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Vibrações livres amortecidas com subamortecimento - Apostila

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Vibrações Mecânicas – Resumo
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA – SUB
AMORTECIMENTO
Introdução:
Vimos em aulas anteriores que a vibração livre é aquela que acontece sem a atuação
de forças externas ao sistema. Ela início após uma perturbação inicial que
desaparece posteriormente.
Também vimos que o amortecimento é o elemento do sistema responsável pela
dissipação de energia do sistema, de tal sorte que a energia pode ser totalmente
perdida e o sistema para de vibrar, temos nesse caso a vibração amortecida.
Também foi mostrado que sistemas reais podem ser modelados como um modelo
mais simples com 1 GDL (grau de liberdade), como mostrado na figura abaixo:
Sistema real Modo de Vibrar Modelo simples 1 GDL
Obtenção da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
Um dos métodos mais comuns para a obtenção da EDO (Equação Diferencial
Ordinária) é por meio da elaboração do DCL (Diagrama de Corpo Rígido) e aplicar as
equações de Newton-Euler, que são:
= . ̈ Relativo as forças externas
Onde:
F somatório das forças externas, no SI dado em N (Newton)
m massa do sistema, no SI dado em kg (quilograma)
̈ aceleração, no SI dado em m/s2 (metro por segundo ao quadrado)

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= . 
̈ Relativo ao Momento de Inércia de massa
Onde:
MG somatório de momentos no centro de gravidade G
I momento de inércia de massa com relação ao eixo que passa no centro de
gravidade
̈ aceleração angular
No sistema da figura ao lado, temos um amortecedor. Existem
vários tipos, mas iremos abordar, para efeito de
desenvolvimento, o amortecimento viscoso, por ser o mais
comum.
A força viscosa pode ser definida como:
 = −. 
̇, onde:
Fviscoso força de amortecimento viscoso, no SI é dado por N (Newton)
C coeficiente de amortecimento viscoso, no SI é dado por N.s/m (Newton
vezes segundo por metro)
̇ velocidade do sistema, no SI é dado por m/s (metro por segundo)
O sinal de negativo indica que a força é sempre contrária ao movimento da massa.
Suponhamos q ue a massa m foi colocada na posição onde a figura está tracejada,
fazendo o DCL, teremos uma força de mola e também a força de amortecimento
oposta ao movimento, ou seja, na direção oposta a direção positiva de x.
Aplicando a equação da lei de Newton no DCL, vem: − − ̇ = ̈
Colocando todos os mesmos do mesmo lado da equação, fica:
̈+ 
̇+  =  .
Essa é a EDO (Equação Diferencial Ordinária) do sistema.
Solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
̈+ 
̇+  =
 ()
Admitindo que a resposta da EDO é do tipo: ()= . 
onde D e são constantes a
serem determinadas.
Derivando até 2ª ordem, vem: ̇ ()= .
. 
e ̈ ()= .
Substituindo na equação (a), fica: .  .
+ .  .  . 
+ .  .
= 0
Simplificando, vem: D. 
(.
+ .
+ ) = 0
Se a constante D for zero teríamos uma solução trivial da equação anterior, então não
vamos considerá-la. Sabendo também que
nunca é zero, então, para q ue a
expressão acima seja verdadeira, temos .
+ .
+  = 0. Dividindo todos os

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membros pela massa m, fica
+
.
+
= 0 , que é a c hamada equação
característica.
Aplicando a fórmulas de Bhaskara, temos:
, = −

±

, Substituindo
na equação a, vem: ()= 
. 
.

 + 
. 

 (b)
Podemos fazer algumas observações sobre a equação anterior, a saber:
1. O 
 é uma função exponencialmente descrecente.
2. Quando
>
os expoentes serão números reais e não ocorrerá
oscilações, neste caso temos o chamado superamortecimento.
3. Quando
<
os expoentes serão números imaginários e ocorrerá
oscilações, neste caso temos o chamado subamortecimento.
4. Quando
=
os expoentes serão zero e teremos característica de
amortecimento crítico, quando perturbado o sistema não oscila e volta
rapidamente para a posição de equilíbrio.
Definindo o Coeficiente de Amortecimento Crítico (cc):

= 0 = . . 
Definindo Fator de Amortecimento ( ):  =
=
 =
.
Reescrevendo os polos da equação característica:
, = −
2
±
2
=
±
− 
= −
± 
− 1
Em função do fator de amortecimento teremos um sistema subamortecido,
superamortecido ou com amortecimento crítico.
Movimento Oscilatório Subamortecido ou Subcrítico ( 0 < < 1)
Podemos rescrever a equação de solução da EDO como: ()=
 . 1  .+ 2  .
Lembrando a relação de Euler ± = cos()± .  ( ) e definindo frequência
angular natural amortecida como = 
1 , temos:
()=  .[. ()+ . ()] onde A e B são constantes obtidas das
condições iniciais de deslocamento x(0) = e velocidade ̇ (0)= ̇