lista derivadas parciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: CÁLCULO III-F PROFESSOR: KENNEDY 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS PARCIAIS 
 
1) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de cada função: 
a) f(x,y) = 3x
4
 – 5x2y3 + 4y2 b) z = Ln(3x – y3) 
c) 
yx
yx
yxf


),(
 d)
22),( yxyxf 
 
e) 
 yxsenz .
 f)
)3( 2),( yxeyxf 
 
g) w = 3x
2
 + 4y
5
 – 3z3 + 3xyz2 h) z = Ln [cos(xy)] 
i) w = 3.e
(x.y+z)
 j) f(x,y) = 2
sen(3x-2y)
 
k) z = x
2y
 l) f(x,y) = Ln [cos(3x
2
-y
3
)] 
m) f(x,y,z) = tg (x.y
2
 - 
)z
 n) f(x,y) = e
cos(x/y)
 
0) z = sen
3
(2xy
2
) p) 
xyLnz 
 
q) f(x,y) = sen
3
x – cos2y r) f(x,y) = senx.cos(xy) 
 
2) Encontre o vetor gradiente f paras as funções a seguir, nos pontos indicados. 
a) 
yxyxyxf  32),( 22
 (1,-2) 
b) 
916
),(
22 yx
yxf 
 (4,3) 
c) 
)(.),,( yzsenxzyxf 
 (1,3,0) 
3) Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção e sentido definidos pelo vetor v. 
(3,4) 
3,4 v

 
(2,1) 
2,1v

 
(2,0) 
jiv 

 
 
3
,0 
 
jiv 23 

 
(1,2,-2) 
3,6,6 v

 
(4,1,1) 
3,2,1v

 
 
 (1,1,2) 
kjv  2

 
2
3
222
2
22
)32(),,()
,
2
),,()
,),,()
.),()
),()
),ln(),()
,21),()
zyxzyxfg
zy
x
zyxff
zyxzyxfe
senergd
estsgc
yxyxfb
yxyxfa
r
t









 
4) Sabendo que x = p.cosθ e y = p.senθ, determine 










y
p
y
x
p
x
. 
5) A produção mensal de determinado produto por uma indústria é dada pela regra P(q,r) = 2.340q + 
750r + q
2
(r – 3) – r3 unidades, onde q representa o número de operários e r o número de máquinas 
utilizados pela indústria. Atualmente, a indústria apresenta 52 operários e 10 máquinas em 
atividades. Encontre a variação da produção se mais 1(um) operário for contratado e o número de 
máquinas permanece constante. 
 
6) O volume de um cone é representado pela fórmula 
HRV 2.
3
1

. Sendo de 25 cm a sua altura e 
24 cm o diâmetro de sua base, como variará o volume deste cone se acontecer um aumento de 0,4 cm 
na altura e uma diminuição de 0,3 cm no raio? 
 
7) 
22
2
4
24
.
hd
h
V 
 representa o volume V de um cone circular, onde h é o comprimento da 
geratriz e d o diâmetro da base. 
a) Encontre a taxa de variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante 
com o valor de h = 16 cm, enquanto a geratriz d varia. Encontre essa taxa de variação no instante em 
que d = 10 cm. 
b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com valor de h = 10 cm. 
Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao 
diâmetro quando h = 16 cm. 
 
8) A distribuição de temperatura T , no estado estacionário, em sólidos é descrita pela equação de 
Laplace, ou seja, 
0
2
2
2
2
2
2









z
T
y
T
x
T
 (Equação de Laplace) 
Mostre que a função 
zezyxT yx 5cos),,( 43 
 é solução da equação de Laplace. 
 
9) Em praias, as ondas mostram um padrão regular de picos e depressões, de modo que se tirarmos 
uma foto, num instante fixo, veremos um movimento vertical periódico no espaço, em relação à 
distância. Por outro lado, se ficarmos num ponto fixo no mar, sentiremos a subida e a descida da 
água com o passar das ondas, ou seja, veremos um movimento vertical periódico no tempo. Em 
Física esta simetria é expressa em termos da equação da onda unidimensional, 
 
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u





 , onde 
),( txfu 
 é a altura da onda, x é a variável distância, t a variável 
tempo e c é a velocidade com a qual a ondas se propagam no meio. A equação da onda a cima 
também descreve os modos de vibração de uma corda (ondas possíveis). Mostre que as funções 
dadas são solução da equação da onda unidimensional. 
a) 
)22cos()sen(),( ctxctxyxf 
 
b) 
)22tan()22ln(),( ctxctxyxf 
 
 
 
10) Variações num circuito elétrico – A voltagem em um circuito elétrico é dada por 
RIV 
 e decai 
lentamente conforme a bateria descarrega. Ao mesmo tempo a resistência vai aumentando à medida 
que o resistor esquenta. Use a equação 
 
dt
dR
R
V
dt
dI
I
V
dt
dV






, para descobrir como a corrente está variando no instante em que R=600 
ohms, I=0,04 amp , 
5,0
dt
dR
 ohms/s e 
01,0
dt
dV
 volts/s. 
 
11) Temperatura em uma curva no espaço – Seja 
),( yxfT 
 a temperatura no ponto (x,y) na 
circunferência 
tx cos
 e 
ty sen
 para 
 2,0t
 . Suponha que 
yx
x
T
48 


 e 
xy
y
T
48 


 . 
a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando 
t
T


 e 
2
2
t
T


 . 
b) Supondo que 
22 444),( yxyxyxT 
 , sem utilizar a regra da cadeia, calcule os máximos e 
mínimos de T na circunferência. 
12) Utilize a Regra da Cadeia para encontrar 
dt
dz
 ou 
dt
dw
. 
 
 
 
 
,)
,.)
),2ln(.)
,cos.)
,)
,)
2
22
22
yzxywf
exwe
yxxzd
ysenxzc
yxzb
xyyxza
z
y






tezsenteyex
tztytx
tysentx
tytx
eyex
tytx
ttt
tt
cos.,.,
21,1,
cos,
,.
,
1,2
2
22
34







