Cálculo I - Derivadas e Movimento de Partículas

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Universidade de Bras´ılia - UnB - Campus Gama
Ca´lculo I - 01/2010
Lista 02 - Derivadas
Questa˜o 01:
A posi¸ca˜o de uma part´ıcula num instante t e´ descrita a partir do par de
equa¸co˜es
x(t) = Asen(ωt+ ϕ0)
y(t) = Acos(ωt+ ϕ0)
em que A, ω e ϕ0 sa˜o constantes conhecidas.
Cada uma das equa¸co˜es acima descreve a posi¸ca˜o do corpo em rela¸ca˜o ao
par de eixos cartesianos. Ao determinar a velocidade do corpo a partir do
estudo de derivadas como taxa de varia¸ca˜o, sera˜o encontradas as componentes
horizontal e vertical do vetor velocidade. Ou seja:
d
dt
x(t) = vx(t)
d
dt
y(t) = vy(t)
Para determinar o mo´dulo do vetor velocidade e´ necessa´rio lan¸car ma˜o
do Teorema de Pita´goras para as componentes de um vetor. Se denotarmos
por |v(t)| o mo´dulo da velocidade do corpo num instante t teremos:
|v(t)| =
√
v2x(t) + v
2
y(t)
O mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para determinar as componentes
horizontal e vertical e o mo´dulo do vetor acelera¸ca˜o.
A partir das informa¸co˜es apresentadas, responda os itens a seguir:
1
a) Determine as componentes horizontal e vertical da velocidade do corpo
num instante qualquer.
b) Determine o mo´dulo do vetor velocidade num instante qualquer.
c) Determine as componentes horizontal e vertical da acelera¸ca˜o do corpo
num instante qualquer.
d) Determine o mo´dulo do vetor acelera¸ca˜o num instante qualquer.
e) Isole os fatores trigonome´tricos nas equa¸co˜es que descrevem a posi¸ca˜o
do corpo e determine qual figura geome´trica representa o movimento da
part´ıcula.
Questa˜o 02:
Um recipiente com a forma de um cone invertido tem 12 cm de altura e
5 cm de raio da base. Ele esta´ parcialmente cheio com um l´ıquido que vaza
pelos lados a uma taxa proporcional a` area do recipiente em contato com o
l´ıquido. Se estivermos derramando o l´ıquido para dentro do recipiente a uma
taxa de 2 cm3/min, enta˜o a altura do l´ıquido decrescera´ a uma taxa de 0,3
cm/min quando esta medir 10 cm. Se nossa finalidade for manter constante
a altura do l´ıquido em 10 cm, a que taxa deveremos derramar o l´ıquido para
dentro do recipiente?
Questa˜o 03:
Um canha˜o de artilharia possui seu cano de disparo alinhado com um eixo
que forma um aˆngulo θ com a horizontal. Em determinado instante, o canha˜o
atira um proje´til com velocidade inicial v0. Desprezando-se a resisteˆncia do ar
e utilizando o Princ´ıpio de Galileu e´ poss´ıvel descrever sem muita dificuldade
a trajeto´ria descrita pelo proje´til. Para tal, e´ necessa´rio dividir o movimento
do proje´til em dois movimento mais simples: um movimento uniforme na
dire¸ca˜o horizontal e um movimento uniformemente variado na dire¸a˜o vertical.
Os movimentos, ja´ separados, sa˜o descritos pelas equa¸co˜es
x(t) = v0cos(θ)t
y(t) = y0 + v0sen(θ)t− g
2
t2
em que g representa a acelera¸ca˜o da gravidade local e y0 representa a posi¸ca˜o
inicial medida no eixo vertical.
Ale´m disso, e´ poss´ıvel demonstrar que, fixado o valor da velocidade inicial
v0, o alcance e a altura atingida pelo proje´til sa˜o fun¸co˜es exclusivas do aˆngulo
2
de inclina¸ca˜o θ. Estas expresso˜es, restritas para 0 ≤ θ ≤ pi
2
, sa˜o:
A(θ) =
v20sen(2θ)
g
H(θ) =
v20sen
2(θ)
2g
A partir das informa¸co˜es apresentadas, fa¸ca o que se pede:
a) Encontre uma expressa˜o do tipo y = f(x) que descreva a posi¸ca˜o
vertical como fun¸ca˜o da posi¸ca˜o horizontal. Depois, conclua que a trajeto´ria
descrita pelo proje´til e´ uma para´bola com concavidade voltada para baixo.
b) Determine o valor de θ para que o alcance atingido pelo proje´til seja
ma´ximo.
c) Determine o valor de θ para que a altura atingida pela proje´til seja
ma´xima.
d) Demonstre que para qualquer valor de θ e´ verdade que tg(θ) =
4H
A
.
e) A partir do item anterior determine o valor nume´rico de
A
H
para o
valor de θ que maximiza o alcance do proje´til.
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