Aula 46 - Medidas de dispersão

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Medidas de tendência central para dados agrupados
Medidas de dispersão
Aula 46
Medidas de tendência central para dados agrupados
Exemplo1.
Considere a tabela de frequência a seguir, que apresenta as massas dos 30 alunos de uma turma do Ensino Médio.
Massa (Kg)
Frequência
40|------50
4
50|------ 60
10
60|------70
9
70|------ 80
5
80|------ 90
2
Total
30
Resolvendo...
Para calcularmos as medidas de tendência central para a variável “massa dos alunos”, inicialmente obtemos o valor médio de cada intervalo de classe.
A média aritmética – adicionamos o produto de cada frequência pelo valor médio correspondente e dividimos o resultado obtido pela quantidade de valores.
A moda – corresponde ao valor médio do intervalo de classes de maior frequência.
A mediana – corresponde ao valor médio do intervalo de classe que contém o termo central se a quantidade de termos for ímpar; se a quantidade de termos for par, a mediana corresponde à média aritmética dos valores médios correspondentes aos intervalos de classes que contêm os dois termos centrais
Resposta: A média é 62 Kg. A moda é 55 Kg. A mediana é 65 Kg
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Exemplo 2
Ao acompanhar o desenvolvimento de uma plantação de trigo, um engenheiro agrônomo mediu o comprimento de algumas plantas(amostra). Os dados obtidos estão representados na tabela.
Calcule a média, a moda e a mediana do comprimento das plantas da amostra.
Comprimento(cm)
Número de plantas
3|-----5
6
5|-----7
18
7|-----9
47
9|-----11
21
11|-----13
8
Resposta: Média=8,14cm. Moda=8cm. Mediana=8cm.
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Medidas de dispersão
As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média.
Entendendo o que é dispersão
Para representar o salário de 5 funcionários de certo setor de uma empresa, por exemplo, podemos utilizar o valor médio. Encontre a média de cada exemplo a seguir e observe a distância entre os salários e a média encontrada:
Salários: R$1000,00, R$1150,00, R$1200,00, R$1300,00 e R$1350,00.
Salários: R$540,00, R$540,00, R$650,00, R$1300 e R$ 2970,00.
Observação: Quando os valores estão próximos da média dizemos que eles estão menos dispersos e quando estão mais distantes da média, dizemos que eles estão mais dispersos.
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A medidas de dispersão
Desvio Médio - Dm
Exemplo 3
Observe no quadro a quantidade de veículos vendidos por uma concessionária em certa semana. 
 Vamos encontrar o desvio médio.
Domingo
26
Segunda
12
Terça
18
Quarta
16
Quinta
33
Sexta
17
Sábado
25
Para fazer no quadro: Primeiro encontra a média aritmética simples, em seguida o desvio de cada valor em relação à média. Exemplo: 26 – (média), 12 – (média), etc. O desvio médio é dado pela média dos valores absolutos dos desvios. Nesse exemplo o desvio médio é de 6 veículos.
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Variância – Var
Exemplo 4 – Variância
Após a 5 primeiras rodadas de um campeonato de basquete, os dois principais “cestinhas”(jogadores que mais pontuaram) obtiveram médias iguais de pontos por partida. Observe no quadro a pontuação que cada jogador obteve por partida e utilize a variância para verificar qual dos jogadores obteve maior regularidade na pontuação por partida.
Jogador
1ªpartida
2ª partida
3ª partida
4ª partida
5ª partida
A
8
12
9
17
5
B
10
9
11
10
11
Resposta: A variância de pontos por partida do jogador A(16,56) é maior que a do jogador B(0,56). Portanto, o jogador B foi mais regular que o jogador A.
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Desvio padrão - S ou Dp
Exemplo 5
A tabela apresenta a idade dos alunos de uma turma. Com relação à idade dos alunos, determine o desvio médio e o desvio padrão.
IDADE
FREQUÊNCIA
16
16
17
9
18
4
19
2
20
1
22
1
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Resolução de problemas
Questão 01
Em relação aos conhecimentos sobre medidas de posição e de distribuição, julgue os itens a seguir em V(verdadeiro) ou F(falso).
a) ( ) Se dois conjuntos têm a mesma média aritmética, então têm a mesma variância.
b) ( ) Se dois conjuntos têm o mesmo desvio-padrão, então têm a mesma variância.
c) ( ) Se, em uma prova, a nota máxima equivale a 10, a média das notas é 6, e a mediana é 4, então o percentual de alunos com nota acima da média é maior que 50%.
F, V, F, V, V
15
Questão 1
d) ( ) Se, ao se retirar de um conjunto 3 elementos com valores iguais a 10,5, a média aritmética cai de 6,5 para 5,5, então o número original de elementos desse conjunto é 15.
e) ( ) Se a tabela indica a distribuição dos salários 
dos funcionários de determinada empresa e se são
contratados dois novos funcionários com salário de 
R$ 605,00cada um, então a variância da nova distribuição dos salários ficará maior que a anterior.
Questão 02
Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências:
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?
b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários?
SALÁRIOS
FREQUÊNCIA
$50
30
$ 100
60
$ 150
10
Resposta: Média=$ 90. Variância=$900. Desvio padrão=$30
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Questão 03
Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que:
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
Resposta: Letra D
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Questão 04
Resposta: A nova média aumenta 5 e a variância não muda, pois a média, sendo uma medida de centralidade, depende da posição absoluta dos valores. Todos eles variando da mesma forma (aumentando 5) acarretam a mesma alteração na média (aumenta 5). Porém, a variância é uma medida de dispersão, que depende da posição relativa dos valores em relação à média. Como todos os valores aumentam 5 e a média também aumenta 5, as posições relativas não se alteram.
a) 105 b) 20
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Questão 05
Em certo concurso, foram aprovados os candidatos que obtiveram, no conjunto de 3 provas, nota média superior a 60 pontos e desvio padrão inferior a 5 pontos. Uma candidata que obteve 54, 68 e 61 pontos nas provas foi aprovada nesse concurso? Justifique.
Resposta: Não, pois, apesar de sua média ser superior a 60 pontos, o desvio padrão foi superior a 5 pontos. Média=61. Desvio padrão aproximadamente 5,7
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Questão 06
Em um grupo de pessoas, em que todas têm idades distintas, a média das idades é 18 anos. Se a pessoa mais jovem for substituída por uma de 18 anos, é possível afirmar que, em relação às idades:
A média e o desvio padrão irão aumentar
A média irá permanecer igual, e o desvio padrão, diminuir
A média irá diminuir, e o desvio padrão, aumentar
A média irá aumentar, e o desvio padrão, diminuir
A média e o desvio padrão não se alterarão.
Resposta: Letra D
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Questão 7
Após um ano de funcionamento, uma maternidade registrou o nascimento de 720 crianças, em parto normal. Os dados referentes à altura dessas crianças permitiu a construção desta tabela
 a) a altura média
 b) o desvio médio
 c) a variância
 d) desvio padrão
Altura (em cm)
Número d e crianças
45|------47
80
47|-------49
260
49|-------51
200
51|-------53
160
53|--------55
20
Total
720
a) Altura média = 49 b) desvio médio = 1,8 c) variância = 4,3 e d) desvio padrão = 2
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