




k
tjk
keCtx
0)(
 dtetx
T
C
T
tjk
k 

0
0)(
1
0

0
0
2
T

 
Trigonométrica:
)cos(
2
)( 0
1
0
0 tsenkbtka
a
tx k
k
k   



0
)cos()(
2
0
0 T
k dttktx
T
a 

0
)()(
2
0
0 T
k dttksentx
T
b 
kkk CCa 
)( kkk CCjb 
)(
2
1
kkk jbaC 
)(
2
1
kkk jbaC 
)Re(2 kk Ca 
)Im(2 kk Cb 
Transformada de Fourier
Harmônica:
 



1
00 )cos()(
k
kk tkCCtx 
2
0
0
a
C 
22
kkk baC  






k
k
k
a
b
arctg
Séries de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Funções Periódicas são representadas por
séries de Fourier
Funções não periódicas são representadas por
transformadas de Fourier (espectro do sinal)
Uma representação de x(t) é uma
decomposição em componentes que também
são funções trigonométricas
Séries de Fourier
Transformada de Fourier
Aplicações em Geral
 Física
 Química
 Teoria dos números
 Análise Combinatória
 Processamento de sinais
 Teoria das probabilidades
 Estatística
 Criptografia
Sinal
Fenômeno variável no tempo e no
espaço.
Os sinais são funções de uma ou
mais variáveis independentes
contendo informações acerca do
comportamento ou natureza de
um fenômeno físico.
Exemplos:
f(x) => Som
F(x,y) => Imagem
F(x,y,t) => Vídeo
Transformada de Fourier
  dtetxtxX tj


  )()()(
  
 deXXtx tj


  )(
2
1
)()( 1
Transformada de Fourier
Propriedade Sinal
Transformada de 
Fourier
x(t) X()
x1(t) X1()
x2(t) X2()
Linearidade a1x1(t)+a2x2(t) a1X1()+a2X2()
Deslocamento de tempo x(t-t0) 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝜔)
Deslocamento de frequência 𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑥(𝑡) X(-0)
Escalamento de tempo x(at)
1
𝑎
𝑋
𝜔
𝑎
Inversão de tempo x(-t) X()
Dualidade X(t) 2x(-)
Diferenciação no tempo
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
jX()
Transformada de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Propriedade Sinal Transformada de Fourier
Diferenciação em frequência (-jt)x(t)
𝑑𝑋(𝜔)
𝑑𝜔
Integração 
−∞
𝑡
𝑥 𝜏 𝑑𝜏 𝜋𝑋 0 𝛿 𝜔 +
1
𝑗𝜔
𝑋(𝜔)
Convolução x1(t)*x2(t) X1()X2()
Multiplicação
x1(t)x2(t) 1
2𝜋
𝑋1(𝜔) ∗ 𝑋2(𝜔)
Sinal Real x(t)=xp(t)+xi(t)
X()=A()+jB()
X(-)=X()*
Componente par xp(t) Re[X()]=A()
Componente impar xi(t) jIm[X()]=jB()
Transformada de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Propriedades
Relações de Parseval
 
−∞
∞
𝑥1 𝜆 𝑋2 𝜆 𝑑𝜆 = 
−∞
∞
𝑋1 𝜆 𝑥2 𝜆 𝑑𝜆
 
−∞
∞
𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑑𝜆 =
1
2𝜋
 
−∞
∞
𝑋1 𝜆 𝑥2 𝜆 𝑑𝜆
 
−∞
∞
𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 =
1
2𝜋
 
−∞
∞
𝑋(𝜔) 2 𝑑𝜔
Transformada de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
A propriedade da dualidade, em destaque é
normalmente utilizada para transformada em
casos em que se conhece a transformada em um
dos sentidos e que a transformada inversa é
exige calculo complexo como integral de resíduo.
Alguns Pares de Transformada de Fourier 
Transformada de Fourier
x(t) X()
d(t) 1
d(t-t0) 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0
1 2d()
𝑒𝑗𝜔0𝑡 2d(-0)
cos0t [d(-0)+d(-0)]
sen0t j[d(-0)-d(-0)]
u(t) 𝜋𝛿(𝜔) +
1
𝑗𝜔
u(-t) 𝜋𝛿 𝜔 −
1
𝑗𝜔
e-atu(t),a>0
1
𝑗𝜔 + 𝑎
Alguns Pares de Transformada de Fourier 
Transformada de Fourier
x(t) X()
1
𝑎2 + 𝑡2
e-a||
𝑒−𝑎𝑡
2
, 𝑎 > 0
𝜋
𝑎
𝑒−𝜔
2/4𝑎
 
1 𝑡 < 𝑎
0 𝑡 > 𝑎
2𝑎
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑎
𝜔𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡
𝜋𝑡
 
1 𝑤 < 𝑎
0 𝑤 > 𝑎
𝑠𝑔𝑛 𝑡 = 
−1, 𝑡 < 0
0, 𝑡 = 0
1, 𝑡 > 0
2
𝑗𝜔
 
𝑘=−∞
∞
𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇0) 𝜔0 
𝑘=−∞
∞
𝛿(𝜔 − 𝑘𝜔0)
Aplicações específicas da TF
Transformada de Fourier
Descrição
Filtragem
Segmentação
Compressão
Reconstrução
Reconhecimento de Padrões
Aplicações específicas da TF
Transformada de Fourier
Decomposição de um sinal unidimensional
Função composta: Cons-
tituída da superposição
de vários harmônicos
Descrição das componentes 
da função
𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 4cos(5𝑥)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
t(s)
A
m
p
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
t(s)
A
m
p
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
t(s)
A
m
p
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
t(s)
A
m
p
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
t(s)
A
m
p
Aplicações específicas da TF Transformada de Fourier
Expansão em série de Fourier de uma onda quadrada:
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
1
2
3
x(t)
Am
plit
ude
Onda Quadrada
C0=A/2
C.cos(0t)
C.cos(30t)/3
C.cos(50t)/5
C.cos(7w0*t)/7
𝐴 = 2; a = 1; 𝑇0 = 4𝑎; 𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
; 𝐶 =
2𝐴
𝜋
-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
t(s)
Am
pli
tud
e
𝑥 𝑡 = 𝐶0 + 𝐶 cos 𝜔0𝑡 −
cos 3𝜔0𝑡
3
+
cos 5𝜔0𝑡
5
−
cos(7𝜔0𝑡)
7
Aplicações específicas da TF
Transformada de Fourier
A utilização de um número infinito de amostras
no domínio do tempo, consequentemente, um
número infinito de pontos no domínio da
frequência é um problema para a
implementação da transformada de Fourier na
prática (utilização de computadores).
Dessa forma, utiliza-se a Transformada Discreta
de Fourier (DFT) que utiliza um número finito
de pontos no domínio do tempo e define uma
representação discreta do sinal no domínio da
frequência.
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Transformada de Fourier
  



n
njenxnxX ][][)(    
 deXXnx tj


2
1 )(
2
1
)(][
Exemplos:
Sistema de comunicação (modulação)
Multiplica-se um sinal f(t) por um sinal senoidal.
Transladar o espectro de frequência
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem (Domínio da Frequência)
• No domínio original: Convolução
• No domínio da Frequência: Transformada, seguida
de um produto e uma transformada inversa.
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Exemplos:
Sinais Biológicos
• O eletrocardiograma é realizados em uma largura
de banda menor: o interesse principal é medir o
ritmo desprezando pormenores morfológicos.
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagem
• O coeficiente F(0,0) denota a
intensidade média da imagem.
• Os Coeficientes de baixos índices
(frequências) são componentes da
imagem que variam pouco.
• Os coeficientes de alta frequência são
associados a variações bruscas de
intensidade.
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagem
• Espectros de Fourier de impressão digital.
Transformada de Fourier
Sem ruído
Com ruído
Exemplos: Imagem
Transformada de Fourier
Filtragem Passa-Alta
Filtragem 
Passa-Baixa
Exemplos: 
Filtragem
Transformada de Fourier
Exemplos:
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem: minimização de ruído
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos, 
bordas)
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagens Médicas
Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos, 
bordas)
Transformada de Fourier
Conclusões
• Fenômenos periódicos ocorrem de maneira
recorrente em várias aplicações.Estes podem
ser modelados pelas séries de Fourier.
• As séries de Fourier podem ser estendidas para
funções não periódicas utilizando-se as
Transformadas de Fourier.
• Tanto as séries como as transformadas de
Fourier são eficientes para resolução de
problemas em diversas áreas.
Transformada de Fourier