ATPS Cálculo III - RESOLVIDA - INTEGRAIS

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CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA – 3º SEMESTRE
FÁBIO ALVINO DE FREITAS – RA: 5670138277
ALESOM DOUGLAS ZDEBSKI – RA: 5212967006
EVERTON EZEQUIEL ARAUJO ROAS – RA: 5676144934
LEONARDO CRISTIANO COSTA PEREIRA – RA:5237985410
ANTONIO CARLOS GREGORIO – RA: 6673445017
DISCIPLINA DE CÁLCULO
PROFESSOR: DARBI MULLER
 
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO III
 
JARAGUÁ DO SUL
2013
Índice
Introdução...................................................................................................................................3
Etapa 1 - Integral Definida e Integral Indefinida........................................................................4
Etapa 1 Passo 1 - Texto dissertativo ..........................................................................................5
Etapa 1 Passo 2 - Desafios A e B................................................................................................6
Etapa 1 Passo 2 - Desafios C e D................................................................................................7
Etapa 1 Passos 3 e 4....................................................................................................................8
Relatório 1 – Resolução dos Desafios A e B..............................................................................9
Relatório 1 – Resolução do Desafio C......................................................................................10
Relatório 1 – Resolução do Desafio D......................................................................................11
Etapa 1 – Integração por Substituição e por Partes. .................................................................12
Etapa 2 – Passo 1 – Texto dissertativo......................................................................................13
Etapa 2 – Passo 1 – Texto dissertativo......................................................................................14
Etapa 2 – Passos 2 e 3...............................................................................................................15
Relatório 2 – Resolução da Parte 1...........................................................................................16
Relatório 2 – Resolução da Parte 2...........................................................................................17
Relatório 2 – Resolução da Parte 2...........................................................................................18
Etapa 3 – Cálculo de Área.........................................................................................................19
Etapa 3 – Passo 3 e 4.................................................................................................................20
Etapa 4 – Passo 1 e 2.................................................................................................................21
Etapa 4 – Passo 3 e 4.................................................................................................................21
Conceito de Cálculo de Volume de Revolução........................................................................22
Bibliografia...............................................................................................................................19
INTRODUÇÃO
Conforme solicitado pelo professor Darbi, concluímos as duas primeiras etapas da ATPS da disciplina de Cálculo III.
Na Primeira etapa estudamos a utilização da teoria sobre integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Após o estudo, desenvolvemos através de um texto dissertativo os principais conceitos levantados nas pesquisas. Em seguida desenvolvemos as resoluções dos desafios A, B, C E D, propostos pela atividade.
Na segunda etapa pesquisamos em livros e na internet, informações relacionadas ao estudo de integração por substituição e por partes, fizemos um levantamento sobre o surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e relatamos as principais informações sobre integrais por partes e por substituição. Em seguida, colocamos em prática todo o assunto estudado resolvendo os exercícios propostos pelos últimos passos.
ETAPA 1
Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.
Passo 1
1. Pesquisar informações relacionadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Ok!
2. Elaborar um texto dissertativo contendo as principais informações obtidas na pesquisa realizada no passo anterior.
3. Download do software: Geogebra. Ok!
Integrais definida, indefinidas e cálculo de áreas.
Desde a antiguidade os matemáticos se preocupam em determinar a área de uma figura plana. Matematicamente podemos dizer que a área pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de uma superfície. O método mais utilizado foi o da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras com áreas já conhecidas. A partir do Teorema Fundamental do Cálculo, Leibniz e Newton perceberam a possibilidade de calcular facilmente áreas e integrais sem a necessidade de utilizar o método de limites de soma descrito matemático Riemann.
A integral indefinida é uma função ou também podemos entender como uma família de funções É a integral que consiste no processo inverso da derivação, onde uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) que estão está sempre definida sobre algum intervalo. Quando não determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo i. 
A integral definida teve origem com a formalização matemática dos problemas de áreas e problemas físicos. Inicialmente conhecida como soma de Riemann, a integral definida de uma função pode ser entendida como a soma de pequenos retângulo, ou subintervalos, onde o produto entre a altura e a base de cada um destes retângulos resultam na sua área e que somadas em um intervalo de `a’ a `b’ resultam na área da figura plana. Uma integral definida pode ser classificada como própria ou imprópria, convergentes ou divergentes. No caso do limite do intervalo definido não existir ou não ser finito, dizemos que a integral imprópria diverge, se o limite existe e é um numero real a integral imprópria converge. Ao contrário da integral indefinida, a integral definida é um número e não depende de uma variável x. 
Passo 2
Responder desafios A, B, C e D.
Desafio A.
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de da?
-
 
Desafio B.
		Supor que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C’(0) =1000+50q, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:
C(q) = 10.000 + 1.000q + 25
C(q) = 10.000 + 25q + 1.000
C(q) = 10.000
C(q) = 10.000 + 25
C(q) = 10.000q + + 
Desafio C.
		Supor que no início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?
	(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo
(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo
(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo
(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo
(e) Nenhuma das alternativas
Desafio D.
 	A área sob a curva y = de x = -3a x = 2 é dada por:
(a)4,99		(b)3,22		(c)6,88		(d)1,11		(e)2,22
Passo 3
Marcar a resposta correta dos desafios A,B,C e D justificando através dos cálculos realizados,o por quê da alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associar o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associar o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associar o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associar o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associar o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio B:
Associar o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associar o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associar o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associar o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associar o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio C:
Associar o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associar o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associar o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associar o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associar o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio D:
Associar o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associar o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associar o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associar o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associar o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e).
Passo 4
		Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:
Os cálculos e todo o raciocínio realizado para a solução do passo 3;
A sequência dos números encontrados após a associação feita no passo 3.
RELATÓRIO 1
DESAFIO A:
RESPOSTA: LETRA B
DESAFIO B:
1000 + 50 + C
1000q + + C
1000q + 25 + + C
Como ‘C = 10.000’, então:
C(q) = 10.000 + 1.000q + 25
RESPOSTA: LETRA A
DESAFIO C:
C(t) = 16.1
 4 
									 2
RESPOSTA: LETRA C
DESAFIO D: 
 x [-3,2]
RESPOSTA: LETRA A
ETAPA 2
Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.
Passo 1
1. Ler o capítulo do PLT que descreve os conceitos de integração por partes e por substituição. Pesquisar também em livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.
2. Fazer um levantamento sobre a história e surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas coma pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão dos próximos passos.
Conceito de integrais por partes e por substituição
A integral por substituição, para as derivadas, é o fruto da regra da cadeia, sendo um método de integração fundamental para a resolução de integrais que evidentemente não possuem um elemento como primitivo. Este método é baseado em aplicar uma alteração de variáveis e tem grande utilidade quando a função integrando é representada como um produto de funções.
A integral por partes consiste em quebrar uma integral de mais fácil entendimento em um produto de funções para serem mais simples de se trabalhar. Para este método fundamental a escolha certa das funções na equação que levem à solução do problema.
História da origem das integrais
O cálculo integral teve origem a partir de problemas de quadratura que também podemos entender como processo de determinar áreas. As quadraturas fascinavam os geômetras como Hipócrates de Chios, 440 a.C. que estudava figuras limitas por curvas e realizou as primeiras quadraturas da história a partir de regiões que se assemelhavam com o formato da lua em sua fase crescente. Outro geômetra chamado Antifon, por volta da 430 a.C. procurou encontrar a quadratura do circulo através de uma sequência de polígonos e descobriu que essa sequência nunca poderia acabar, mas que foi uma brilhante ideia que deu origem ao método da exaustão. Por volta de 225 a.C., Arquimedes foi quem contribuiu com uma das maiores descobertas do Cálculo criando o Teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Em 1600 d.C. Kepler consistia pensar na superfície como uma soma de linhas, método que apresentava resultados imprecisos, assim calculou o volume de vários sólidos com região bidimensional ao redor de um eixo. Kepler subdividia o sólido em várias partes estas partes chamou de partes infinitesimais, e a soma dessas partes se aproximavam do volume que procurava.
Os próximos matemáticos que contribuíram fortemente com cálculo integral 	foram Fermat e Cavalieri. Desenvolvendo a ideia de Kepler, Cavalieri pensou numa área infinita de segmentos indivisíveis criando o que hoje conhecemos como a fórmula das primitivas. Fermat desenvolveu a técnica para achar a áreas sob cada uma das curvas, empregou uma série geométrica para cada uma dessas curvas, também chamadas de parábolas maiores. Aproximadamente em 1640, a fórmula da integral das parábolas maiores já era conhecida por Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros cientistas da época.
Desde a época de Galileo, Torricelli e Barrow trabalhavam em problemas envolvendo movimento, dando origem então a ideia de que a integral e derivada eram processos inversos. Embora Barrow nunca tenha concluído seu trabalho, Newton em suas pesquisas, continuou na mesma direção e formulou o Teorema Fundamental do Cálculo. O cientista Gottfried Wilhelm Leibniz representava a integração com o símbolo `, um ‘s’ longo representando a área da figura pela soma das áreas infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas. Os trabalhos de Leibniz foram publicados em 1684 e 1686 com o nome de ‘Calculus Summatorius’. Em 1690 Jacques Bernoulli publicou o nome Cálculo Integral criado pelo seu irmão Johann Bernoulli.
Passo 2
Considerar as seguintes igualdades:
 Podemos afirmar que:
(I) e (II) são verdadeiras
(I) é falsa e (II) é verdadeira
(I) é verdadeira e (II) é falsa
(I) e (II) são falsas
Passo 3
		Marcar a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associar o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associar o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associar o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associar o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).
Passo 4
		Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:
	 1. Os cálculos e todo o raciocínio realizado para a solução do passo 3;
 2. A sequência dos números encontrados após a associação feita no passo 3.
RELATÓRIO 2
(I)
Derivando u: 
u = – 6t
 
 (2t – 6)dt = du
 (2.t – 2.3)dt = du
 2(t - 3)dt = du
 (t – 3)dt = 
 (-1)(3 – t)dt = 
 (3 – t)dt = - 
Substituindo temos:
RESPOSTA: VERDADEIRO
(II)
Tabela: 
Substituindo temos:
RESPOSTA:
ETAPA 3
Aula-tema: Cálculo de Área
Passo 1
1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisar também em: livros didáticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas deintegração a resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.
2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
Passo 2
Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.
 Figura 1. Figura 2.
Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(d) (I) e (II) são falsas
Passo 3
Marcar a resposta correta do desafio proposto no passo 2 justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Passo 4
Entregar ao professor, para cumprimento desta etapa um relatório com nome de RELATÓRIO 3 com as seguintes informações organizadas.
1. Os cálculos e todo o raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
ETAPA 4
Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.
Passo 1
1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de volume de um sólido de revolução. Pesquisar também em livros didáticos, na internet em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração no cálculo de volume.
2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento desta forma de calcular o volume de um sólido de revolução e elaborar um texto dissertativo contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. 
Passo 2
Considere os seguintes desafios:
Desafio A.
A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por y = 4 de x 4 é:.(128-17)u.a.. Está correta esta afirmação?
Desafio B. 
Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 ,
da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , (sen x de x = 0 até x = ?
(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.
Desafio C. 
Resolver o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.
Marcar a respostar correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Passo 3
Resolver o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.
Também marcar a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associem o número 4, se a resposta estiver certa.
Associem o número 9, se a resposta estiver errada.
Para o desafio B:
Associar o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associar o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associar o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associar o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associar o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).
Passo 4
Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.
Cálculo de Volume de Revolução
A determinação de volumes de objetos caracteriza um importante papel no estudo 
de muitos problemas nas ciências físicas. De maneira geral, os cursos de Cálculo Diferencial e Integral abordam os problemas de volumes utilizando funções de uma variável real que revolvem em torno de um eixo (reta no plano) de rotação, como pode ser observado resultado é um modelo tridimensional chamado de sólido de revolução e que possui um volume que dependente do domínio da função. 
	Assim, o volume de um sólido de revolução é obtido pela rotação de uma região delimitada pela função f(x) no intervalo [a,b] em torno do eixo das abscissas , formado pela constante y = 0.
Bibliografia
HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al. Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos, 2004, v.1.
FLEMMING, Diva; GONÇALVES, Mirian. Cálculo A: Funções, limites, derivação e integração. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
STEWART, James. Cálculo - volume I. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. 4ª edição.