Distribuição_de_Poisson

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Distribuição de Poisson 
 
Ocorrências típicas do modelo de distribuição de Poisson: 
• Defeitos por centímetro quadrado; 
• Acidentes por dia; 
• Clientes por hora; 
• Chamadas telefônicas por minuto; 
• Vacas por acre; 
 
A unidade de onde é medida a variável aleatória é contínua 
(tempo, área etc.), mas o número de ocorrências (variável 
aleatória) é discreta. 
A distribuição de Poisson é útil para descrever a probabilidade do 
número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em 
geral tempo ou espaço). 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Características da Distribuição de Poisson: 
1. A variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento 
num intervalo (tempo, área, volume, distância etc.). 
2. A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o 
intervalo considerado (ocorrências aleatórias). 
3. As ocorrências são distribuídas uniformemente ao longo do 
intervalo considerado. 
4. O número de ocorrências em qualquer intervalo é 
independente do número de ocorrências em outros intervalos. 
 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Exemplos: 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Defeitos num rolo de 
papel 
Chamadas 
telefônicas num 
período de tempo 
    
= chamada 
telefônica amostra tempo 

 
x 
x 
x 
x 
x 
amostra 
x - defeito Porção de um rolo de papel 

 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Cálculo das Probabilidades de Poisson: 
 
 
 Fórmula de Poisson 
 
Duas Formas 
 
 tabela individual 
 Tabela de probabilidades 
 
 tabela agrupada 
Fórmula de Poisson: 
 
 
 
A média é o parâmetro que caracteriza a distribuição de Poisson. 
µ = λ.t , logo: 
 
 
P(x) = probabilidade de ocorrer x ocorrências; 
µ = é a média de ocorrências no intervalo t; 
λ = taxa média por unidade; 
t = é o número de unidades ou intervalo; 
x = número de ocorrências; 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
!
)..(
)(
.
x
te
xP
xt 

!
.
)(
x
e
xP
x

Características da distribuição de Poisson: 
Média = µ = λ.t Variância = µ Desvio padrão = 
 
Histograma de uma distribuição de Poisson típica: 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 

média = 
6 
número de ocorrências 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 
0,20 
0,15 
0,10 
0,05 
0,00 
P(x) 
Exemplo: 
Um processo produz tecido para tapetes com uma média de dois 
defeitos por jarda quadrada. Determine a probabilidade de uma 
jarda quadrada ter exatamente um defeito, admitindo que o 
processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de 
Poisson. 
Solução: 
λ= 2 defeitos/jarda quadrada t = 1 jarda quadrada 
µ= λ.t = 2.1 = 2 
x = 1 
 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
270,0
1
135,0.2
!1
.2
)1(
21

e
xP
Exemplo: 
Navios chegam ao porto à razão de 2 navios por hora e essa razão 
é bem aproximada por um processo de Poisson. Num período de 
meia hora, determine a probabilidade de: 
a) Não chegar nenhum navio P(x=0) 
b) Chegarem 3 navios P(x=3) 
Solução: 
λ = 2 t = ½ µ = 2.0,5 = 1 
 
 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
368,0
!0
.1
)0()
10

e
xPa
061,0
!3
.1
)3()
13

e
xPb
Tabela de Poisson – Probabilidades Individuais 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
 
x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 
0 0,1225 0,1108 0,1003 0,0907 0,0821 0,0743 0,0672 0,0608 0,0550 0,0498 
1 0,2572 0,2438 0,2306 0,2177 0,2052 0,1931 0,1815 0,1703 0,1596 0,1494 
2 0,2700 0,2681 0,2652 0,2613 0,2565 0,2510 0,2450 0,2384 0,2314 0,2240 
3 0,1890 0,1966 0,2033 0,2090 0,2138 0,2176 0,2205 0,2225 0,2237 0,2240 
4 0,0992 0,1082 0,1169 0,1254 0,1336 0,1414 0,1488 0,1557 0,1622 0,1680 
5 0,0417 0,0476 0,0538 0,0602 0,0668 0,0735 0,0804 0,0872 0,0940 0,1008 
6 0,0146 0,0174 0,0206 0,0241 0,0278 0,0319 0,0362 0,0407 0,0455 0,0504 
7 0,0044 0,0055 0,0068 0,0083 0,0099 0,0118 0,0139 0,0163 0,0188 0,0216 
8 0,0011 0,0015 0,0019 0,0025 0,0031 0,0038 0,0047 0,0057 0,0068 0,0081 
9 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0009 0,0011 0,0014 0,0018 0,0022 0,0027 
10 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0008 
11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 
12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 
Exemplos da tabela de Poisson – Probabilidades acumuladas 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Média x 
Resultad
os 
incluídos 
Ler na 
tabela 
P(x) 
0,8 x ≤ 1 0 1 P(x ≤1) 0,809 
1,2 x < 3 0 1 2 P(x ≤ 2) 0,879 
1,5 x = 0 0 P(x ≤ 0) 0,223 
2,0 x > 3 4 5 6 ... 1 – P(x ≤ 3) 0,143 
2,6 1 < x ≤ 4 2 3 4 ... P(x ≤ 4) – P(x 
≤ 1) 
0,610 
3,8 1 ≤ x ≤ 4 1 2 3 4 P(x ≤ 4) – P(x 
≤ 0) 
0,646 
5,6 1 ≤ x ≤ 4 1 2 3 4 P(x ≤ 4) – P(x 
≤ 0) 
0,338 
6,0 x ≥ 5 5 6 7 ... 1 – P(x ≤ 4) 0,715 
Tabela de Poisson – Probabilidades Acumuladas: 
 
 
Distribuição de Poisson 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
 
x 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 
0 0,0498 0,0450 0,0408 0,0369 0,0334 0,0302 0,0273 0,0247 0,0224 0,0202 
1 0,1991 0,1847 0,1712 0,1586 0,1468 0,1359 0,1257 0,1162 0,1074 0,0992 
2 0,4232 0,4012 0,3799 0,3594 0,3397 0,3208 0,3027 0,2854 0,2689 0,2531 
3 0,6472 0,6248 0,6025 0,5803 0,5584 0,5366 0,5152 0,4942 0,4735 0,4532 
4 0,8153 0,7982 0,7806 0,7626 0,7442 0,7254 0,7064 0,6872 0,6678 0,6484 
5 0,9161 0,9057 0,8946 0,8829 0,8705 0,8576 0,8441 0,8301 0,8156 0,8006 
6 0,9665 0,9612 0,9554 0,9490 0,9421 0,9347 0,9267 0,9182 0,9091 0,8995 
7 0,9881 0,9858 0,9832 0,9802 0,9769 0,9733 0,9692 0,9648 0,9599 0,9546 
8 0,9962 0,9953 0,9943 0,9931 0,9917 0,9901 0,9883 0,9863 0,9840 0,9815 
9 0,9989 0,9986 0,9982 0,9978 0,9973 0,9967 0,9960 0,9952 0,9942 0,9931 
10 0,9997 0,9996 0,9995 0,9994 0,9992 0,9990 0,9987 0,9984 0,9981 0,9977 
11 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998 0,9997 0,9996 0,9995 0,9994 0,9993 
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998 
A distribuição de Poisson 
como aproximação da Binomial 
 
Quando deve-se fazer a aproximação por Poisson? 
 Número n de observações é grande n≥100 e np<10 (regra 
prática); 
 Probabilidade de sucesso “p” está próxima de 0 ou 1; 
 
Porque fazer a aproximação por Poisson? 
 A distribuição binomial descreve adequadamente muitas 
situações de interesse; 
 A maioria das tabelas está limitada a n ≤ 20; 
 A fórmula binomial pode exigir esforço substancial para 
obtenção de uma solução exata; 
 
Poisson como aprox. da Binomial 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Exemplo: 
Qual a probabilidade de haver 4 peças defeituosas numa amostra 
de 300, extraído de uma grande lote onde há 2% de defeituosos. 
Solução: 
n = 300  muito grande; 
p = 0,02  próximo de zero; 
Estes valores não constam nas tabelas. 
 
 Binomial Poisson 
 
 
 
Distribuições Discretas de Probabilidades 
Poisson como aprox. da Binomial 
?)4x(P
98,0.02,0.
4
300
)4x(P 2964








135,0
!4
.6
)4(
602,0.300.
64


e
xP
pn
1. Assuma que um grande lote contenha exatamente 4% de itensdefeituosos. Usando a distribuição de Poisson, qual a 
probabilidade de que uma amostra aleatória de 50 itens não reflita 
a qualidade verdadeira do lote? 
a) 27% 
b) 73% 
c) 82% 
d) 67% 
 
 
Poisson e Binomial 
Exercícios 
2. Se a probabilidade de sucesso em um teste simples é 0,20 e 
três testes são feitos, qual a probabilidade de pelo menos um 
sucesso? 
a) 0,008 
b) 0,384 
c) 0,488 
d) 0,600 
 
 
Poisson e Binomial 
Exercícios 
3. Um plano de inspeção é planejado para amostrar aleatoriamente 
3 pés de um cabo com 100 pés de comprimento e aceitá-lo se 
nenhuma falha for encontrada no comprimento de 3 pés. Qual a 
probabilidade de que um cabo com uma média de uma falha por pé 
seja rejeitado pelo plano? 
a) 0,05 
b) 0,95 
c) 0,72 
d) 0,03 
e) 0,10 
 
 
Poisson e Binomial 
Exercícios 
4. Você foi solicitado a amostrar um lote de 300 peças de um 
fornecedor cuja qualidade passada foi de aproximadamente 2% de 
defeituosas. Uma amostra de 40 peças é retirada do lote e foi dito 
a você para rejeitar o lote se encontrar duas ou mais peças 
defeituosas. Qual a probabilidade de rejeitar o lote? 
a) 0,953 
b) 0,809 
c) 0,191 
d) 0,047 
 
 
Poisson e Binomial 
Exercícios 
5. Um processo está produzindo um material que contém 40% de 
defeituosos. Quatro peças são selecionadas aleatoriamente para 
inspeção. Qual a probabilidade de encontrarmos exatamente uma 
peça defeituosa na amostra? 
a) 0,870 
b) 0,575 
c) 0,346 
d) 0,130 
 
 
Poisson e Binomial 
Exercícios