Lugar das Raizes

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Me´todo do Lugar das Ra´ızes
1. Conceito do“Lugar das Ra´ızes”
2. Virtudes do Lugar das Ra´ızes (LR)
c©Reinaldo M. Palhares
pag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
B No projeto de um sistema de controle, e´ fundamental determinar como a
localizac¸a˜o das ra´ızes da EC no plano-s muda com a variac¸a˜o de um paraˆmetro.
Essa localizac¸a˜o das ra´ızes (ou lugar das ra´ızes) e´ normalmente feita por um
me´todo gra´fico conhecido como Gra´fico do Lugar das Ra´ızes
B O que fazer ? Elaborar uma metodologia de trac¸ado deste gra´fico,
manualmente ou por aux´ılio de computador...
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pag.2 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
B Como normalmente e´ necessa´rio ajustar um ou mais paraˆmetros no sistema
de controle para que se consiga alocar de forma apropriada as ra´ızes em malha
fechada, sera´ estudado, como exemplo preliminar de projeto de sistemas
realimentados, os efeitos da variac¸a˜o dos treˆs paraˆmetros de um controlador PID
(ie, com um termo Proporcional, outro Integral e outro Derivativo)
B Como o me´todo do lugar das ra´ızes envolve a ana´lise em func¸a˜o da variac¸a˜o
de um ou mais paraˆmetros, pode-se extrair tambe´m uma medida da sensitividade
das ra´ızes frente a tais variac¸o˜es
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pag.3 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
Considere a malha de realimentac¸a˜o unita´ria, para o processo G(s), com um
paraˆmetro ajusta´vel K, ilustrado na figura abaixo
G(s)K
R(s) Y (s)
−
+
B Enta˜o o desempenho dinaˆmico em malha fechada e´ descrito pela FT
T (s) =
Y (s)
R(s)
=
KG(s)
1 +KG(s)
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pag.4 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
B As ra´ızes da EC sa˜o determinadas a partir da relac¸a˜o
1 +KG(s) = 0 ⇒ KG(s) = −1
que pode ser re-escrita na forma polar
|KG(s)|∠KG(s) = −1 + j0
B Portanto, para pertencer ao Lugar das Ra´ızes, e´ necessa´rio que


|KG(s)| = 1
∠KG(s) = 180o ± k360o, k = 0, 1, 2, 3, · · ·
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pag.5 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
Exemplo Considere o sistema de 2a. ordem
G(s) =
1
(s2 + 2s)
=
1
s(s+ 2)
a EC correspondente com um paraˆmetro ajusta´vel, K, e´
∆(s) = 1 +KG(s) = 1 +
K
s(s+ 2)
= 0
ou, de forma equivalente para um sistema de 2a. ordem
s2 + 2s+K = s2 + 2ζωns+ ωn = 0
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pag.6 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
Portanto, o lugar das ra´ızes com K variando de 0 a∞, e´ encontrado quando
impo˜em-se
|KG(s)| =
∣∣∣∣ Ks(s+ 2)
∣∣∣∣ = 1 e ∠KG(s) = ±180o,±540o, · · ·
B Como ja´ mostrado, as ra´ızes do sistema de 2a. ordem sa˜o
s1,2 = ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1
para ζ < 1 e θ = cos−1ζ as ra´ızes sa˜o complexas, para ζ > 1 as ra´ızes sa˜o
reais...
B Veja que quando considera-se apenas o processo, G(s), no LR geram-se
apenas os po´los em malha aberta de G(s), ie, s1 = 0 e s2 = −2
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pag.7 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
B Como seria um gra´fico do lugar das ra´ızes?
B Veja que se para a EC: ∆(s) = 1 +KG(s) = s2 + 2s+K = 0
pode-se calcular va´rias ra´ızes para K variando de 0 a∞ obter-se-ia
K = 0 ⇒ {−2, 0} (malha aberta)
K = 0.5 ⇒ {−1.7071, − 0.2929}
K = 1 ⇒ {−1, −1}
K = 2 ⇒ {−1± j}
K = 5 ⇒ {−1± j2}
K = 102 ⇒ {−1± 9.9499}
K = 106 ⇒ {−1± 103}
K = 1015 ⇒ {−1± 3.16× 107} (zeros em∞...)
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pag.8 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
Deste modo, o gra´fico do lugar das ra´ızes seria dado por
Po´los em malha aberta
Ra´ızes em malha fechada
K
K
K −1−2
0 σ
jω
Ke
K1
K1
K2
K2
θ θ
ωn ωn
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pag.9 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Conceito de Lugar das Ra´ızes
B Quais condic¸o˜es devem ser satisfeitas para que se possa julgar se um ponto
pertence ao lugar das ra´ızes ? Condic¸a˜o de aˆngulo... E a condic¸a˜o de mo´dulo
fornece o ganho que aloca a ra´ız naquela posic¸a˜o
B Note que para atender a condic¸a˜o de aˆngulo, o LR corresponde a uma linha
vertical, para ζ < 1 (sub-amortecimento) e uma linha horizontal para ζ > 1
(sobre-amortecimento)
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pag.10 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Virtudes do Lugar das Ra´ızes
B O LR fornece uma boa“ide´ia”de como os po´los em malha fechada variam em
func¸a˜o de um (ou mais) paraˆmetro(s) ajusta´ve(l)(eis)
B Veremos como esta facilidade do LR para localizar os po´los em malha fechada
e, consequ¨entemente, caracterizar elementos da resposta temporal, e´ um dos
me´todos mais eficientes no dom´ınio das transformadas para projeto de sistemas
de controle
B Naturalmente na˜o seria nada amiga´vel trac¸ar o LR da forma como foi
apresentado, de modo que sera´ discutido no pro´ximo bloco uma metodologia, com
caracter´ısticas gerais, para esboc¸ar o LR
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pag.18 Controle de Sistemas Lineares – Aula 8
Me´todo do Lugar das Ra´ızes
1. Esboc¸ando o Lugar das Ra´ızes (LR)
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pag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
B O procedimento para esboc¸ar o gra´fico do Lugar das Ra´ızes e´ realizado em 12
passos ordenados a seguir
Passo 1 – Escreve-se a EC na forma
1 + F (s) = 0
e, se necessa´rio, esta e´ re-arranjada de forma que o paraˆmetro de interesse, K,
aparec¸a como fator multiplicador, ie
1 +KP (s) = 0
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pag.2 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
Passo 2 – Fatora-se P (s), se necessa´rio, e escreve-se o polinoˆmio na forma de
ganho, po´los e zeros
1 +K
M∏
i=1
(s+ zi)
n∏
j=1
(s+ pj)
= 0
Passo 3 – Marcam-se os po´los e zeros no plano-s com s´ımbolos pro´prios (“×”e
“◦”, respectivamente). Normalmente esta´-se interessado em determinar o LR
quando 0 ≤ K ≤ ∞ e a EC pode ser reescrita da forma
n∏
j=1
(s+ pj) +K
M∏
i=1
(s+ zi) = 0
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pag.3 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
B Para K = 0, as ra´ızes da EC sa˜o os po´los de P (s)
B Quando K →∞, as ra´ızes da EC se aproximam dos zeros de P (s)
O Lugar das Ra´ızes da EC, 1 +KP (s) = 0,
comec¸a nos po´los de P (s) e termina
nos zeros de P (s) quando K e´ variado de 0 a ∞
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pag.4 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
B Como normalmente P (s) pode ter va´rios zeros em infinito, ie, n > M ,
enta˜o n−M ramos do LR tendera˜o a n−M zeros em∞
Passo 4 – Localizam-se os seguimentos do LR que recaem sobre o eixo real
O Lugar das Ra´ızes no eixo real recae sempre
sobre um trecho do eixo real a`
esquerda de um nu´mero ı´mpar de po´los e zeros
(Verificado pela condic¸a˜o de aˆngulo...)
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pag.5 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
Exemplo (Passo 1) EC: 1 + F (s) = 1 +
K(1
2
s+ 1)
s(1
4
s+ 1)
= 0
(Passo 2) F (s) e´ reescrita na forma ganho-po´lo-zero 1 +
2K(s+ 2)
s(s+ 4)
= 0
(Passo 3) Marcam-se os po´los (0, −4) e zero (−2) com a simbologia adotada
Zero
Po´los
θp1
×× ©
−2−4 0
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pag.6 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
(Passo 4) O crite´rio de aˆngulo e´ satisfeito no segmento do eixo real entre os
pontos 0 e −2 (veja que o po´lo p1 = 0 contribui com −180
0, o zero z = −2
contribui com 00 e o po´lo em p2 = −4 contribui com 0
0...). Entre o zero,
z = −2, e o po´lo p2 = −4 obte´m-se 0
0 (contribuic¸a˜o de −1800 de p1, 180
0
de z e 00 de p2). Por outro lado, entre p2 e∞ acontribuic¸a˜o total e´ de 180
0.
Portanto os trechos entre p1 e z e p2 e∞ sobre o eixo real, fazem parte do LR
B Veja ainda que n−M = 2− 1 = 1 ramo tendera´ a∞
Segmentos do LR
×× ©
−2−4 0
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pag.7 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
Passo 5 – Determina-se o nu´mero de curvas do LR que e´ igual ao nu´mero de
po´los (ja´ que o nu´mero de po´los e´ maior ou igual ao nu´mero de zeros)
Passo 6 – O lugar das ra´ızes e´ sime´trico com relac¸a˜o ao eixo real ja´ que ra´ızes
complexas sempre aparecem em pares complexos conjugados
Passo 7 – Se houver zeros em∞, o LR tende a∞ aproximando-se de
ass´ıntotas centradas em σA (ponto este denominado centro´ide) e com aˆngulo
φA, sendo
σA =
∑
po´los deP (s)−
∑
zeros deP (s)
np − nz
=
n∑
j=1
(−pj)−
M∑
i=1
(−zi)
np − nz
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pag.8 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
E o aˆngulo das ass´ıntotas em relac¸a˜o ao eixo real e´
φA =
(2q + 1)
np − nz
1800, q = 0, 1, 2, . . . , (np − nz − 1)
B A equac¸a˜o acima e´ obtida usando o fato que, a um ponto muito distante dos
po´los e zeros, pode-se considerar que os aˆngulos de cada po´lo e zero, φ, sa˜o
praticamente iguais e, portanto, o aˆngulo l´ıquido (de 1800) e´ simplesmente
φ(np − nz). Ou, de forma alternativa, φ = 180
0/(np − nz), o que resulta na
forma acima aplica´vel a cada ramo do LR em∞
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pag.9 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9
Esboc¸o do Lugar das Ra´ızes
Passo 8 – Determina-se, quando for o caso, o ponto em que o LR cruza o eixo
imagina´rio usando o crite´rio de Routh-Hurwitz
Passo 9 – Determina-se o ponto de partida ou de chegada do eixo real (se
houver). O LR deixa o eixo real no ponto em que, para pequenas variac¸o˜es do
paraˆmetro em considerac¸a˜o, o aˆngulo l´ıquido e´ zero
B Veja que o LR deixa de pertencer ao eixo real nos casos em que ha´
multiplicidade de ra´ızes, tipicamente duas
B Em geral, para obedecer a` condic¸a˜o de aˆngulo, as tangentes do LR no ponto
de partida/chegada sa˜o igualmente espac¸adas sobre os 3600
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pag.10 Controle de Sistemas Lineares – Aula 9