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ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES UNIDADE 03 MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS ● Modelagem Dinâmica • Conjunto de equações diferenciais. •Obtidas a partir das leis físicas que governam os sistemas: - Leis de Newton. - Leis de Kirchhoff. • Uma vez obtido um modelo matemático de um sistema, várias ferramentas analíticas e de computador podem ser usadas para fins de análise e de síntese. Introdução ●Simplicidade versus Precisão. •A precisão do modelo matemático aumenta a complexidade. •Pode conter centenas de equações. •Construir inicialmente um modelo simplificado. •Posteriormente, um modelo matemático mais completo poderá ser elaborado e utilizado. ● Obs.: O Modelo de um Sistema em geral é uma aproximação e, na maioria das vezes, um modelo é construído de forma a apresentar apenas as funcionalidades que nos interessam, ou aquelas que sejam relevantes à análise ou ao projeto. Introdução ●Não linearidades. •Na maioria dos casos as relações reais não são exatamente lineares. •Os sistemas são lineares apenas em faixas limitadas de operação. Introdução ●Não linearidades. • Podem exigir soluções extremamente complicadas. • Nos força ao uso de Sistemas Lineares "equivalentes”. •Válidos dentro de uma faixa limitada de operação. Introdução Função de Transferência e Resposta ao Impulso ● Função de transferência. •Relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída (função resposta) e a transformada de Laplace do sinal de entrada (função excitação), na hipótese de que todas as condições iniciais são nulas. •Seja o sistema linear e invariante no tempo com saída y entrada x: ●Função de transferência. •Representação da dinâmica do sistema por equações algébricas em s. Função de Transferência e Resposta ao Impulso ●Função de transferência: • Q(s) • Polinômio característico. • n •Ordem do sistema. • Q(s) = 0 • Equação característica do sistema, • Raízes de Q(s) • Polos. • Representados por um x. Função de Transferência e Resposta ao Impulso ●Função de transferência: • Raízes de P(s) = 0 • Zeros. • Representados por o • Polos e zeros. • Reais • s = . • Complexos. • s = + j. Função de Transferência e Resposta ao Impulso ●Função de transferência: • Comentários. • Modelo matemático que relaciona a variável de saída à variável de entrada. • Propriedade intrínseca do sistema. • Não fornece qualquer informação concernente à estrutura física do sistema. • Funções de transferência de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas. • Pode-se avaliar a saída para várias formas de entradas. • Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos. • Fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema. • Precisão equivalente a obtida a partir da descrição física. Função de Transferência e Resposta ao Impulso ●Função de transferência: • Procedimento. • Escrever a equação diferencial do sistema. • Obter transformada de Laplace, admitindo-se condições iniciais nulas. • Obter a relação entre o sinal de saída e o sinal de entrada. • Exemplo 3.1. • Encontrar a função de transferência para o sistema, com condições iniciais nulas, descrito pela equação diferencial. Função de Transferência e Resposta ao Impulso ●Função de transferência: • Procedimento. • Exemplo 3.2. • Determinar a função de transferência para o sistema, com condições iniciais nulas, entrada u(t) e saída y(t), descrito pela equação diferencial abaixo. Função de Transferência e Resposta ao Impulso Solução: G(s):Função de Transferência ●Resposta ao impulso: • Saída do sistema a uma excitação impulso unitário, quando as condições iniciais são nulas. Função de Transferência e Resposta ao Impulso Modelagem de Sistemas Físicos Representação pictórica das funções e do fluxo de sinal de cada componente do sistema. As variáveis são ligadas por meio de blocos funcionais. Bloco funcional (bloco). Símbolo da operação matemática sobre o sinal de entrada que produz o sinal de saída. São conectados por setas para indicar o sentido do fluxo dos sinais. Exibe as funções de transferência dos componentes. Contém informação relativa ao comportamento dinâmico. Não inclui informação sobre a construção física do sistema. Sistemas diferentes podem ter o mesmo diagrama de blocos. • Diagramas de blocos 16 Modelagem de Sistemas Físicos Componentes. Segmento orientado (seta). O que aponta para o bloco indica o sinal de entrada. O que sai do bloco representa o sinal de saída. São referenciados como sinais. • Diagramas de blocos 17 Modelagem de Sistemas Físicos Componentes. Ponto de soma. As grandezas a serem somadas ou subtraídas devem ter as mesmas dimensões. Ponto de derivação. Ponto a partir do qual o sinal de um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma. • Diagramas de blocos 18 Modelagem de Sistemas Físicos Componentes. Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada. A saída C(s) retroage ao ponto de soma, onde é comparada com o sinal de entrada de Referência R(s). A conversão de C(s) para a mesma natureza do sinal de entrada é realizada por H(s). • Diagramas de blocos 19 Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.3 Encontrar a função de transferência correspondente ao diagrama de blocos. • Diagramas de blocos 20 Modelagem de Sistemas Físicos Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação O sinais podem ser tratados independentemente. Os sinais de saída podem ser adicionados para se obter a resposta do sistema. Exemplo 3.4. Encontrar as funções de transferências para cada sinal de entrada R(s) e D(s) e a saída C(s) considerando-se as duas entradas simultaneamente. • Diagramas de blocos 21 Modelagem de Sistemas Físicos Construção de diagrama de blocos Escrever as equações diferenciais. Obter a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas. Representar em forma de blocos cada equação. Reunir os elementos em um diagrama de blocos completo. Exemplo 3.5. Obter o diagrama de blocos do circuito RC. • Diagramas de blocos 22 Modelagem de Sistemas Físicos Redução de diagrama de blocos. Diagramas com diversas malhas podem ser simplificados. Os componentes não podem apresentar efeito de carregamento. Reduz o trabalho para a análise do sistema. Torna as funções de transferência mais complexas. • Diagramas de blocos 23 Modelagem de Sistemas Físicos Transformações com diagrama de blocos Blocos em cascata. • Diagramas de blocos 24 Modelagem de Sistemas Físicos Transformações com diagrama de blocos Deslocando de um ponto de soma. • Diagramas de blocos 25 Modelagem de Sistemas Físicos Transformações com diagrama de blocos Deslocamento de um ponto de derivação. • Diagramas de blocos 26 Modelagem de Sistemas Físicos Transformações com diagrama de blocos Eliminação de um laço de retroação. • Diagramas de blocos 27 Modelagem de Sistemas Físicos Transformações com diagrama de blocos Exemplo 3.6. Simplificar o seguinte diagrama de blocos. • Diagramas de blocos28 29 Modelagem de Sistemas Físicos Tipos de Sistemas Dinâmicos: -Sistemas Mecânicos Translacionais. -Sistemas Mecânicos Rotacionais. -Sistemas Elétricos. -Sistemas Fluídicos. -Sistemas Térmicos. 30 Sistemas Mecânicos Translacionais: São os sistemas cujos deslocamentos seguem linhas retas. Geralmente apresentam 3 componentes lineares: - massa; - mola; - amortecedor. Cada um destes elementos apresenta equação própria que define o seu comportamento dinâmico. Obs.: Em alguns sistemas poderá aparecer um quarto elemento a ser considerado: o atrito. 31 A Massa: - Pode ser submetida a mais de uma força f. -Aplica-se a 2ª Lei de Newton ( f = m.a ). -Aplicando a Transformada de Laplace: derivada da velocidade. Obs.: aceleração => segunda derivada do deslocamento. 32 A Mola: - Possui a constante k (rigidez da mola). -Aplica-se a lei de Hooke ( f = - k.y ). -A força gerada pela mola é sempre contrária ao deslocamento. -As extremidades da mola podem apresentar deslocamentos diferentes: y1 e y2. -Força da mola em função da velocidade: -Aplicando a Transformada de Laplace: 33 O Amortecedor: -Resiste ao movimento dos seus terminais. -Dissipa a oscilação produzida por uma mola. -Sua força é proporcional à velocidade com que as suas extremidades se aproximam: ( f = - b . V ) -Aplicando a Transformada de Laplace: 34 Determine a função de transferência do modelo apresentado (X(s)/F(s)) e desenhe o seu diagrama de blocos: -Considere que F=0 para t<0. - F(t) é a entrada: a força que desloca a massa m no sistema. - x(t) é a saída: o deslocamento da massa m. Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.8 Obter o modelo matemático para sistema massa-mola- amortecedor viscoso montado sobre uma carreta sem massa. Admite-se que a carreta permanece parada para t < 0. Neste sistema, u(t) é o deslocamento da carreta e é a grandeza de entrada do sistema. Em t = 0, a carreta passa a se deslocar com velocidade constante. O deslocamento y(t) da massa é a grandeza de saída. • Sistemas mecânicos 35 36 Sistemas Mecânicos Rotacionais: -Considera-se o Momento de Inércia ( I ) como o equivalente à massa do sistema translacional. -O Momento de Inércia é igual ao produto da massa pelo quadrado do raio de giro: Onde: r : raio de giro. V : volume. ρ : densidade do material na posição r. m ω ou θ Obs.: Esfera maciça. ω ou θ 37 Sistemas Mecânicos Rotacionais: (Cont.) ω ou θ Onde: -Aplicando a Lei de Newton à inércia rotacional: -A Transformada de Laplace: 38 Sistemas Mecânicos Rotacionais: (Cont.) 39 Exemplo: Encontre o modelo matemático e o diagrama de blocos do sistema apresentado na figura: Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.13. O sistema dado abaixo é constituído por um disco com momento de inércia J, suspenso por um fio e imerso num fluido. Um conjugado T é aplicado ao disco. O fio produz um conjugado de reação proporcional à rigidez K e ao ângulo de torção. O amortecimento B requer um conjugado proporcional à velocidade do movimento. Obter o modelo matemático para o sistema. • Sistema mecânico com rotação 40 Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.14. O sistema dado abaixo é constituído por dois discos apresentando um amortecimento entre ambos, e entre cada um deles e o suporte. Obter o modelo matemático do sistema. • Sistema mecânico com rotação 41 Modelagem de Sistemas Físicos Momento de inércia e amortecimento refletidos por um trem de engrenagens. Exemplo 3.15. Obter o modelo matemático do sistema representado abaixo. • Sistema mecânico com rotação 42 43 Sistemas Elétricos: Nos sistemas elétricos são analisados os seguintes elementos: resistores, capacitores e indutores. São considerados como variáveis a corrente, que flui através desses elementos e a tensão que se distribui sobre esses elementos. O Resistor: Sua propriedade é a resistência elétrica (dada em Ohms – Ω), o que torna o resistor um dispositivo capaz de dissipar energia elétrica. Na sua modelagem emprega-se a lei de Ohm, que estabelece uma relação linear entre a corrente e a tensão: Símbolo: 44 O Capacitor: Sua propriedade é a capacitância a qual resulta da relação entre tensão nos seus terminais e a carga armazenada pelo mesmo. Símbolo: 45 O Indutor: Sua propriedade é a indutância a qual resulta da relação entre tensão nos seus terminais e taxa de variação de corrente que o atravessa. Símbolo: Modelagem de Sistemas Físicos As leis básicas que governam os circuitos elétricos são a lei de Kirchhoff das correntes e a lei de Kirchhoff das tensões. Exemplo 3.9 Obter o modelo matemático para o circuito RLC, ei é tensão de entrada e eo é a tensão de saída. • Sistemas elétricos 46 Modelagem de Sistemas Físicos Sistemas com equações diferenciais de mesma forma. As variáveis e os parâmetros correspondentes são chamados de análogos. Um circuito elétrico pode formalmente ter equações iguais às de um sistema mecânico. Circuito mecânico. Obtido conectando-se os terminais de elementos com mesmo deslocamento. As equações do sistema são escritas segundo as regras das equações de nós. • Sistemas análogos 47 Modelagem de Sistemas Físicos Circuito mecânico Exemplo 3.10. Obter o circuito mecânico análogo ao sistema abaixo. • Sistemas análogos 48 Modelagem de Sistemas Físicos Analogia força-corrente. • Sistemas análogos Elemento mecânico de translação Elemento elétrico Símbolo Grandeza Símbolo Grandeza f Força i Corrente v =dx/dt Velocidade e ou v Tensão M Massa C Capacitância K Coeficiente de rigidez 1/L Recíproco de indutância B Coeficiente de amortecimento G = 1/R Condutância 49 Modelagem de Sistemas Físicos Analogia força-tensão. • Sistemas análogos Elemento mecânico de translação Elemento elétrico Símbolo Grandeza Símbolo Grandeza f Força e ou v Tensão v =dx/dt Velocidade i Corrente M Massa L Indutância K Coeficiente de rigidez 1/C Recíproco da capacitância B Coeficiente de amortecimento R Resistência 50 Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.11. Obter os análogos força-corrente e força-tensão para o circuito mecânico dado. • Sistemas análogos 51 Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.12. Obter o circuito análogo elétrico força-corrente para o sistema mecânico abaixo. • Sistemas análogos 52 Modelagem de Sistemas Físicos Sistema sem carregamento. Elimina-se a entrada e a saída intermediárias. Se os dois estágios são isolados a função de transferência é igual ao produto das funções de transferências individuais. • Funções de transferência de elementos em cascata. 53 Modelagem de Sistemas Físicos Sistema sem carregamento. Exemplo 3.16. Obter o a função de transferência Eo(s)/Ei(s) para o circuito, considerando os estágios acoplados diretamente e os estágios isolados. • Funções de transferência de elementos em cascata. 5455 Modelagem de Sistemas Físicos • Aproximações lineares de sistemas físicos: Considerando que: -A maioria dos sistemas reais existentes não apresenta uma relação linear entre as suas entradas e as suas saídas. -Construir um modelo de um sistema que seja exato, representando todas as suas não linearidades, é extremamente complexo e de difícil tratamento matemático. -Para muitos dos objetivos de especificação e projeto de sistemas de controle um modelo simplificado aproximado é suficiente. => O objetivo agora é determinar, partindo de um sistema não linear, um modelo teórico para pequenos sinais que trabalhe em um determinado ponto de operação, que possa representar o sistema real. 56 Modelagem de Sistemas Físicos • Aproximações lineares de sistemas físicos: Procedimento: Expande-se a função não linear, em série de Taylor, em torno do ponto de operação, desprezando-se os termos de ordem superior a 1. 57 Seja um sistema com entrada x(t) e saída y(t), então: Seja y=f(x), onde f é estabelece uma relação não linear entre y(t) e x(t). Se x(t) apresentar variações muito pequenas em torno de um ponto de operação (ponto fixo), fazendo com que as variações de y(t) também sejam pequenas, então, sob tais condições, pode-se representar f(x) através de uma série de Taylor, desprezando-se os termos de maior ordem. Logo: A aproximação linear de f(x) será: Modelagem de Sistemas Físicos • Aproximações lineares de sistemas físicos: Modelagem de Sistemas Físicos Exemplo 3.17. Obter o modelo linear para o sistema massa mola, onde a mola tem uma característica não linear. • Aproximações lineares de sistemas físicos. 58 59 Modelagem de Sistemas Físicos • Modelagem no espaço de estados. Definição: -Modelo no Espaço de Estados: É uma representação da dinâmica de um sistema de ordem N em um conjunto de equações de primeira ordem em um vetor de dimensão N. Tal vetor é chamado de estado. => Na modelagem, converte-se a equação diferencial de ordem N, que governa o sistema, em N equações de primeira ordem. Modelagem de Sistemas Físicos Introduzida pela teoria de controle moderno, onde se tem: Sistemas com entradas e saídas múltiplas. Trata sistemas lineares ou não lineares. Trata sistemas variantes ou invariantes no tempo. Abordagem centrada no conceito de estado. Domínio do tempo (t). A Teoria de controle clássico é caracterizada por: Tratar sistemas monovariáveis. Considerar apenas sistemas lineares. Ter foco nos sistemas invariantes no tempo. Abordagem centrada no conceito de função de transferência. Domínio de frequência complexa (s). • Modelagem no espaço de estados. 60 Modelagem de Sistemas Físicos Definições Estado Variáveis de estado. Conhecidas em t = t0. Sinal de entrada. Conhecido para t ≥ t0. Comportamento do sistema. Para t ≥ t0. Variáveis de estado Grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema. x1, x2, ..., xn Descreve completamente o sistema. • Modelagem no espaço de estados. 61 Modelagem de Sistemas Físicos Definições Vetor de estado Determina univocamente o estado x(t) do sistema para qualquer instante t ≥ t0, uma vez conhecidos o estado em t = t0 e a função de entrada u(t) para t ≥ t0. • Modelagem no espaço de estados. 62 Modelagem de Sistemas Físicos Definições Espaço de estados O espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos x1, x2, . . ., xn. Exemplo de Espaço de Estados para um sistema com 3 variáveis de estado: • Modelagem no espaço de estados. 63 Modelagem de Sistemas Físicos Definições As equações no espaço de estados apresentam: Variáveis de entrada. Variáveis de saída. Variáveis de estado. A representação não é única. Mesmo número de variáveis de estado. Número de variáveis de estado relaciona-se. Ao número de integradores do sistema. • Modelagem no espaço de estados. 64 Modelagem de Sistemas Físicos Equações no modelo em espaço de estados São expressas em notação matricial Onde: A : Matriz de estado (ou Matriz dinâmica). B : Matriz de entrada. C : Matriz de saída. D : Matriz de transmissão direta. x(t) : Vetor de estados. u(t) : Entrada. y(t) : Saída. • Modelagem no espaço de estados. 65 Equação de estado Equação de saída Representação das características do sistema dinâmico: -Sistemas Variantes no Tempo: -Em Diagrama de Blocos: 66 Modelagem de Sistemas Físicos • Modelagem no espaço de estados. As matrizes A(t), B(t), C(t) e D(t) estão em função do tempo. Representação das características do sistema dinâmico: -Sistemas -Em Diagrama de Blocos: Representação das características do sistema dinâmico: -Sistemas Invariantes no Tempo: 67 Modelagem de Sistemas Físicos • Modelagem no espaço de estados. As matrizes A, B, C e D são constantes. Modelagem de Sistemas Físicos Equações de estado Exemplo 3.18. Obter as equações de estado do circuito. Considerar como saída a tensão no indutor e variável de estado a corrente. A partir das equações de estado obter o diagrama para o sistema. • Modelagem no espaço de estados. 68 Modelagem de Sistemas Físicos Equações de estado Exemplo 3.19. A partir do modelo no espaço de estados, obter a resposta a uma entrada degrau unitário para cada estado do sistema. • Modelagem no espaço de estados. 69 70 Exemplo1: Convertendo F.T. em Espaço de Estado: Caso 1 – Numerador Simples: CONTINUA 71 Exemplo: 72 Exemplo2: Convertendo F.T. em Espaço de Estado: Caso 2 – O numerador é um polinômio com ordem menor que o denominador: CONTINUA 73 74 Exemplo3: Convertendo F.T. em Espaço de Estado: Caso 3 – O numerador é um polinômio com a mesma ordem do denominador: 75 Obtendo a Função de Transferência partindo do modelo em Espaço de Estado: 76 Modelagem de Sistemas Físicos roots(p) Raízes do polinômio p. poly(r) Coeficientes do polinômio com raízes r. conv Multiplicação de polinômios. polyval Valor do polinômio. • Análise com o MATLAB 77 Modelagem de Sistemas Físicos Função de transferência. Forma analítica • Análise com o MATLAB 78 Modelagem de Sistemas Físicos Função de transferência. Exemplo 3.21. Representar as seguintes funções de transferência no MATLAB. • Análise com o MATLAB 79 Modelagem de Sistemas Físicos Função de transferência. Representação zero-pólo-ganho (zpK) • Análise com o MATLAB 80 Modelagem de Sistemas Físicos Função de transferência. Exemplo 3.22. Representar a função de transferência no MATLAB no modelo zpK. • Análise com o MATLAB 81 Modelagem de Sistemas Físicos Função de transferência. pzmap Diagrama de polos e zeros. Exemplo 3.23. Dadas as funções de transferência, encontrar os polos e zeros de G(s). Representar H(s) como a relação entre dois polinômios. Encontrar T(s) = G(s)/H(s). Encontrar os polos e zeros de T(s). • Análise com o MATLAB 82 Modelagem deSistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Conexão em cascata. Exemplo 3.24. Encontrar a função de transferência equivalente da conexão em cascata de • Análise com o MATLAB 83 Modelagem de Sistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Conexão em paralelo. • Análise com o MATLAB 84 Modelagem de Sistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Conexão em paralelo. Exemplo 3.25. Encontrar a função de transferência equivalente da conexão em paralelo de • Análise com o MATLAB 85 Modelagem de Sistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Sistema e malha fechada. • Análise com o MATLAB sys = feedback(sys1,sys2,sign) 86 Modelagem de Sistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Sistema e malha fechada. Exemplo 3.26. Encontrar a função de transferência equivalente Y(s)/R(s). • Análise com o MATLAB 87 Modelagem de Sistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Redução multimalhas Exemplo 3.27. Encontrar a função de transferência equivalente Y(s)/R(s). • Análise com o MATLAB 88 Modelagem de Sistemas Físicos Modelos em diagrama de blocos Redução multimalhas Exemplo 3.28 Encontrar a função de transferência equivalente. • Análise com o MATLAB 89 Modelagem de Sistemas Físicos Conversão entre modelos tf2ss. [A, B, C, D] = tf2ss(num, den) ss2tf. [num, den] = ss2tf(A, B, C, D) Exemplo 3.29. Obter a representação em espaço de estado para o sistema com função de transferência. • Análise com o MATLAB 90 Modelagem de Sistemas Físicos Conversão entre modelos Exemplo 3.30. Obter a função de transferência do sistema com representação em espaço de estado dada. • Análise com o MATLAB 91 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 1. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4a Edição, Prentice Hall, 2003. 2. DORF, R. C.; Bishop, R. H. Sistemas de Controle Modernos. 11a Edição, Livros Técnicos e Científicos, 2009. 3. NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 5a Edição, Livros Técnicos e Científicos, 2009. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 1. HSU, Hwei. Sinais e Sistemas. Editora Schaum Bookman Companhia, 2004. 2. HAYKIN, Simon S. & VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. Editora Bookman Companhia, 2000. 3. BOLTON, W. Engenharia de Controle MAKRON, 1995. 4. PHILLIPS, Charles L. & HARBOR, Royce D. Sistemas de Controle e Realimentação Makron, 1996. 5. HAYKIN, Simon. Sinais e sistemas. Colaboração de Barry Van Veen.Traduzido por Jose Carlos Barbosa dos Santos. Porto Alegre: Bookman, 2001.
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