Aula 02(1)

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Aula 2
Ana Lucia de Sousa
DERIVADAS
Conteúdo desta aula 
. Equação da reta tangente 
. Equação da reta normal
. Derivação Implícita
. Derivadas sucessivas
. Aplicação de derivadas
. Taxas Relacionadas
. Máximos e Mínimos
Equação da Reta Tangente
DERIVADAS: Equação da Reta Tangente
Do ponto de vista geométrico, a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente à curva no mesmo ponto.
Equação da reta tangente
Exemplo: Obtenha a equação da reta tangente à curva f(x) = 3x2 + 1 no ponto com abscissa 2. 
DERIVADAS: Equação da Reta Tangente
Equação da Reta Normal
A reta normal a uma curva num dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto.
Equação da reta tangente
DERIVADAS: Equação da Reta Normal
Exemplo: Obtenha a equação da reta normal à curva f(x) = x2 no ponto com abscissa 2. 
DERIVADAS: Equação da Reta Normal
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Calcular a derivada da função definida implicitamente.
Determine a derivada de ordem 5 da função abaixo.
DERIVADAS SUCESSIVAS
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
1) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária s(t) = t2 + 3t – 2. 
Determine a velocidade da partícula no instante t = 2.
Determine a aceleração da partícula no instante t = 2.
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
2. Uma determinada cidade foi atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois do tempo t (medido em dias) é dada pela função abaixo: 
Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 6?
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 6?
Isso significa que no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 20 pessoas por dia.
Isso significa que no tempo t = 6, a epidemia está controlada.
DERIVADAS: Taxas Relacionadas
Taxas relacionadas → Problemas relativos a grandezas que variam em relação ao tempo. Se duas (ou mais) dessas grandezas estão relacionadas entre si, então suas taxas de variação em relação ao tempo também estão relacionadas. 
DERIVADAS: Taxas Relacionadas
Procedimento para resolver os problemas:
Passo 1. Identificar as variáveis.
Passo 2: Estabelecer uma equação que relacione todas as variáveis cujas taxas de variação são dadas ou devem ser determinadas. 
Passo 3: Aplicar a regra da cadeia para diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo.
Passo 4: Substituir na derivada encontrada os dados fornecidos pelo problema.
Passo 5: Isolar o que se pede.
DERIVADAS: Taxas Relacionadas
Exemplo:
O volume do balão esférico, cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Qual é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 20 cm? 
Passo 1. Identificar as variáveis
Raio → R
Volume → V
Passo 2: Estabelecer uma equação que relacione todas as variáveis.
DERIVADAS: Taxas Relacionadas
O volume do balão esférico, cresce a uma taxa de 100 cm3/s. 
Qual é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 20 cm? 
Passo 3. Aplicar a regra da cadeia para diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo.
DERIVADAS: Taxas Relacionadas
O volume do balão esférico, cresce a uma taxa de 100 cm3/s. 
Qual é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 20 cm? 
Passo 4: Substituir na derivada encontrada os dados fornecidos pelo problema.
DERIVADAS: Taxas Relacionadas
O volume do balão esférico, cresce a uma taxa de 100 cm3/s. 
Qual é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 20 cm? 
Passo 5: Isolar o que se pede.
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Os pontos críticos;
b) Os extremos relativos (máximo e mínimo);
c) Pontos de inflexão.
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Os pontos críticos
Começamos calculando a derivada de f. Em seguida, devemos igualar a
derivada a zero e resolver a equação para achar os pontos críticos.
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20
f`(x) = 3x2 – 18x + 24 
3x2 – 18x + 24 = 0
Pontos críticos: x = 2 e x = 4
Os extremos relativos (máximo e mínimo)
Primeiro calculamos a derivada primeira de f para encontrarmos os pontos
críticos.
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Os extremos relativos (máximo e mínimo)
Agora vamos achar a derivada segunda.
f`(x) = 3x2 – 18x + 24 
f``(x) = 6x – 18 
Vamos utilizar o Teste da Segunda Derivada para encontrarmos os extremos relativos.
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Teste da Segunda Derivada
Vamos substituir cada ponto crítico na segunda derivada. Considerando c um ponto crítico, temos:
Se f``(c) > 0, então f(c) é mínimo relativo.
Se f``(c) < 0, então f(c) é máximo relativo.
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Teste da Segunda Derivada
Vamos substituir cada ponto crítico x = 2 e x = 4 na segunda derivada.
Substituindo x = 2 na segunda derivada f``(x) = 6x – 18.
f``(2) = 6(2) – 18 = 12 – 18 = -6 < 0, f(2) é máximo relativo.
Para calcular a f(2) basta substituir 2 na função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 .
f(2) = (2)3 – 9(2)2 + 24(2) – 20 => f(2) = 0
Máximo relativo no ponto (2,0)
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Teste da Segunda Derivada
Substituindo x = 4 na segunda derivada f``(x) = 6x – 18.
f``(4) = 6(4) – 18 = 24 – 18 = 6 > 0, f(4) é mínimo relativo.
Para calcular a f(4) basta substituir 4 na função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 .
f(4) = (4)3 – 9(4)2 + 24(4) – 20 => f(4) = -4
Mínimo relativo no ponto (4,-4)
DERIVADAS: Máximos e Mínimos
Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 determine:
Pontos de inflexão 
O ponto de inflexão determina a mudança do sentido da concavidade da
Curva. Usaremos a segunda derivada f``(x) = 6x – 18. Devemos igualar essa
derivada a zero e resolver a equação.
6x – 18 = 0 => x = 3
Vamos calcular a f(3) substituindo 3 na função f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20 .
f(3) = (3)3 – 9(3)2 + 24(3) – 20 => f(3) = -2
Ponto de inflexão (3,-2)
Professora Ana Lucia de Sousa
Endereço para acessar este CV: 
http://lattes.cnpq.br/3908415146246191