Como realizar uma convolução em tempo contínuo

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tt
B
A
0 0−
𝑎
2
 
𝑎
2
 
𝑏
2
 −
𝑏
2 
ττ
B
A
t 0−
𝑎
2
 
𝑎
2
 𝑡 +
𝑏
2 𝑡 −
𝑏
2 
𝑣(𝑡) = ൝ 𝐵 , 
−𝑏
2
≤ 𝑡 ≤ 
𝑏
2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 𝑤(𝑡) = ൝
𝐴 , 
−𝑎
2
≤ 𝑡 ≤ 
𝑎
2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Temos as duas funções no domínio do tempo:
E devemos realizar a convolução entre as duas funções: 𝑔(𝑡) = 𝑣(𝑡) ∗ 𝑤(𝑡) 
Para isso devemos reescrever as duas funções no eixo τ (tau) e deslocar t unidades de 
v(τ). Observe que no eixo τ (tau) o t passa a ser uma constante arbitrária.
Como deslocamos v(τ) em t 
unidades, o seu centro que era 
zero passa a ser posicionado em t.
w(τ) permanecerá fixa no eixo τ 
(tau)
Sabemos que a convolução representa a área do produto das duas funções para um certo valor de t:
Como realizar uma convolução em tempo contínuo
Por Mateus Heinen Feltrin
𝑔(𝑡) = න 𝑤(𝜏) ∙ 𝑣(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
−∞
 
Neste documento vamos optar por deslocar v(t), aproveitando-se da propriedade comutativa da 
convolução.
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B
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
Aumento de t 
desloca v(t - τ) 
para a direita
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
convolução.
Podemos notar que valores muito negativos para t faz a função v(t-τ) ficar muito a esquerda de 
w(τ), não existindo produto entre elas e resultando em uma convolução igual a 0.
1º Caso
Isso ocorre enquanto 𝑡 + 𝑏
2
 < − 𝑎
2
 ou 𝑡 < −𝑎−𝑏
2
 
2º Caso
Começamos a ter resultado no produto da convolução quando a lateral direita de v(t-τ) alcança a 
lateral esquerda de w(τ). Mas para qual valor de t a função v(t-τ) alcança w(τ)?
v(t-τ) alcança w(τ) quando 𝑡 + 𝑏
2
 = − 𝑎
2
 
Resolvendo essa equação obtemos 𝑡 = −𝑎−𝑏
2
 
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em −𝑎−𝑏
2
 
Conforme vamos atribuindo valores maiores para t, v(t-τ) vai deslocando-se para a direita e 
A
t 𝑡 +
𝑏
2 𝑡 −
𝑏
2 
τ
0−
𝑎
2
 
𝑎
2
 
Conforme vamos atribuindo valores maiores para t, v(t-τ) vai deslocando-se para a direita e 
“entrando” em w(τ). Agora podemos observar que existe produto entre v(t-τ) e w(τ) na 
integral de convolução para: 
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2
 
𝑎
2
 
t 𝑡 +
𝑏
2 𝑡 −
𝑏
2 
τ
0−
𝑎
2
 
𝑎
2
 
𝑡 > 
−𝑎 − 𝑏
2
 
B
B
B
A
A
A
Intersecção entre as duas 
funções. Onde há produto.
Esse intervalo de deslocamento de v(t-τ) termina quando a lateral esquerda de v(t-τ) atinge a lateral 
esquerda de w(t). Pois, a partir daí, a integral de convolução passa a gerar uma nova função.
Mas quando a lateral esquerda de v(t-τ) atinge a lateral esquerda de w(τ)?
t 𝑡 +
𝑏
2 
𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
Atinge quando 𝑡 − 𝑏
2
 = − 𝑎
2
 
Resolvendo essa equação obtemos 𝑡 = −𝑎+𝑏
2
 
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em −𝑎+𝑏
2
 
O intervalo resultante para esse caso, em que v(t-τ) está “entrando” em w(τ) é:
−𝑎 − 𝑏
2
≤ 𝑡 <
−𝑎 + 𝑏
2
 
Mas qual é o intervalo de integração em τ para os casos em que t está entre o intervalo apresentado acima?
Repare abaixo que para qualquer valor de τ dentro desse intervalo, somente existirá produto entre:
t
𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
t
𝑡 +
𝑏
2
 
𝑡 −
𝑏
2
 
τ0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
 𝜏 = −𝑎
2
 e 𝑡 + 𝑏
2
 
Então esses serão os limites de integração, pois qualquer outro limite maior seria insignificante. A integral de 
convolução fica:
𝑔(𝑡) = ∫ 𝐴 ∙ 𝐵 𝑑𝜏
 𝑡+𝑏2
−𝑎
2
 para −𝑎−𝑏
2
≤ 𝑡 < −𝑎+𝑏
2
 
Nesse intervalo v(t-τ) = B e w(τ) = A
Resolvendo a integral obtemos:
𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ቂ𝑡 + 𝑏+𝑎
2
ቃ para −𝑎−𝑏
2
≤ 𝑡 < −𝑎+𝑏
2
 
3º Caso
t 𝑡 +
𝑏
2 
𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
Esse caso começa quando v(t-τ) já está totalmente dentro de w(τ). Veremos que esse caso gera 
uma área de integração sempre constante. Mas quando v(t-τ) está totalmente dentro de w(τ)?
Ora, quando 𝑡 − 𝑏
2
= − 𝑎
2
 
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 = −𝑎+𝑏
2
 
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em: −𝑎+𝑏
2
 
Agora, repare que, enquanto deslocamos v(t-τ) dentro de w(τ) o produto é sempre o mesmo e a 
área de integração não se altera:
t 𝑡 +
𝑏
2 
𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
t 𝑡 +
𝑏
2 
𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2
 
𝑎
2
 
B
A
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
Repare que a amplitude é 
sempre o produto B.A
Mas quando esse intervalo que gera um produto constante acaba?
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2 
A
Acaba quando 𝑡 + 𝑏
2
= 𝑎
2
 
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 = 𝑎−𝑏
2
 
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em: 
𝑎−𝑏
2
 
B
Então para esse caso o intervalo de integração da convolução (que será determinado) vale para 
qualquer valor de t que esteja entre:
−𝑎 + 𝑏
2
≤ 𝑡 <
𝑎 − 𝑏
2
 
Mas quais são os limites da integral de convolução para esses valores de t?
t
𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
t
𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
Observe acima que só existe produto, portanto área para ser calculada, entre:
𝑡 − 𝑏
2
 e 𝑡 + 𝑏
2
 
Então a integral de convolução fica:
𝑔(𝑡) = ∫ 𝐴 ∙ 𝐵 𝑑𝜏
 𝑡+𝑏2
𝑡−𝑏2
 para −𝑎+𝑏
2
≤ 𝑡 < 𝑎−𝑏
2
 
Nesse intervalo v(t-τ) = B e w(τ) = A
Resolvendo a integral obtemos:
𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑏 para −𝑎−𝑏
2
≤ 𝑡 < −𝑎+𝑏
2
 
Que é exatamente a área do retângulo formado pelo produto de v(t-τ) e w(τ). A altura A.B 
multiplicando a base de largura b.
4º Caso
Esse caso começa quando v(t-τ) está saindo de w(τ). Veremos que nesse caso a área de 
integração vai diminuindo conforme aumentamos t.
Mas quando v(t-τ) está saindo dentro de w(τ)?
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2 
B
A
v(t-τ) está saindo de w(τ) quando sua lateral direita alcança a lateral direita de w(τ).
E quando isso ocorre?
Quando 𝑡 + 𝑏
2
= 𝑎
2
 
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 = 𝑎−𝑏
2
 
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em: 
𝑎−𝑏
2
 
E quando v(t-τ) sai totalmente de w(τ)?
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2 
B
A
Vamos aumentando o valor de t e deslocando v(t-τ) para a direita:
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2
 
B
A
Repare a intersecção 
diminuindo
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2 
B
A
Repare que v(t-τ) saiu totalmente de w(τ) quando 𝑡 − 𝑏
2
= 𝑎
2
 
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 = 𝑎+𝑏
2
 
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em: 
𝑎+𝑏
2
 
Então para esse caso o intervalo de integração da convolução (que ainda será determinado) vale 
para qualquer valor de t que esteja entre:
−𝑎 + 𝑏
2 ≤ 𝑡 <
𝑎 + 𝑏
2 
Mas quais são os limites da integral de convolução para esses valores de t?
Observe acima que só existe produto, portanto área para ser calculada, entre:
𝑡 − 𝑏
2
 e 𝑎
2
 
Então a integral de convolução fica:
𝑔(𝑡) = ∫ 𝐴 ∙ 𝐵 𝑑𝜏
 𝑎2
𝑡−𝑏2
 para −𝑎+𝑏
2
≤ 𝑡 < 𝑎+𝑏
2
 
Nesse intervalo v(t-τ) = B e w(τ) = A
Resolvendo a integral obtemos:
𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ቂ−𝑡 + 𝑎+𝑏
2
ቃ para 𝑎−𝑏
2
≤ 𝑡 < 𝑎+𝑏
2
 
t
τ0−
𝑎
2
 
𝑎
2 
B
A𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
t
𝑡 +
𝑏
2
 
𝑡 −
𝑏
2
 
τ0
−
𝑎
2
 
𝑎
2 
B
A
5º Caso
Esse caso ocorre quando t desloca v(t-τ) para a direita o suficiente para que v(t-τ) não fique mais 
em cima de w(τ). Nesse caso a convolução é igual a zero. Veja abaixo:
B
t 𝑡 +
𝑏
2
 𝑡 −
𝑏
2
 
τ
0−
𝑎
2 
𝑎
2 
Isso ocorre enquanto 𝑡 − 𝑏
2
 > 𝑎
2
 ou 𝑡 > 𝑎+𝑏
2
 
Repare que não há intersecção nesse caso e por isso a integral de convolução é zero.
Escrevendo g(t), o resultado da convolução
Dividimos a convolução em 5 casos, mas apenas 3 deles gerou uma função, outros casos foram 
igual a zero. Ou seja, essas função geradas são as partes que compõe a g(t) de acordo com os 
intervalos de t. Veja abaixo como ela ficou:
𝑔(𝑡) = 
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ൤𝑡 +
𝑏 + 𝑎
2
൨ , para 
−𝑎 − 𝑏
2
≤ 𝑡 <
−𝑎 + 𝑏
2
 
𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑏, 𝑝𝑎𝑟𝑎 
−𝑎 − 𝑏
2
≤ 𝑡 <
𝑎 − 𝑏
2
𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ൤−𝑡 +
𝑎 + 𝑏
2
൨ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑎 − 𝑏
2
≤ 𝑡 <
𝑎 + 𝑏
2
 
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Plotando g(t)
t
A.B.b
−𝑎 − 𝑏
2
−𝑎 + 𝑏
2
𝑎 − 𝑏
2
 
𝑎 + 𝑏
2
 
Nesse intervalo, 
conforme t aumenta, a 
intersecção entre as 
duas funções 
aumenta. 
Consequentemente, a 
área da integral 
aumenta.
Vemos aqui a reta 
representando o 
aumento
Nesse intervalo, 
conforme t aumenta, a 
intersecção entre as 
funções permanece o 
mesmo tamanho. 
Portanto, a área da 
integral de convolução é 
sempre constante
Nesse intervalo, 
conforme t aumenta, 
a intersecção entre as 
duas funções diminui. 
Consequentemente, a 
área da integral 
diminui.
Vemos aqui a reta 
representando essa 
diminuição
𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ൤−𝑡 +
𝑎 + 𝑏
2 ൨ 
𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ൤𝑡 +
𝑏 + 𝑎
2
൨ 
0
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