ALGEPLAN certo SILVANE E EDUARDA (1)

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Algeplan
	O Algeplan é um material que pode ser utilizado como um recurso metodológico nas aulas de matemática mais precisamente com o conteúdo de expressões algébricas.
	Esse jogo é formado por quadrados e retângulos com unidades de medidas 1, x e y, todas diferentes entre si.
Algeplan
Calculando a área das figuras
A : área
h: altura
b: base
l: lado
Área do Quadrado
Área do Retângulo
Identificando as peças do Algeplan
Quadrado x²
	É um quadrado de base x e altura x.
	Sua área é x . x = x²
Base = x
Altura = x
Quadrado y²
	É um quadrado de base y e altura y.
	Sua área é y . y = y²
Altura = y
Base = y
Quadrado 1 
	É um quadrado de base 1 e altura 1.
	Sua área é 1 . 1 = 1
Altura = 1
Base = 1
Retângulo xy
	É um retângulo de base y e altura x.
	Sua área é x . y = xy
Altura = x
Base = y
Retângulo x
	É retângulo de base 1 e altura x.
Sua área é 1 . x = x 
Altura = x
Base = 1
Retângulo y 
	É um retângulo de base 1 e altura y.
Sua área é 1 . y = y
y
Altura = y
Base = 1
Agora chegou sua vez!
	Recorte as 40 peças para compor o seu algeplan: 4 quadrados de área x², 4 quadrados médios de área y², 12 quadrados pequenos de área 1, 4 retângulos de área xy, 8 retângulos de área x e 8 retângulos de área y.
	
PLANOS DE AULA
ALGEPLAN 
ACADÊMICOS: EDUARDA MAYER E SILVANE KUNZLER
PROFESSORA: ROSANGELA PRESTES
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA IV
SEMESTRE/ANO: 5º/2018
SANTO ÂNGELO, 11 DE ABRIL DE 2018
PLANOS DE AULA I
 
ESCOLA: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
 
ANO: XXXX		TURMA: XX
 
GRAU/NÍVEL: ENSINO FUNDAMENTAL ( SÉRIES FINAIS)
 
DATA: XX/XX/XX		HORAS/AULA:
 
CONTEÚDO : - Adição e subtração de polinômios; Expressões algébricas.
 
OBJETIVOS: 
- calcular a área das figuras que compõe o Algeplan;
- construir expressões algébricas através do uso do material manipulável;
- resolver expressões algébricas com as operações de adição e subtração por meio do material manipulável e do modo escrito;
- possibilitar a construção do conhecimento do conteúdo estudado.
 
RECURSOS DIDÁTICOS: utilização do Algeplan construído na aula anterior, lápis, borracha e caderno para registros das atividades.
 
AVALIAÇÃO: Observação da participação dos alunos durante a aula.
Estudo Teórico sobre Polinômios
Polinômio
	Chama-se de polinômio as expressões algébricas formadas por monômios e operadores aritméticos. 
	 Um monômio é um valor formado por um número, chamado de coeficiente, e uma variável, chamada de parte literal – geralmente compreendida por uma letra, como a letra x, por exemplo.
	 Os operadores aritméticos são os sinais de realização de alguma operação matemática, como soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação.
Classificação de Polinômios
	Quanto ao Tamanho:
Monômios - são aquelas expressões que possui um único produto com coeficiente numérico e parte literal. Exemplos: 2x, 5xy, y/4, 6, x2.
Binômios - são aqueles polinômios formados por dois monômios distintos, separados por um operador matemático. Exemplos: 2x +xy, 14z – z2, 2x + 3z.
Trinômios - consistem naquelas expressões algébricas com três monômios distintos, separados por operadores matemáticos. Exemplos: xz³ + 25 – zx, 2w + 12x – 5w2.
Polinômio - é uma expressão algébrica com qualquer quantidade de monômios, ou podemos dizer que é uma expressão algébrica com uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por:
an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a
Quanto ao Grau:
	(O grau de um polinômio é definido pelo grau de elevação da variável com maior valor de elevação daquela expressão):
1º grau - é aquele em que todas as variáveis são elevadas apenas ao seu primeiro grau. É o caso de uma expressão como: 2x + 4 – y.
2º grau - é aquele em que o monômio com maior grau de elevação é de segundo grau. É o caso do exemplo: 2x + x2 .
3º grau - em que o monômio a ser elevado pelo expoente mais alto possui mais de uma variável. Neste caso, soma-se os expoentes dos monômios, de forma que a expressão se torna de terceiro grau. 
	Exemplo: 3 + 12xy – 2xy2 
 			Grau do monômio: x1.y1 → 1 + 1 = 2 
			Grau do monômio: x.y2 → 1 + 2 = 3
Quanto ao Tipo:
Polinômios completos - são aqueles nos quais a ordem dos expoentes dos polinômios é completa, ou seja, há uma ordem decrescente (do maior para o menor número) dentro daquela expressão algébrica, sendo que não pode faltar nenhum expoente na sequência.
Exemplo: 3.x5 + 2.x4 – x3 + 12.x2 + 5.x1 – 2.x0
	(Os expoentes em relação à variável x seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 4, 3, 2, 1 e 0.)
Polinômios incompletos - O polinômio será incompleto quando não há uma ordem completa decrescente dos expoentes da expressão. Neste caso, seja apenas um expoente ou quase todos que estejam “faltando” na expressão, considera-se ele incompleto. 
Exemplo: 3.x5 + 5.x1 – 2
	(A forma completa desse polinômio seria: 3.x5 + 0.x4 – 0.x3 + 0.x2 + 5.x1 – 2.x0. Faltaram os expoentes em relação à variável x: x4, x3 e x2. Por esse motivo, o polinômio é incompleto.)
Valor Numérico de Um Polinômio
	Calculamos o valor numérico de um polinômio substituindo a variável por um número. 
	Exemplo: Considere o polinômio x³ + 2x² + x – 4, faça a substituição do valor de x por 2.
x³ + 2x² + x – 4 =
(2³) + 2. (2²) + 2 – 4 =
(2 . 2 . 2) + 2 . (2 . 2) + 2 – 4 =
	8 + 2. (4) + 2 – 4 =	
8 + 8 + 2 – 4 =
16 + 2 – 4 =
+ 18 – 4 =
14
	Se, ao calcularmos o valor numérico de um polinômio e encontrarmos como resultado zero (p(a) = 0), dizemos que o número trocado por x na expressão é a raiz do polinômio. Por exemplo, na expressão p(x) = x² – 6x + 8, temos que o número real 2 é considerado raiz do polinômio, pois:
p(x) = x² – 6x + 8
p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 0 
Operações com Polinômios
Adição e Subtração de Polinômios
	Quando temos somas ou subtrações basta reduzirmos termos semelhantes, ou seja, operar separadamente potências de mesmo grau. Reescreva os polinômios colocando termos semelhantes lado a lado. Some ou subtraia esses termos da mesma maneira que nos monômios.
	A subtração de polinômios envolve a propriedade distributiva da multiplicação e modifica todos os sinais do segundo polinômio. Somente depois de realizar esse jogo de sinais é que podemos continuar com a subtração.
Exemplo:
Multiplicação e Divisão de Polinômios
	Nas multiplicações, basta aplicarmos a propriedade distributiva e em seguida reduzirmos os termos semelhantes. Basta multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo, observando os sinais dos resultados.
Exemplo:
	 Para dividir dois polinômios, utilize o mesmo método que é usado para números inteiros. 
Exemplo: 
	Na divisão do polinômio P(x) = x3 + 7x2 + 15x + 9 pelo polinômio D(x) = x + 1, P(x) é o dividendo, D(x) é o divisor e o resultado Q(x) é quociente e é obtido da seguinte maneira:
	Do algoritmo da divisão, obtemos a relação:
Dividendo = Divisor. Quociente + Resto
P(x) = D(x). Q(x) + R(x)
	Quando R(x) = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Para compreender melhor a divisão de polinômios, observe o exemplo a seguir:
Exemplo: Efetue a divisão de P(x) = 4x2 – 2x + 3 por D(x) = 2x – 1
4x² – 2x |2x – 1
– 4x² + 2x    2x
0
Logo: P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
4x² – 2x = (2x – 1) . 2x + 0
ATIVIDADES:
Vamos fazer a modelagem das expressões algébricas com as diferentes peças.
Exemplo: A expressão x² + 2y² + xy + 2x + 4 é representada da seguinte maneira:
x² + 2y² + xy + 2x + 4 
2) 	Tome um quadrado de lado x², dois retângulos de lados x e três quadrados de lado 1.
	Efetue a soma das áreas das figuras, e expresse o resultado em forma de expressão algébrica, classificando-a em monômio, binômio, trinômio ou polinômio.
 
Classificação: Trinômio.
3) Com o auxílio do Algeplan, monte e resolva a seguintes expressão:
a) (x² + 2x - 4) + (-3x + 2)
A resolução através do Algeplan é dada por:* As Peças Pretas são os termos que estão negativos
4) Utilizando o Algeplan determine a forma reduzida da seguinte expressão:
O resultado é dado por:
5- Utilizando o Algeplan como auxiliador, escreva a expressão a seguir sob a forma reduzida.
Solução: 
(x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) 
+
=
-2x²+ 5x -7
PLANOS DE AULA II
 
ESCOLA: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
 
ANO: XXXX		TURMA: XX
 
GRAU/NÍVEL: ENSINO FUNDAMENTAL ( SÉRIES FINAIS)
 
DATA: XX/XX/XX		HORÁRIO: INÍCIO: 		 FIM:
 
CONTEÚDO : - adição e subtração de polinômios; expressões algébricas.
 
OBJETIVOS: 
- construir expressões algébricas através do uso do material manipulável;
- resolver expressões algébricas com as operações de adição e subtração por meio do material manipulável e do modo escrito.
 
RECURSOS DIDÁTICOS: utilização do Algeplan construído na aula anterior, lápis, borracha e caderno para registros das atividades.
 
AVALIAÇÃO: Observação da participação dos alunos durante a aula.
2- Utilizando o Algeplan, mostre que as igualdades abaixo são verdadeiras:
 
a)3xy – 2xy + xy = 2xy		
b)3x + 2x2 – x2 – 2x = x2 + x		
c)2y + 1 – 3y – x2 + 3x2 = 2x2 – y + 1
3- Tome um quadrado de lado x, dois retângulos de lados x e um, bem como três quadrados de valor menos um. Efetue a soma das áreas das figuras, e expresse o resultado em forma de expressão algébrica e geométrica, classificando-a em monômio, binômio, trinômio ou polinômio. 
4- Com o material, monte e resolva as seguintes expressões, apresente o resultado em forma algébrica e geométrica:
d) (y² + y + 1) – (2y² - xy +3)
e) (x² - 3x + 2xy) - (2x +2xy - 6)
a)
Solução 2a):
Solução 2b):
Solução 2c):
Solução 2d)
-
Algebricamente:
(y²+ y+ 1) - (2y² - xy+ 3) = y²+ y+ 1- 2y²+ xy – 3= -y² + y+ xy- 2 
=
Solução 2e)
-
=
Algebricamente:
(x² - 3x + 2xy) - (2x + 2xy - 6) = x²- 3x+ 2xy -2x -2xy+ 6= x²- 5x+6
PLANOS DE AULA III
 
ESCOLA: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
 
ANO: XXXX		TURMA: XX
 
GRAU/NÍVEL: ENSINO FUNDAMENTAL ( SÉRIES FINAIS)
 
DATA: XX/XX/XX		HORAS/AULA:
 
CONTEÚDO : multiplicação e divisão de polinômios
OBJETIVOS: 
- operar a multiplicação e a divisão com material manipulável e do modo escrito;
 
RECURSOS DIDÁTICOS: utilização do Algeplan construído na aula anterior, lápis, borracha e caderno para registros das atividades.
 
AVALIAÇÃO: a avaliação é um processo contínuo, e vai sendo observada em cada aula. Nesta aula será observado o raciocínio, a interpretação e a maneira que o aluno utilizou os conhecimentos matemáticos, bem como sua participação durante a aula.
MULTIPLICAÇÃO
 	Como já trabalhamos a adição e subtração de polinômios, agora vamos dar início ao estudo da multiplicação com o uso do Algeplan. Inicialmente devem-se modelar as representações para os produtos de acordo com as regras de sinais. Por exemplo:
Para entender melhor, vamos analisar os exemplos a seguir:
x(2x- 4y)
b)
x(2x- 4y) = 2x²- 4xy
Divisão Exata
 
	Se a divisão for exata, o produto do quociente pelo divisor deverá ser igual ao dividendo. Assim, com o material basta construir um retângulo onde um dos lados é igual ao divisor, consequentemente, o outro será o quociente.
Solução da Divisão 
EXERCÍCIO:
 
 AGORA É SUA VEZ!!
 
 Calcule a divisão (x² +6x + 9) ÷ (x+3), por meio do algeplan e dê sua resposta algebricamente.
PLANOS DE AULA IV
 
ESCOLA: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
 
ANO: XXXX		TURMA: XX
 
GRAU/NÍVEL: ENSINO FUNDAMENTAL ( SÉRIES FINAIS)
 
DATA: XX/XX/XX		HORAS/AULA:
 
CONTEÚDO : PRODUTOS NOTÁVEIS 
OBJETIVOS: 
- Aprender Produto Notável de modo teórico e com o auxílio do Algeplan.
 
RECURSOS DIDÁTICOS: utilização do Algeplan construído em aula e lápis, borracha e caderno para registros das atividades.
 
AVALIAÇÃO: a avaliação é feita de acordo com a participação em aula de cada aluno.
Produto Notável 
	Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Os produtos notáveis aparecem no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. O termo “Produto” pode ser o resultado de uma função de multiplicação e o termo “notável” poder definido como “importante”, ou aquilo que se destaca.
Quadrado da Soma de Dois Termos
		É igual ao quadrado do primeiro termo mais o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do segundo.
Quadrado da Diferença de Dois Termos
	É igual ao quadrado do primeiro termo menos o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
Exercício
Resolva os produtos notáveis com o auxílio do material manipulável e descreva algebricamente seus resultados:
(x + 2)²
(y – 1)²
- (2x+y)²
(x – 2y)²
Solução do Exercício Proposto
a) x² + 4x + 4
Solução do Exercício Proposto
b) y² - 2y + 1 
Solução do Exercício Proposto
c) -4x² -4xy – y²
Solução do Exercício Proposto
d) x² – 4x + 4