Aula 21 - Funções

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Aula 21
Raiz ou zero de uma função, Funções crescentes e decrescentes, injetoras, sobrejetoras e bijetoras, pares e ímpares.
Raiz ou zero de uma função
 
Determinar a raiz das funções é, 
determinar o ponto onde a reta intersecta o eixo x: 
y = 4x + 2 
y = 0 
4x + 2 = 0  4x = –2  x = –2/4  x = –1/2 
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2 no ponto ( -1/2, 0)
 
 y = – 2x + 10 
y = 0 
– 2x + 10 = 0  – 2x = – 10 (–1)  2x = 10  x = 10/2  x = 5 
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5  no ponto ( 5, 0 )
Funções crescentes e decrescentes
A função f: A-> B definida por y=f(x) é crescente no conjunto A1  A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos 
 f(x1) < f(x2 )
A função f: A-> B definida por y=f(x) é decrescente no conjunto A1  A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos 
 f(x1) > f(x2 )
Na função afim f(x) = ax + b:
Se a  0 e x1  x2, então ax1  ax2 e 
 ax1 + b  ax2 + b , ou seja, f(x1)  f(x2) e f é crescente em seu domínio R.
Se a  0 e x1  x2, então ax1  ax2 e 
 ax1 + b  ax2 + b , daí f(x1)  f(x2) e f é decrescente em seu domínio R.
Função crescente
Este é um exemplo de função crescente em um intervalo [a,b]. 
Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando.
Função decrescente
Este é um exemplo de função decrescente em um intervalo [a, b]. 
Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo.
Exercícios
1) Seja f: R  R dada por f(x) = (2m – 10)x. Determine m para que:
f seja crescente em R.
f seja decrescente em R.
2) Classifique em crescente ou decrescente as funções de domínio R.
f(x) = ( 3 – 1 ) x b) f(x) = ( 1 - 2 ) x
c) f(x) = (  – 4 ) x d) f(x) = ( 2 - 3 ) x 
2) Analisar gráficos
 3) (UFRJ) A figura abaixo representa o gráfico de certa função polinomial f:R→R, que é decrescente em
 [-2, 2] e crescente em ]-∞, -2] e em [2, +∞[.
  Determine todos os números reais c para os quais a equação f(x) = c admite uma única solução. Justifique. 
Solução. As linhas horizontais mostram os pontos que possuem a mesma imagem “c”. Logo, f(x) = c terá única solução se a interseção da linha horizontal com o gráfico for somente um ponto. Isto ocorre para c > 2 e c < – 6. 
10
Função Sobrejetora (ou sobrejetiva)
Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que f(x)=y. Dizemos sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Função Injetora (ou injetiva) 
Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, para quaisquer elementos distintos de A (x1 ≠ x2) correspondem elementos distintos de B(y1 ≠ y2).
Não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Funções Bijetoras(ou bijetivas)
Uma função é dita bijetoras se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora.
4) Exercício
5)
Funções pares e ímpares
Para valores simétricos do domínio, a imagem assume o mesmo valor. A esse tipo de ocorrência damos a classificação de função par. 
Uma função f é considerada par quando f(–x) = f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f). 
Para valores simétricos do domínio, a imagem assume o valor oposto
Uma função f é considerada ímpar quando f(–x) = – f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f). 
Gráfico das funções par e ímpar
Função par
Exemplo: f(x) = x²
f(1) = 1
f(-1) = 1
f(2) = 4
f(-2) = 4
Observe que f(x) = f(-x)
Gráfico apresenta simetria em relação ao eixo y
Função ímpar
Exemplo: f(x) = 2x
f(1) = 2
f(2) = 4
f(-1) = -2
f(-2) = -4
Observe que f(-x) = - f(x)
Gráfico apresenta simetria
em relação à origem
mais exercícios
solução
Exercício
d)
Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é R$ 1,50.
a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais.
b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que
o plano A.
Problema 1
Plano A: 57,50 Plano B: 40,00
 a partir de 68 minutos
25
Questão 02
Os sistemas de cobrança de dois particulares pesque-pague combinam uma taxa de ingresso, fixa e individual, com o preço do quilo de peixe que o pescador leva para casa. Num deles, o pescador paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 8,00 mais R$ 6,00 por quilo de peixe que levar. No outro, paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 2,00 mais R$ 8,00 por quilo de peixe que levar. Nessas
condições:
a) dê as leis que descrevem os dois sistemas de cobrança e faça os respectivos gráficos, num mesmo sistema de coordenadas, tomando o “peso” no eixo das abscissas e o valor total a ser pago pelo pescador no eixo das ordenadas;
b) com base nos gráficos, faça uma discussão quanto aos intervalos de “peso” em que um pesque-pague é mais vantajoso que o outro.
a) 1º) P(x) = 8 + 6x
 2º) P(x) = 2 + 8x
b) O 2º pesque-pague é mais vantajoso para quantidades de peixe de 0 a 3 kg. Já o 1º pesque-pague
passa a ser mais vantajoso para quantidades de peixe superiores a 3 kg.
26
Questão 03
O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandei­rada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86:
a) expresse o valor P a ser pago em função da distância x (em quilômetros) percorrida;
b) calcule o preço de uma corrida de 11 km;
c) calcule a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.
P(x) 5 3,44 1 0,86x
R$ 12,90
21 km
27