Lista de Exercício 3 - Potencial

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
Disciplina: Física Geral III Curso: Engenharia Elétrica Turma: 88041.00 Data:12/09/2014 
 
 
Lista de exercícios 3 
Potencial elétrico 
 
 
1. Quatro cargas positivas idênticas, cada uma tendo carga q, estão inicialmente em repouso a uma separação 
infinita. A) Encontre uma equação para o trabalho total requerido para mover as cargas aos quatro vértices 
de um quadrado de lado a. Dica: o trabalho total é a soma dos trabalhos parciais para mover cada carga, 
sequencialmente, para a sua posição final. 
 
2. Um dipolo elétrico consiste de uma carga pontual positiva, +q sobre o eixo x em x = l/2 e uma carga pontual 
negativa, -q em x = -l/2. A) Calcule o potencial sobre qualquer ponto sobre o eixo x, isto é, para x ≥ 0 e para 
x <0. B) encontre a expressão do potencial para x >> l/2. C) Encontre uma expressão para o potencial sobre 
o eixo de simetria do dipolo, ou seja, sobre o eixo y. 
 
3. Uma folha plana infinita tem densidade superficial de carga uniforme igual a . A folha se localiza sobre o 
plano x=0 e uma carga pontual q está sobre o eixo x em x = a. Encontre o potencial no ponto P, a uma 
distância r da carga pontual. P é dado pelas coordenadas (x, y, z). 
 
4. Demonstre que o potencial gerado por uma casca esférica muito fina, cujo raio é R e carga total 
uniformemente distribuída, Q, é dado pela equação abaixo (note: k= (1/4𝜋𝜀0)) : 
 
5. Demonstre que o potencial gerado por uma esfera maciça de raio R e carga total uniformemente 
distribuída, Q, é dado pela equação abaixo: 
𝑉(𝑟) =
{
 
 
 
 1
4𝜋𝜀0
𝑄
𝑟
, 𝑟 ≥ 𝑅
1
4𝜋𝜀0
𝑄
2𝑅
(3 −
𝑟2
𝑅2
), 𝑟 ≤ 𝑅
 
 
6. Carga elétrica é distribuída uniformemente ao longo de um fio carregado de comprimento a com carga total 
Q. Considerando que o potencial no infinito é nulo encontre o potencial nos pontos: a) ponto P, a uma 
distância x do lado direito do fio; b) Ponto R, a uma distância y sobre a extremidade direita do fio; c) Nos 
itens a e b, como mudam seus resultados se x >> a e y >>a? d) Faça gráficos dos potenciais em função de x 
e de y. 
 
 
7. Duas cargas positivas, cada qual com magnitude q, estão fixas sobre o eixo y nos pontos y= a e y= -a. a) 
Faça um diagrama esquematizando as posições das cargas; b) Qual é o potencial na origem? C) Mostre que 
o potencial em qualquer ponto sobre o eixo x é: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
2𝑞
√𝑎2 + 𝑥2
 
d) Faça o gráfico de V em função de x. 
 
8. Antes do advento da Eletrônica do estado sólido, válvulas eram largamente utilizadas em rádios e outros 
dispositivos. Um tipo simples de válvula, o diodo, consiste de dois eletrodos no interior de uma cápsula com 
alto vácuo. Um eletrodo, o catodo, é mantido sob alta temperatura e emite elétrons. Uma diferença de 
potencial de centenas de volts é mantida entre o catodo e o outro eletrodo, o anodo. Suponha que o 
potencial do anodo é 295 V maior do que o do catodo. Se um elétron deixa o catodo com velocidade inicial 
zero, qual a sua velocidade quando se colidir com o anodo? 
 
9. Uma esfera metálica (ou seja, condutora) com raio ra está apoiada sobre uma base isolante no centro de 
uma casca esférica metálica fina com raio externo rb. A carga na esfera é +q e –q na face externa da casca 
esférica. A) Calcule o potencial V(r) para: i) r< ra; ii) ra < r < rb; iii) r > rb. Dica: considere V zero quando r é 
infinito. O potencial total é a soma dos potenciais devidos à esfera e à casca, individualmente. B) Mostre o 
potencial da esfera interna com respeito à casca esférica é: 
 
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
) 
 
C) Use a relação entre campo elétrico e o gradiente do potencial radial, 𝐸 = −𝜕𝑉/𝜕𝑟 , para mostrar que o 
campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas tem magnitude: 
 
𝐸 =
𝑉𝑎𝑏
(
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
)
1
𝑟2
 
 
D) Use a relação do item C para calcular o campo elétrico em um ponto fora da casca esférica a uma 
distância r do centro (r > rb). E) Suponha que a carga na casca esférica não seja –q, mas um valor diferente 
–Q. Mostre que as respostas dos itens B e C não se alteram e que a resposta do item D é diferente. 
 
10. Um longo cilindro metálico (raio a) está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de um tubo 
cilíndrico metálico de raio b (cilindro externo). A densidade linear de carga do cilindro interno é . O tubo 
tem densidade linear de carga -A) Calcule o potencial V(r) nas regiões r<a, a<r<b, r>b. Dica: o potencial é 
a soma dos potenciais de cada condutor. Considere V=0 em r=b. B) Mostre que o potencial do cilindro 
interno com relação ao tubo é: 
𝑉𝑎𝑏 =
𝜆
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
 
C) Use a relação entre campo elétrico e o gradiente do potencial radial, 𝐸 = −𝜕𝑉/𝜕𝑟 , para mostrar que o 
campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas tem magnitude: 
𝐸(𝑟) =
𝑉𝑎𝑏
ln (
𝑏
𝑎)
 
1
𝑟
 
 
D) Qual seria a diferença de potencial entre os dois cilindros se o cilindro externo não tivesse carga líquida? 
 
11. Um potencial V em uma região do espaço é dado por: V(x,y,z) = A(x2 – 3y2 +z2). A) Qual é a expressão do 
campo elétrico nessa região? B) Mostre que em cada plano paralelo ao plano XZ os contornos 
equipotenciais são círculos.