Trabalho de Cálculo Retas

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS – UNIDADE ITUIUTABA
CURSO BACHARELADO EM AGRONOMIA – 2º PERÍODO NOTURNO
DISCIPLINA: NOÇÕES DE CÁLCULO 
RETAS
DISCENTES:
ANA PAULA DE SOUZA CAITANO
JOSÉ VITOR OLIVEIRA REIS
MARIA CAROLINA SILVA PIRES
MARAÍSA DUARTE FABIANO
MARRIETE MACEDO CUSTÓDIO
MÔNICA MIGUEL DE PAULA
DOCENTE:
GABRIELA 
ITUIUTABA
JUNHO – 2016
DEFINIÇÃO
Segundo Ferreira 2010, reta é uma linha, traço ou risco que segue sempre a mesma direção. Em outras palavras podemos definir, como uma figura geométrica constituída por uma linha que estabelece a menor distância entre duas posições.
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2.
Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores P1P e P1P2 são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor P1P 2é não nulo, então existe um escalar λ tal que P1P = λ P 1P 2. Assim, P pertence a r se, e somente se P = P1 +λ P1 P2.; λ є IR . Podemos então concluir que todo ponto da reta r satisfaz à equação:
Que é chamada de equação vetorial da reta r. É que o fundamental na determinação da equação vetorial de uma reta, conhecermos um ponto desta reta e um vetor ( não nulo ) na sua direção. Um vetor na direção da reta r é chamado vetor direção da reta r, e indicado por Vr.
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA
Estabeleçamos um sistema de coordenadas do espaço. Sejam u = (a1, b1 ,c1), v = (a2 , b2 ,c2) r vetores linearmente independentes paralelos ao plano α Po (xo,yo,zo) um ponto de α . Assim, uma equação vetorial do plano a pode ser escrita como:
A equação a cima equivale ao sistema:
As equações deste sistema são chamadas equações paramétricas do plano α.
Exemplo 1: Dê uma equação vetorial do plano determinado pelos pontos A= (1,1,0), B = (-1,2,1) e C = (3,2,1).
Como os vetores AB = (-2,1,1) e CA = (-2,-1,-1) são linearmente independentes, os pontos A, B e C não são colineares, logo determinam um único plano. Uma equação vetorial do plano ABC é :
(x, y, z) = (1,1,0) + t(-2,1,1) + h(2,1,1) ; t,h є IR
Exemplo 2: Determine as equações paramétricas do plano α paralelo ao vetor u = (5,1,2) r e que passa pelos pontos A = (3,-1,1) e B = (2,-1,0).
Os vetores u = (5,1,2) r e AB = (-1,0,-1) são linearmente independentes com representantes no plano α . Assim, as equações paramétricas de α são:
RETAS DEFINIDAS POR DOIS PONTOS
 	A reta definida por dois pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direção do Vetor, para equacionar essa reta r temos: 
V = AB = A-B = ( X2-X1, Y1-Y2, Z1-Z2)
Exemplo: A reta r, determinada pelos pontos A (1,-2,-3) e B (3, 1, -4), tem a direção do vetor v= AB = (2, 3, -1) e as equações paramétricas:
X=1+2t
Y=-2+3t
Z=-3-t
Representam esta reta r, passando pelo ponto A, com direção do vetor v= AB; analogamente as equações paramétricas.
X=3+2t
Y=1+3t
Z=-4-t
Ainda representa a mesma reta r, passando pelo ponto B, com a direção do vetor v= AB. Observe que, embora estes sistemas sejam diferentes, eles permitem encontrar todos os pontos da mesma reta, fazendo t variar de -∞ a +∞. Por exemplo, para t=1, obtemos o ponto P1 (3, 1,-4) no primeiro sistema e o ponto P2 (5, 4, -5) no segundo sistema, e ambos são pontos da mesma reta. É fácil ver que o ponto P1, pode ser obtido, no segundo sistema, fazendo t=0 e o ponto P2, no primeiro sistema, fazendo t=2.
São dadas as coordenadas dos dois pontos A e B. A reta r1 que contém as projeções horizontais dos pontos é a projeção horizontal da reta; a reta r2 que contém as projeções frontais dos pontos é a projeção frontal.
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Este tipo de equação é diferente as demais, por ter algumas propriedades que são diferentes das outras equações da reta que são vistas na matemática. Trata-se da equação simétrica, que é obtida ao isolarmos o parâmetro λ em cada uma das equações e igualá-las a seguir.
A maior vantagem da equação simétrica da reta em relação às outras é que ela torna o vetor diretor bastante evidente: as coordenadas de tal vetor são os denominadores de cada fração. É importante notar que essa equação é apenas uma representação da informação e não uma divisão em si. Esta equação, porém, só pode ser obtida se nenhuma das coordenadas do vetor diretor da reta for nula.
Para passar da equação paramétrica para a equação simétrica da reta, isola-se o parâmetro; Para passar da equação simétrica para a paramétrica, devemos fazer o processo inverso, ou seja, colocar o parâmetro em cada uma das igualdades e “desisolá-lo”.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
A equação reduzida da reta respeita a lei de formação que é expressada por:
y = mx + c
Onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. A forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, ou seja, as duas variáveis possuem relação de dependência. 
Ao se atribuir valores para x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções matemáticas de 1º grau, relaciona-se o domínio (x) de uma função com sua imagem (y). 
Esse modelo de representação apresenta uma característica quanto ao valor do coeficiente angular e linear. O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y).
Exemplo: Dados dois pontos P(3, 1) e Q(–2, –9) pertencentes a uma reta, constrói-se a equação reduzida da reta. Para determinar a equação reduzida da resta existem duas maneiras de se resolver:
	1º:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (–9 – 1) / (–2 – 3)
m = –10 / –5
m = 2
	Considerando os pontos (3, 1)
y – y1 = m * (x – x1) 
y – 1 = 2 * (x – 3)
y – 1 = 2x – 3
y = 2x – 3 + 1
y = 2x – 2
	2º:
Considerando P(3, 1) e Q(–2, –9), temos:
	
Isolando c na 2ª equação:
–2m + c = –9
c = –9 + 2m
	P(3, 1)
1 = m * 3 + c
1 = 3m + c
3m + c = 1
	Q(–2, –9)
–9 = m * (–2) + c
–9 = –2m + c
–2m + c = –9
	
	Substituindo c na 1ª equação:
3m + c = 1
3m + (–9 + 2m) = 1
3m – 9 + 2m = 1
5m = 9 + 1 
5m = 10
m = 10/5
m = 2
	Calculando o valor de c:
c = –9 + 2m
c = –9 + 4
c = –5
	
	Portanto:
y = 2x – 2
RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS
Considerando uma componente do vetor diretor igual à zero, que é representado pelo vetor v = (a, b, c) obteremos o vetor v ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo então a reta r (determinada por um ponto A( x1, y1, z1)) paralela ao plano dos outros eixos. Portanto se: a = 0, v = (0,b,c), logo, é é perpendicular ao eixo "ox" e paralelo ao eixo "yoz".
     	As equações da reta r ficam:
Verificamos que a coordenada x permanece constante, variando somente entre y e z. Com isso averiguamos que a reta r se localiza num plano paralelo ao plano coordenado yOz. Como exemplo, temos a ilustração abaixo:
Ilustração 1: Demonstração de plano paralelo ao plano coordenado yOz
Fonte: Retirado de (1)
Caso a componente b do vetor diretor venha ser nulo obteremos: b = 0, v = (a,0,c), logo, é perpendicular ao eixo "oy" e paralelo ao eixo "xoz".
As equações da reta ficam:
Verificamos que a coordenada y permanece constante, variando somente entre x e z. Com isso averiguamos que a reta r se localiza num plano paralelo ao plano coordenado xOz.
Ilustração 2: Demonstração de plano paralelo ao plano coordenado xOz
Fonte: Retirado de 1
Caso a componente c do vetor direto venha ser nulo: c = 0, v = (a,b, 0), logo, é perpendicular ao eixo “oz” e paralelo ao eixo “xoy”. 
As equações da reta ficam:
Ilustração 3: Demonstração de plano paralelo ao plano coordenado xOy
Fonte: Retirado de (1)
Verificamos que a coordenada z permanece constante, variando somente entre x e y. Com isso averiguamos que a reta r se localiza num plano paralelo ao plano coordenado xOy.
Agora verificaremos quando duasdas componentes de v são nulas. Caso as componentes ‘a’ e ‘b’ do vetor diretor forem nulos: v = (0,0,c) 
As equações da reta ficam:
Verificamos que a coordenada z é variável.
Ilustração 4: Demonstração de coordenada z é variável
Fonte: Retirado de 1
Caso os componente ‘a’ e ‘c’ do vetor diretor forem nulos: v = (0,b,0)
As equações da reta ficam:
Verificamos que a coordenada y é variável.
Ilustração 5: Demonstração de coordenada y é variável
Fonte: Retirado de 1
Caso os componentes ‘b’ e ‘c’ do vetor diretor forem nulos: v = (a,0,0) 
As equações da reta ficam:
Verificamos que a coordenada x é variável.
Ilustração 6: Demonstração de coordenada x é variável
Fonte: Retirado de 1
ÂNGULOS DE DUAS RESTAS
Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:
Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente. 
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que: 
Exemplo 1: Determine o ângulo formado entre as retas r: x–y = 0 e s: 3x+4y–12 = 0. 
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.
	Para a reta r, temos: 
x - y = 0 
y = x
Portanto, mr = 1.
	Para a reta s, temos: 
Portanto, ms = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas: 
 
Exemplo 2: Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas. 
	Para a reta r, temos: 
y = 3x + 4 
mr = 3 
	Para a reta s, temos: 
y = – 2x + 8 
ms = – 2
	
	
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos:
 
 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO ENTRE DUAS RETAS
Se dissermos que duas retas são paralelas a uma terceira, elas assim serão consideradas paralelas entre si. 
Vejamos a figura:
Teorema fundamental do paralelismo 
O principal requisito para que uma reta seja paralela a um plano é que de modo algum ela esteja inclusa nele e seja paralela a uma reta desse plano. Vejamos: 
 Consequências
Consideremos duas paralelas distintas, todo e qualquer plano que possui uma é paralelo ou possui a outra. Vejamos a figura:
 
Ao notarmos que uma reta é paralela a um plano, podemos afirmar que toda e qualquer reta paralela a ela que tenha um ponto uniforme com o plano estará contida nele. 
Vejamos: 
Se considerarmos que uma reta é paralela a dois planos secantes, então poderemos dizer que ela é também paralela a intersecção dos dois planos. Vejamos a figura:
Note que o recíproco não é real, pois ela pode estar contida nos planos. 
Teorema fundamental do paralelismo do plano 
O principal requisito para que dois planos diferentes sejam paralelos é um deles possuir duas retas concorrentes entre si e paralelas ao outro. Vejamos:
Propriedade de paralelismo de planos
Ao possuir dois planos paralelos cortados por um terceiro, teremos intersecções paralelas. 
Se considerarmos um ponto que não pertence a um plano, notaremos que haverá e será exclusivo o plano paralelo a ele (extensão do postulado de Euclides da Geometria Plana).
Teorema de Tales 
Um feixe de planos paralelos determina a cerca de duas transversais secções congruentes devidamente proporcionais. 
 
CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS
As retas dadas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores o são, isto é:
A diferença entre retas ortogonais e retas perpendiculares é que duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas e duas retas perpendiculares são obrigatoriamente reversas. A segunda é um caso particular da primeira. (1) 
Sejam as retas r1 e r2, não paralelas, com as direções dos vetores  v1 = (a1,b1,c1) e v2 = (a2,b2,c2), respectivamente. Qualquer reta r, simultaneamente ortogonal às retas r e s, terá um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor v1 x v2 (ilustração 5).(2)
Ilustração 5: reta ortogonal a duas retas
Fonte: retirada de (2)
Nas condições dadas, uma reta r estará bem definida quando se conhece um dos pontos.
CONDIÇÕES DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS
Dizemos que duas retas são coplanares quando estão em um conjunto de pontos no espaço possui coplanaridade, é dito coplanar, se todos os pontos estão no mesmo palano geométrico. Por exemplo, três pontos distintos estão sempre no mesmo plano, são coplanares, mas um quarto ponto e os demais acrescentados no espaço podem existir em outro plano, incomplanariamente. Além disso, duas ou mais retas paralelas ou concorrentes podem estar em planos diferentes, mas todas as retas coincidentes sempre estarão em um mesmo plano, complanariamente.
Temos duas retas, r1 que passa pelo ponto A1 (x1, y1, z1) e possui o vetor v1 = (a1, b1, c1) indicando a sua direção  e r2 que passa pelo ponto A2 (x2, y2, z2) e possui o vetor v2 = (a2, b2, c2) indicando sua direção. As retas são ditas coplanares se v1, v2 e A1, A2 forem coplanares, isto é, se o produto misto de (v1,v2 , A1, A2) for nulo.
Ilustração 1: Demonstração de coplanaridade de duas retas
Fonte: Retirado de (1)
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. 
As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. 
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. 
As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. 
Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não.
As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes.
As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.
Paralelas coincidentes 
Podemos denominar paralelas coincidentes duas retas que possuem todos os pontos em comum. 
Paralelas Distintas
Denominamos paralelas distintas duas retas quando são coplanares e possuem pontos uniformes. 
Atenção: Consideramos coplanares duas retas, quando existe um plano que as contém.
Concorrentes
Denominamos concorrentes duas retas quando contém um único ponto em comum. 
É importante ressaltar que duas retas concorrentes que determinam um ângulo reto são denominadas perpendiculares.
Reversas
Podemos denominar duas retas de reversas, sempre que não forem coplanares, isto é quando não houver um plano as contém. 
Para determinar a extensão do ângulo entre duas retas reversas, consideramos uma paralela a uma delas que corte a outra e logo após medimos o ângulo. Denominamos retas ortogonais quando duas retas reversas determinam ângulo reto.
INTERCESSÃO DE DUAS RETAS
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum. 
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o ponto de intersecção.
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P (x0, y0) comum às retas r e s. 
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo:
	x + 4y – 7 = 0 
3x + y + 1 = 0 
	x + 4y = 7   (-3) 
3x + y = -1
	Substituindo o valor de y em uma das equações iremos obter o valor de x: 
x + 4y = 7 
x + 4 . 2 = 7 
x + 8 = 7 
x = 7 – 8 
x = -1 
	
-3x  –  12y   = -21 
 3x   +   y      = -1 
           -11y   = -22 
y = 2
	
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2). 
No início da explicação foi dito que as retas t: atx + bty + ct = 0 e u: aux + buy + cu = 0 são concorrentes. Para que seja verdadeira essa afirmação o sistema formado por elas deverá ser possível e determinado, essa verificação irá funcionar da seguinte forma: 
	atx + bty + ct = 0 
aux + buy + cu = 0
	atx + bty = - ct 
aux + buy = - cu 
E para que esse sistema seja possível e determinado, o seu determinante deverá ser diferente de zero. 
Exemplo: Verifique se as retas 2x + y – 3 = 0 e 6x + 5y + 1 = 0 são concorrentes.
	2x + y = 3 
6x + 5y = -1
	2 . 5 – (1 . 6) ≠ 0 
10 – 6 ≠ 0 
4 ≠ 0
Ponto B de intersecção entre duas retas
Existem três posições relativas entre duas retas que se encontram no mesmo plano: as retas podem ser paralelas, coincidentes ou concorrentes. Quaisquer retas que se encontrem em apenas um ponto será chamado concorrentes e existem algumas formas de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre elas.
As retas paralelas, por sua vez, são aquelas que, em toda a sua extensão, não possuem um ponto sequer em comum. Geometricamente, o que se vê são linhas lado a lado.
Finalmente, as retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. É impossível que, possuindo dois pontos em comum, duas retas não compartilhem todos os seus pontos. Portanto, geometricamente, o que se vê ao olhar duas retas coincidentes é apenas uma reta.
Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas concorrentes, será necessário encontrar primeiro as equações dessas duas retas. Após isso, será mais fácil utilizar essas equações em sua forma reduzida.
Tomaremos como exemplo as retas presentes na imagem seguinte:
Para descobrir as coordenadas do ponto B, que é o ponto de intersecção entre duas retas concorrentes, utilizaremos a seguinte estratégia:
 Tomamos as equações das duas retas e escrevemo-las da forma reduzida.
	–x + y = 0
y = x + 0
y = x
	–x – y = –2
–y = –2 + x
y = 2 – x
Como as duas equações encontradas são iguais a y, então as duas equações podem ser igualadas. Esse procedimento dará o valor da coordenada x do ponto B.
x = 2 – x
x + x = 2
2x = 2
x =     
x = 1
Para encontrar o valor da coordenada y do ponto B, basta substituir o valor encontrado para x em uma das duas equações reduzidas da reta.
y = 2 – x
y = 2 – 1
y = 1
Portanto, as coordenadas do ponto B são: x = 1 e y = 1 e escrevemos B = (1,1) ou B (1,1).
Desse modo, para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas, devemos resolver o sistema de equações construído a partir das equações dessas duas retas. As imagens não são necessárias para solução de problemas como esse. Elas são indispensáveis para determinar as equações das retas e auxiliam na verificação dos resultados. Contudo, observe que o próximo exemplo foi resolvido sem o uso de qualquer imagem.
Exemplo 2 – Qual a localização do ponto B, que é a intersecção entre as retas –2x + y = 0 e –x – 2y = – 10?
Para resolver, lembre-se: basta montar um sistema de equações utilizando as equações das retas coincidentes:
–2x + y = 0
–x – 2y = – 10
y = 0 + 2x
– 2y = – 10 + x
y = 2x
2y = 10 – x
Agora, é necessário igualar as variáveis. Multiplicaremos a primeira equação por 2.
	y = 2x
 2y = 10 – x
	2y = 4x
2y = 10 – x
Agora, sim, estamos aptos a igualar as equações:
2y = 2y, portanto:
4x = 10 – x
4x + x = 10
5x = 10
x = 5
Como no exemplo 1, usaremos a primeira equação do sistema para descobrir o valor de y:
y = 2x
y = 2·5
y = 10
Dessa forma, as coordenadas do ponto B são: x = 5 e y = 10 e escrevemos B = (5,10) ou B (5,10).
RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Projeção ortogonal
 A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano  é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano  é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A reta t é considerada ortogonal às duas retas congruentes. Como também nesses exemplos:
 
PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO DE RETA NUMA RAZÃO DADA 
Dados os pontos  , diz-se que um ponto P(x,y,z) divide o segmento de reta   na razão r (ilustração 1) se: 
      
Ilustração 1: ponto que divide um segmento de reta
     Com isso, temos a equação 1: 
     Conclusão:
    (x,y,z) são as coordenadas do ponto P que divide o segmento de reta P1P2 na razão r.
     Exemplo: 
    O ponto P( 9, 14, 7) divide o segmento P1P2 na razão 2/3. Determinar P2, sabendo que P1 (1, 4, 3).
Solução: substituindo na equação 1, pode-se obter as coordenadas de P2. Assim:
 P( 9, 14, 7) = (x, y, z), então P1 (1, 4, 3) = (x1, y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2). Com isso temos que:
9 = (1 - 2/3  x2)/(1- 2/3). Logo, x2  = -3;
14 = (4 - 2/3  y2)/(1- 2/3). Logo, y2 = -1;
7 = (3 - 2/3  z2)/(1- 2/3). Logo, z2 = 1.
Com isso, tem-se: P2 (-3,-1,1).
REFERENCIAS 
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Dicionário da língua portuguesa. 5. ed. Curitiba: Positivo, 2010. 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol 1. São Paulo: Harbra, 3ª ed., 1994
http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/av.pdf Acesso em 22.06.2016.
http://www.basica2.ufba.br/apostilas/retas-planos/Apost2-123.pdf Acesso em 22.06.2016.
https://docs.google.com/file/d/0B1zXFWxgLWJzNVFoNUdRbFUwM3c/edit?pref=2&pli=1 Acesso em 22.06.2016.
http://www.colegioweb.com.br/retas-e-planos-no-espaco/posicoes-relativas-entre-duas-retas.html#ixzz4CKSGLGio
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-retas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm
http://alunosonline.uol.com.br/matematica/ponto-interseccao-entre-duas-retas-concorrentes.html
http://retaeplanos.blogspot.com.br/2015/05/retas-paralelas-aos-planos-e-aos-eixos.html Acesso 22 de junho de 2016.
http://www.icursosonline.com/equacao-simetrica-parametrica-e-cartesina-do-plano/ Acesso 23 de junho de 2016.
https://www.geogebra.org/m/MH5e3JY4 Acesso 23/06/2016.
http://www.colegioweb.com.br/retas-e-planos-noespaco/perpendicularismo.html#ixzz4CKjNDx8E Acesso 20/06/2016.