01. Sinais Contínuos no Tempo - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Prévia do material em texto

EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 1/20 
1. Usando o MATLAB, elabore o gráfico da função definida por 
𝑔(𝑡) =
{
 
 
 
 
0,
−4 − 2𝑡,
−4 − 3𝑡,
16 − 2𝑡,
0,
 
𝑡 < −2
−2 < 𝑡 < 0
0 < 𝑡 < 4
4 < 𝑡 < 8
𝑡 > 8
 
Então trace as funções 3𝑔(𝑡 + 1), 
1
2
𝑔(3𝑡), −2𝑔 (
𝑡−1
2
).
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 2/20 
2. Para o sinal 𝑥(𝑡) mostrado na figura abaixo, trace os seguintes sinais: 
(a) 𝑥(−𝑡) 
(b) 𝑥(𝑡 + 6) 
(c) 𝑥(3𝑡) 
(d) 𝑥(𝑡/2) 
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 3/20 
3. Para cada par de funções das figuras abaixo, calcule os valores das constantes 𝐴, 𝑡0 e 𝜔 no deslocamento e/ou 
redimensionamento de escala para 𝑔2(𝑡) = 𝐴𝑔1((𝑡 − 𝑡0)/𝜔). 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
(R.: 𝐴 = 2, 𝑡0 = 1, 𝜔 = 1; 𝐴 = −2, 𝑡0 = 0, 𝜔 = 1/2; 𝐴 = −1/2, 𝑡0 = −1, 𝜔 = 2) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 𝐴 = 2 
𝑡0 = 1 
𝜔 = 1 
 
(b) 𝐴 = −2 
𝑡0 = 0 
𝜔 = 1/2 
 
(c) 𝐴 = −1/2 
𝑡0 = −1 
𝜔 = 2 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 4/20 
4. Simplifique as seguintes expressões 
(a) (
sen 𝑡
𝑡2 + 2
) 𝛿(𝑡) (d) (
sen [
𝜋
2
(𝑡 − 2)]
𝑡2 + 4
)𝛿(1 − 𝑡) 
(b) (
𝑗𝜔 + 2
𝜔2 + 9
) 𝛿(𝜔) (e) (
1
𝑗𝜔 + 2
)𝛿(𝜔 + 3) 
(c) [𝑒
−𝑡 cos(3𝑡 − 60°)]𝛿(𝑡) (f) (
sen 𝑘𝜔
𝜔
)𝛿(𝜔) 
(R.: 0; 2/9 𝛿(𝜔); 0,5 𝛿(𝑡); −(1/5) 𝛿(𝑡 − 1); 𝑘 𝛿(𝜔)) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 
(
sen 𝑡
𝑡2 + 2
)𝛿(𝑡) = (
sen0
02 + 2
) 𝛿(𝑡) = 0 
 
(b) 
(
𝑗𝜔 + 2
𝜔2 + 9
)𝛿(𝜔) = (
0 + 2
02 + 9
)𝛿(𝜔) =
2
9
𝛿(𝜔) 
 
(c) 
[𝑒−𝑡 cos(3𝑡 − 60°)]𝛿(𝑡) = [𝑒0 cos(0 − 60°)]𝛿(𝑡) = 0,5 𝛿(𝑡) 
 
(d) 
(
sen [
𝜋
2
(𝑡 − 2)]
𝑡2 + 4
)𝛿(1 − 𝑡) = (
sen [
𝜋
2
(1 − 2)]
12 + 4
)𝛿(1 − 𝑡) = −
1
5
𝛿(𝑡 − 1) 
 
(e) 
(
1
𝑗𝜔 + 2
) 𝛿(𝜔 + 3) = (
1
−𝑗3 + 2
) 𝛿(𝜔 + 3) = (
1∠0
√22 + 32∠tan−1(3/2)
)𝛿(𝜔 + 3)
= √13/13∠ tan−1(3/2) 𝛿(𝜔 + 3) 
 
(f) 
(
sen𝑘𝜔
𝜔
)𝛿(𝜔) = lim
𝜔→0
sen 𝑘𝜔
𝜔
𝛿(𝜔) = 𝑘 lim
𝜔→0
sen𝑘𝜔
𝑘𝜔
𝛿(𝜔) = 𝑘𝛿(𝜔) 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 5/20 
5. Calcule as seguintes integrais 
 (a) ∫ 𝛿(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
 (e) ∫ 𝛿(𝑡 + 3)𝑒−𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 
(b) ∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
 (f) ∫(𝑡3 + 4)𝛿(1 − 𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
 
(c) ∫ 𝛿(𝑡)𝑒
−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 (g) ∫ 𝑥(2 − 𝑡)𝛿(3 − 𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
 
(d) ∫ 𝛿(2𝑡 − 3) sen𝜋𝑡 𝑑𝑡
∞
−∞
 (h) ∫ 𝑒(𝑥−1) cos [
𝜋
2
(𝑥 − 5)] 𝛿(𝑥 − 3)𝑑𝑥
∞
−∞
 
(R.: 𝑥(𝑡); 1; −1; 𝑥(𝑡); 𝑥(−1); 𝑒3; −𝑒2; 5) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 
∫ 𝛿(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= ∫ 𝛿(𝜏)𝑥(𝑡 − 0)𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝑥(𝑡 − 0) ∫ 𝛿(𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝑥(𝑡) · 1 = 𝑥(𝑡) 
 
(b) 
∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= ∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝜏 − 𝑡)𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝑥(𝑡) ∫ 𝛿(𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝑥(𝑡) 
 
(c) 
∫ 𝛿(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑒0 ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= 1 
 
(d) 
∫ 𝛿(2𝑡 − 3) sen𝜋𝑡 𝑑𝑡
∞
−∞
= sen (
3𝜋
2
) ∫ 𝛿(𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= −1 
 
(e) 
∫ 𝛿(𝑡 + 3)𝑒−𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑒−(−3) ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑒3 
 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 6/20 
(f) 
∫(𝑡3 + 4)𝛿(1 − 𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫(𝑡3 + 4)𝛿(𝑡 − 1)𝑑𝑡
∞
−∞
= (13 + 4) ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= 5 
 
(g) 
∫ 𝑥(2 − 𝑡)𝛿(3 − 𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑥(2 − 𝑡)𝛿(𝑡 − 3)𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑥(2 − 3) ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑥(−1) 
 
(h) 
∫ 𝑒(𝑥−1) cos [
𝜋
2
(𝑥 − 5)] 𝛿(𝑥 − 3)𝑑𝑥
∞
−∞
= 𝑒(3−1) cos [
𝜋
2
(3 − 5)] ∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= −𝑒2 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 7/20 
6. Existem diversas propriedades úteis relacionadas a sinais de energia. Prove cada uma das seguintes afirmativas. 
Em cada caso, considere um sinal de energia 𝑥1(𝑡) com energia 𝐸[𝑥1(𝑡)] e um sinal de energia 𝑥2(𝑡) com energia 
𝐸[𝑥2(𝑡)], e considere 𝑇 uma constante real, não nula, finita. 
(i) Prove que 𝐸[𝑇𝑥1(𝑡)] = 𝑇
2𝐸[𝑥1(𝑡)]. Ou seja, o escalamento da amplitude de um sinal por uma constante 𝑇 
escalona a energia do sinal por 𝑇2. 
(ii) Prove que 𝐸[𝑥1(𝑡)] = 𝐸[𝑥1(𝑡 − 𝑇)]. Ou seja, o deslocamento de um sinal não afeta sua energia. 
(iii) Se (𝑥1(𝑡) ≠ 0) ⇒ (𝑥2(𝑡) = 0) e (𝑥2(𝑡) ≠ 0) ⇒ (𝑥1(𝑡) = 0), então prove que 𝐸[𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)] =
𝐸[𝑥1(𝑡)] + 𝐸[𝑥2(𝑡)]. Ou seja, a energia da soma de dois sinais que não se sobrepõem é a soma das duas 
energia individuais. 
(iv) Prove que 𝐸[𝑥1(𝑇𝑡)] = (1/|𝑇|)𝐸[𝑥1(𝑡)]. Ou seja, o escalamento temporal de um sinal por 𝑇 escalona, 
reciprocamente, a enegia do sinal por 1/|𝑇|. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(i) Por definição, temos que: 
𝐸[𝑇𝑥1(𝑡)] = ∫|𝑇𝑥1(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑇2 ∫|𝑥1(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑇2𝐸[𝑥1(𝑡)] 
(ii) Seguindo a mesma analogia, temos que: 
𝐸[𝑥1(𝑡 − 𝑇)] = ∫|𝑥1(𝑡 − 𝑇)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
 
𝜏 = 𝑡 − 𝑇 ⇒ 𝑑𝜏 = 𝑑𝑡 
𝑡 → ±∞ ⇒ 𝜏 → ±∞− 𝑇 = ±∞ 
𝐸[𝑥1(𝑡 − 𝑇)] = ∫|𝑥1(𝜏)|
2𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝐸[𝑥1(𝜏)] , 
onde 𝜏 é uma variável de tempo qualquer, assim como 𝑡. 
(iii) Da definição: 
𝐸[𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)] = ∫|𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫|𝑥1(𝑡)|
2 + 2|𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)| + |𝑥2(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
 , 
como (𝑥1(𝑡) ≠ 0) ⇒ (𝑥2(𝑡) = 0) e (𝑥2(𝑡) ≠ 0) ⇒ (𝑥1(𝑡) = 0), temos que |𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)| = 0, logo: 
𝐸[𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)] = ∫|𝑥1(𝑡)|
2 + |𝑥2(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫|𝑥1(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
+ ∫|𝑥2(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝐸[𝑥1(𝑡)] + 𝐸[𝑥2(𝑡)] 
(iv) Seguindo a mesma analogia de (ii): 
𝐸[𝑥1(𝑇𝑡)] = ∫|𝑥1(𝑇𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ |𝑥1(𝜏)|
2
𝑑𝜏
𝑇
±∞
∓∞
= ∫|𝑥1(𝜏)|
2
𝑑𝜏
|𝑇|
∞
−∞
=
1
|𝑇|
𝐸[𝑥1(𝜏)] 
onde 𝜏 é uma variável de tempo qualquer, assim como 𝑡. 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 8/20 
7. Dado 𝑥1(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑥2(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡) e 𝑥3(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡): 
(a) Determine os períodos fundamentais 𝑇1 e 𝑇2 dos sinais 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡). 
(b) Mostre que 𝑥3(𝑡) não é periódico, o que requer 𝑇3 = 𝑘1𝑇1 = 𝑘2𝑇2 para algum inteiro 𝑘1 e 𝑘2. 
(c) Determine as potências 𝑃𝑥1, 𝑃𝑥2 e 𝑃𝑥3 dos sinais 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡) e 𝑥3(𝑡). 
(R.: 2𝜋, 2; ½, ½, 1) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) O período fundamental 𝑇0 de uma função é definido como o menor período que possui a informação de 
repetição da função, ou seja, onde a função se repete paramúltiplos desse período. Matematicamente: 
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇0) , ∀ 𝑡 
Assim, por definição: 
𝑥1(𝑡) = cos(𝑡) = cos(𝑡 + 2𝜋) ⇒ 𝑇1 = 2𝜋 
e: 
𝑥2(𝑡) = sen(𝜋𝑡) = sen(𝜋𝑡 + 2𝜋) = sen(𝜋(𝑡 + 2)) ⇒ 𝑇2 = 2 
 
(b) Supondo que 𝑥3(𝑡) seja periódica, teríamos: 
𝑥3(𝑡) = 𝑥3(𝑡 + 𝑇3) 
⇒ 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡) = 𝑥1(𝑡 + 𝑇3) + 𝑥2(𝑡 + 𝑇3) 
Logo, o período fundamental 𝑇3 deve se relacionar com 𝑇1 e 𝑇2 obedecendo a seguinte equação: 
𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡) = 𝑥1(𝑡 + 𝑘1𝑇1) + 𝑥2(𝑡 + 𝑘2𝑇2) 
⇒ 𝑇3 = 𝑘1𝑇1 = 𝑘2𝑇2 
para algum 𝑘1 e 𝑘2 inteiros, pois, da definição, o período fundamental deve ser um valor mínimo, neste 
caso, que seja o menor múltiplo entre os dois. Ou seja, 𝑘1/𝑘2 deve ser um número racional. 
No entanto, temos que: 
𝑇1
𝑇2
=
2𝜋
2
= 𝜋 
é número irracional. Logo, não há 𝑇3 que satisfaça a relação, o que conclui que 𝑥3(𝑡) não é periódica. 
 
(c) A potência de um sinal periódico é definida como 𝑃𝑥 =
1
𝑇0
∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
. Logo: 
𝑃𝑥1 =
1
𝑇0
∫ cos2(𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
=
1
𝑇0
∫
1 + cos(2𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
=
1
𝑇0
(
𝑡
2
+
1
4
sen(2𝑡)) |
𝑇0/2 
 
−𝑇0/2
=
1
𝑇0
(
𝑇0
2
+ 0) =
1
2
 
𝑃𝑥2 =
1
𝑇0
∫ sen2(𝜋𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
=
1
𝑇0
∫
1 − cos(2𝜋𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
=
1
𝑇0
(
𝑡
2
−
1
4
sen(2𝜋𝑡)) |
𝑇0/2 
 
−𝑇0/2
=
1
𝑇0
(
𝑇0
2
+ 0) =
1
2
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 9/20 
Para uma sinal aperiódico, a potência é definida como 𝑃𝑥 = lim
𝑇→∞
1
𝑇
∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
. Logo: 
𝑃𝑥3 = lim𝑇→∞
1
𝑇
∫ [cos(𝑡) + sen(𝜋𝑡)]2𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
 
⇒ 𝑃𝑥3 = lim𝑇→∞
1
𝑇
∫ cos2(𝑡) + 2 sen(𝜋𝑡) cos(𝑡) + sen2(𝜋𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
 
⇒ 𝑃𝑥3 = 𝑃𝑥1 + 2 lim𝑇→∞
1
𝑇
∫ sen(𝜋𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
+ 𝑃𝑥2 
sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑏) cos(𝑎) 
sen(𝑎 − 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑏) cos(𝑎) 
⇒ sen(𝑎 + 𝑏) + sen(𝑎 − 𝑏) = 2 sen(𝑎) cos(𝑏) 
⇒ sen(𝑎) cos(𝑏) =
1
2
[sen(𝑎 + 𝑏) + sen(𝑎 − 𝑏)] 
⇒ 𝑃𝑥3 = 𝑃𝑥1 + 2 lim𝑇→∞
1
𝑇
·
1
2
∫ sen(𝜋𝑡 + 𝑡) + sen(𝜋𝑡 − 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
+ 𝑃𝑥2 
⇒ 𝑃𝑥3 = 𝑃𝑥1 −
1
𝜋 + 1
lim
𝑇→∞
cos((𝜋 + 1)𝑡)
𝑇
|
𝑇/2 
 
−𝑇/2
−
1
𝜋 − 1
lim
𝑇→∞
cos((𝜋 − 1)𝑡)
𝑇
|
𝑇/2 
 
−𝑇/2
+ 𝑃𝑥2 
⇒ 𝑃𝑥3 = 𝑃𝑥1 −
1
𝜋 + 1
lim
𝑇→∞
2 cos ((𝜋 + 1)
𝑇
2)
𝑇
−
1
𝜋 − 1
lim
𝑇→∞
2 cos((𝜋 − 1)
𝑇
2)
𝑇
+ 𝑃𝑥2 
⇒ 𝑃𝑥3 = 𝑃𝑥1 − 0 − 0 + 𝑃𝑥2 
⇒ 𝑃𝑥3 = 𝑃𝑥1 + 𝑃𝑥2 =
1
2
+
1
2
= 1 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 10/20 
8. Calcule a energia dos seguintes sinais. Comente sobre os efeitos, no cálculo da energia, da mudança de sinal, 
deslocamento temporal ou alteração na amplitude do sinal. Qual seria o efeito de se multiplicar o sinal por 𝑘? 
 
(R.: 1/3; 4/3) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Qualquer deslocamento temporal por 𝑇 ou mudança de sinal por (−1)𝑛 não afeta o resultado da energia: 
𝐸𝑥 = ∫|(−1)
𝑛𝑥(𝑡 + 𝑇)|2𝑑𝑡
∞
−∞
 ; 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑢 í𝑚𝑝𝑎𝑟 
⇒ 𝐸𝑥 = ∫|(−1)
𝑛|2|𝑥(𝑡 + 𝑇)|2𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
 
⇒ 𝐸𝑥 = ∫ |𝑥(𝑡)|
2𝑑𝑡
𝑡𝑓+𝑇
𝑡𝑖+𝑇
= 𝐹𝑥(𝑡) |
𝑡𝑓 + 𝑇
 
𝑡𝑖 + 𝑇
 
onde 𝐹𝑥(𝑡) é a primitiva de |𝑥(𝑡)|
2 e 𝑡𝑖 e 𝑡𝑓 são os limites inferior e superior de integração da função não 
deslocada. 
 Por outro lado, uma mudança na amplitude da função por uma constante 𝑘 altera diretamente o resultado 
da energia por |𝑘|2: 
𝐸𝑘𝑥 = ∫|𝑘𝑥(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
 
⇒ 𝐸𝑘𝑥 = |𝑘|
2 ∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
= |𝑘|2𝐸𝑥 
 Logo, para a função dada, temos: 
𝐸𝑥 = ∫𝑡
2𝑑𝑡
1
0
=
1
3
 
𝐸𝑘𝑥 = |2|
2
1
3
=
4
3
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 11/20 
9. Calcule a potência do sinal abaixo. Calcule também para: 
(a) −𝑓(𝑡) 
(b) 2𝑓(𝑡) 
(c) 𝑘𝑓(𝑡) 
 (R.: 64/7; 256/7; 64𝑘2/7) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 A potência do sinal 𝑓(𝑡) dado é calculada por: 
𝑃𝑓 =
1
𝑇0
∫ |𝑡3|2𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
 
⇒ 𝑃𝑓 =
𝑡7
7𝑇0
|
𝑇0/2 
 
−𝑇0/2
 
⇒ 𝑃𝑓 =
2
7𝑇0
(
𝑇0
2
)
7
 
⇒ 𝑃𝑓 =
1
7
(
𝑇0
2
)
6
 
⇒ 𝑃𝑓 =
1
7
(2)6 =
64
7
 
 Similarmente ao provado no exercício 8, temos que: 
𝑃𝑘𝑓 =
1
𝑇0
∫ |𝑘𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑇0/2
−𝑇0/2
= |𝑘|2𝑃𝑓 
Logo: 
a) 𝑃−𝑓 = |−1|
2 (
64
7
) =
64
7
 
b) 𝑃2𝑓 = |2|
2 (
64
7
) =
256
7
 
c) 𝑃𝑘𝑓 = |𝑘|
2 (
64
7
) =
64𝑘2
7
 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 12/20 
10. Na figura abaixo, o sinal 𝑓1(𝑡) = 𝑓(−𝑡). Escreva os sinais 𝑓2(𝑡), 𝑓3(𝑡), 𝑓4(𝑡) e 𝑓5(𝑡) em função de 𝑓(𝑡), 𝑓1(𝑡) e 
suas versões deslocadas no tempo, escalonadas ou invertidas. 
 
(R.: 𝑓(𝑡 − 1) + 𝑓1(𝑡 + 1); 𝑓(𝑡 − 0,5) + 𝑓1(𝑡 + 0,5); 𝑓(𝑡 − 1) + 𝑓1(𝑡 − 1); 1,5𝑓(𝑡/2 − 1)) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
𝑓2(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 1) + 𝑓1(𝑡 − 1) 
𝑓3(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 1) + 𝑓1(𝑡 + 1) 
𝑓4(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 0,5) + 𝑓1(𝑡 + 0,5) 
𝑓5(𝑡) = 1,5𝑓(𝑡/2 − 1) 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 13/20 
11. Escreva os seguintes números na forma polar: 
(a) 1 + 𝑗 (d) 𝑒
𝑗𝜋/4 + 2𝑒−𝑗𝜋/4 
(b) −4 + 𝑗3 (e) 𝑒
𝑗 + 1 
(c) (1 + 𝑗)(−4 + 𝑗3) (f) (1 + 𝑗)/(−4 + 𝑗3) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 1 + 𝑗 = √12 + 12∠ tan−1(1/1) = √2∠45° 
(b) −4+ 𝑗3 = √42 + 32∠tan−1(−3/4) ≈ 5∠ − 36,87° 
(c) (1 + 𝑗)(−4 + 𝑗3) = (√2∠45°)(5∠ − 36,87°) = 5√2∠45° − 36,87° = 5√2∠8,13° 
(d) 𝑒𝑗𝜋/4 + 2𝑒−𝑗𝜋/4 = [cos(𝜋/4) + 𝑗 sen(𝜋/4)] + 2[cos(𝜋/4) − 𝑗 sen(𝜋/4)] = (3 − 𝑗) sen(𝜋/4) =
(√2/2)√32 + 12∠ tan−1(−1/3) ≈ √5∠ − 18,43° 
(e) 𝑒𝑗 + 1 = [cos 1 + 𝑖 sen1] + 1 = √(1 + cos 1)2 + sen2 1∠ tan−1 (
sen1
1+cos1
) ≈ 1,76∠0,55° 
(f) (1 + 𝑗)/(−4 + 𝑗3) ≈ (√2∠45°)/(5∠ − 36,87°) = √2/5∠45° + 36,87° = 0,2√2∠81,87° 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 14/20 
12. Para as constantes complexas arbitrárias 𝜔1 e 𝜔2, verifique se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falas 
(a) Re(𝑗𝜔1) = −Im(𝜔1) (d) Im(𝜔1) + Im(𝜔2) = Im(𝜔1 +𝜔2) 
(b) Re(𝑗𝜔1) = Re(𝜔1) (e) Re(𝜔1)Re(𝜔2) = Re(𝜔1𝜔2) 
(c) Re(𝜔1) + Re(𝜔2) = Re(𝜔1 +𝜔2) (f) Im(𝜔1)/Im(𝜔2) = Im(𝜔1/𝜔2) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
Sendo 𝜔1 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 e 𝜔2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2: 
(a) Re(𝑗𝜔1) = Re(𝑗(𝑎1 + 𝑗𝑏1)) = Re(−𝑏1 + 𝑗𝑎1) = −𝑏1 = −Im(𝜔1) 
(b) Re(𝑗𝜔1) = −𝑏1 ≠ 𝑎1 = Re(𝜔1) 
(c) Re(𝜔1) + Re(𝜔2) = Re(𝑎1 + 𝑗𝑏1) + Re(𝑎2 + 𝑗𝑏2) = 𝑎1 + 𝑎2 = Re[(𝑎1 + 𝑗𝑏1) + (𝑎2 + 𝑗𝑏2)] = Re(𝜔1 +𝜔2) 
(d) Im(𝜔1) + Im(𝜔2) = Im(𝑎1 + 𝑗𝑏1) + Im(𝑎2 + 𝑗𝑏2) = 𝑗(𝑏1 + 𝑏2) = Im[(𝑎1 + 𝑗𝑏1) + (𝑎2 + 𝑗𝑏2)] = Im(𝜔1 +𝜔2) 
(e) Re(𝜔1)Re(𝜔2) = Re(𝑎1 + 𝑗𝑏1)Re(𝑎2 + 𝑗𝑏2) = 𝑎1𝑎2 ≠ 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 = Re[(𝑎1 + 𝑗𝑏1)(𝑎2 + 𝑗𝑏2)] = Re(𝜔1𝜔2) 
(f) 
Im(𝜔1)
Im(𝜔2)
=
Im(𝑎1+𝑗𝑏1)
Im(𝑎2+𝑗𝑏2)=
𝑗𝑏1
𝑗𝑏2
=
𝑏1
𝑏2
≠ 𝑗
𝑎2𝑏1−𝑎1𝑏2
𝑎2
2−𝑏2
2 = Im[
(𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2)+𝑗(𝑎2𝑏1−𝑎1𝑏2)
𝑎2
2−𝑏2
2 ] = Im [
(𝑎1+𝑗𝑏1)(𝑎2−𝑗𝑏2)
(𝑎2+𝑗𝑏2)(𝑎2−𝑗𝑏2)
] =
Im [
𝑎1+𝑗𝑏1
𝑎2+𝑗𝑏2
] = Im(
𝜔1
𝜔2
) 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 15/20 
13. Dado 𝜔1 = 3 + 𝑗4 e 𝜔2 = 2𝑒
𝑗𝜋/4. 
(a) Escreva 𝜔1 na forma polar. (e) Escreva 𝜔1 −𝜔2 na forma polar. 
(b) Escreva 𝜔2 na forma retangular. (f) Escreva 𝜔1𝜔2 na forma retangular. 
(c) Determine |𝜔1|
2 e |𝜔2|
2. (g) Escreva 𝜔1/𝜔2 na forma polar. 
(d) Escreva 𝜔1 +𝜔2 na forma retangular. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 𝜔1 = 3 + 𝑗4 = √32 + 42∠ tan
−1(4/3) ≈ 5∠53,13° 
(b) 𝜔2 = 2𝑒
𝑗𝜋/4 = 2[cos(𝜋/4) + 𝑗 sen(𝜋/4)] = √2 + 𝑗√2 
(c) |𝜔1|
2 = 32 + 42 = 25 
|𝜔2|
2 = 22 = 4 
(d) 𝜔1 +𝜔2 = (3 + 𝑗4) + (√2 + 𝑗√2) = (3 + √2) + 𝑗(4 + √2) ≈ 4,41 + 𝑗5,41 
(e) 𝜔1 −𝜔2 = (3 − √2) + 𝑗(4 − √2) = √(3 − √2)
2
+ (4 − √2)
2
∠ tan−1 (
4−√2
3−√2
) =
√29 − 14√2∠ tan−1 (
10+√2
7
) ≈ 3,03∠58,48° 
(f) 𝜔1𝜔2 = (3 + 𝑗4)(√2 + 𝑗√2) = 3√2 + 𝑗4√2 + 𝑗3√2 − 4√2 = −√2 + 𝑗7√2 
(g) 𝜔1/𝜔2 ≈ (5∠53,13°)/(2∠45°) = 5/2∠53,13° − 45° = 2,5∠8,13° 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 16/20 
14. Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções. 
(a) 𝑔(𝑡) = 10 cos(50𝜋𝑡) (c) 𝑔(𝑡) = cos(50𝜋𝑡) + sen(15𝜋𝑡) 
(b) 𝑔(𝑡) = 10 cos(50𝜋𝑡 + 𝜋/4) (d) 𝑔(𝑡) = cos(2𝜋𝑡) + sen(3𝜋𝑡) + cos(5𝜋𝑡 − 3𝜋/4) 
(R.: 2 s; 1/25 s; 2,5 Hz; 1/25 s; 1/2 Hz; 0,4 s; 25 Hz; 25 Hz) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 𝑇0 =
2𝜋
50𝜋
=
1
25
 s = 0,04 s 
𝑓0 =
1
𝑇0
=
1
1/25
= 25 Hz 
 
(b) 𝑇0 =
2𝜋
50𝜋
=
1
25
 s = 0,04 s 
𝑓0 =
1
1/25
= 25 Hz 
 
(c) 𝑇0 = [
50
mdc(50,15)
] ·
2𝜋
50𝜋
= [
15
mdc(50,15)
] ·
2𝜋
15𝜋
= 0,4 s 
𝑓0 =
1
0,4
= 2,5 Hz 
 
(d) 𝑇0 = [
2
mdc(2,3,5)
] ·
2𝜋
2𝜋
= [
3
mdc(2,3,5)
] ·
2𝜋
3𝜋
= [
5
mdc(2,3,5)
] ·
2𝜋
5𝜋
= 2 s 
𝑓0 =
1
2
 Hz 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 17/20 
15. Se 𝑔(𝑡) = 7𝑒−2𝑡−3, escreva por extenso e simplifique: 
(a) 𝑔(3) (d) 𝑔(𝑗𝑡) 
(b) 𝑔(2 − 𝑡) (e) 
𝑔(𝑗𝑡) + 𝑔(−𝑗𝑡)
2
 
(c) 𝑔((𝑡/10) + 4) (f) 
𝑔((𝑗𝑡 − 3)/2) + 𝑔((−𝑗𝑡 − 3)/2)
2
 
(R.: 7 cos(𝑡); 7𝑒−7+2𝑡; 7𝑒−𝑗2𝑡−3; 7𝑒−(𝑡/5)−11; 7𝑒−3 cos(2𝑡); 7𝑒−9) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 𝑔(3) = 7𝑒−2·3−3 = 7𝑒−9 
(b) 𝑔(2 − 𝑡) = 7𝑒−2(2−𝑡)−3 = 7𝑒−7+2𝑡 
(c) 𝑔((𝑡/10) + 4) = 7𝑒−2((𝑡/10)+4)−3 = 7𝑒−(𝑡/5)−11 
(d) 𝑔(𝑗𝑡) = 7𝑒−𝑗2𝑡−3 
(e) 
𝑔(𝑗𝑡)+𝑔(−𝑗𝑡)
2
=
7𝑒−2(𝑗𝑡)−3+7𝑒−2(−𝑗𝑡)−3
2
= 7𝑒−3 (
𝑒−𝑗2𝑡+𝑒𝑗2𝑡
2
) = 7𝑒−3 cos(2𝑡) 
(f) 
𝑔((𝑗𝑡−3)/2)+𝑔((−𝑗𝑡−3)/2)
2
=
7𝑒−2((𝑗𝑡−3)/2)−3+7𝑒−2((−𝑗𝑡−3)/2)−3
2
= 7(
𝑒−𝑗𝑡+𝑒𝑗𝑡
2
) = 7 cos(𝑡) 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 18/20 
16. A porção do conjugado simétrico (ou Hermitiano) de um sinal é definido por 𝑤𝑒𝑠(𝑡) = (𝑤(𝑡) + 𝑤
∗(−𝑡))/2. 
Mostre que a parte real de 𝑤𝑒𝑠(𝑡) é par e a parte imaginária de 𝑤𝑒𝑠(𝑡) é impar. 
A porção do conjugado antissimétrico (ou skew-Hermitiano) de um sinal é definido por 𝑤𝑐𝑎(𝑡) = (𝑤(𝑡) −
𝑤∗(−𝑡))/2. Mostre que a parte real de 𝑤𝑐𝑎(𝑡) é ímpar e a parte imaginária de 𝑤𝑐𝑎(𝑡) é par. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Por definição, o conjugado complexo é um operador linear que inverte apenas o sinal da parte imaginária: 
Re{𝑤(𝑡)} = Re{𝑤∗(𝑡)} 
Im{𝑤(𝑡)} = −Im{𝑤∗(𝑡)} 
Assim, temos que: 
Re{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} = Re {
𝑤(𝑡) + 𝑤∗(−𝑡)
2
} =
1
2
(Re{𝑤(𝑡)} + Re{𝑤(−𝑡)}) 
Im{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} = Im{
𝑤(𝑡) + 𝑤∗(−𝑡)
2
} =
1
2
(Im{𝑤(𝑡)} − Im{𝑤(−𝑡)}) 
logo: 
Re{𝑤𝑒𝑠(−𝑡)} =
1
2
(Re{𝑤(−𝑡)} + Re{𝑤(𝑡)}) = Re{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} ⇔ função par 
Im{𝑤𝑒𝑠(−𝑡)} =
1
2
(Im{𝑤(−𝑡)} − Im{𝑤(𝑡)}) = −Im{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} ⇔ função ímpar 
 Analogamente: 
Re{𝑤𝑐𝑎(𝑡)} = Re {
𝑤(𝑡) − 𝑤∗(−𝑡)
2
} =
1
2
(Re{𝑤(𝑡)} − Re{𝑤(−𝑡)}) 
Im{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} = Im{
𝑤(𝑡) − 𝑤∗(−𝑡)
2
} =
1
2
(Im{𝑤(𝑡)} + Im{𝑤(−𝑡)}) 
logo: 
Re{𝑤𝑒𝑠(−𝑡)} =
1
2
(Re{𝑤(−𝑡)} − Re{𝑤(𝑡)}) = −Re{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} ⇔ função ímpar 
Im{𝑤𝑒𝑠(−𝑡)} =
1
2
(Im{𝑤(−𝑡)} + Im{𝑤(𝑡)}) = Im{𝑤𝑒𝑠(𝑡)} ⇔ função par 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 19/20 
17. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções: 
(a) 𝑔(𝑡) = 2𝑡
2 − 3𝑡 + 6 (d) 𝑔(𝑡) = 𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2) 
(b) 𝑔(𝑡) = 20 cos(40𝜋𝑡 − 𝜋/4) (e) 𝑔(𝑡) = 𝑡(2 − 𝑡)(1 + 4𝑡) 
(c) 𝑔(𝑡) =
2𝑡2 − 3𝑡 + 6
1 + 𝑡
 
(R.: 𝑡(2 − 4𝑡2); (20/√2) cos(40𝜋𝑡); 0; −𝑡
2𝑡2+9
1−𝑡2
; 7𝑡2; (20/√2) sen(40𝜋𝑡); 2𝑡2 + 6; 𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2); 
6+5𝑡2
1−𝑡2
; 
−3𝑡) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Todo sinal, seja ou não seja par/ímpar, pode ser decomposta em uma soma de sua par com sua parte ímpar: 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑝(𝑡) + 𝑥𝑖(𝑡) 
onde 𝑥𝑝(𝑡) = 𝑥𝑝(−𝑡) é uma função par e 𝑥𝑖(𝑡) = −𝑥𝑖(−𝑡) é uma função ímpar. Logo: 
𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑝(𝑡) − 𝑥𝑖(𝑡) 
 Somando a primeira equação com essa última e subtraindo-as, temos que: 
𝑥𝑝(𝑡) =
1
2
(𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)) 
𝑥𝑖(𝑡) =
1
2
(𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡)) 
(a) 𝑔𝑝(𝑡) =
1
2
(𝑔(𝑡) + 𝑔(−𝑡)) =
1
2
[(2𝑡2 − 3𝑡 + 6) + (2𝑡2 + 3𝑡 + 6)] = 2𝑡2 + 6 
𝑔𝑖(𝑡) =
1
2
(𝑔(𝑡) − 𝑔(−𝑡)) =
1
2
[(2𝑡2 − 3𝑡 + 6) − (2𝑡2 + 3𝑡 + 6)] = −3𝑡 
 
(b) 𝑔𝑝(𝑡) =
1
2
[(20 cos(40𝜋𝑡 − 𝜋/4)) + (20 cos(−40𝜋𝑡 − 𝜋/4))] = 20 cos(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) =
20
√2
cos(40𝜋𝑡) 
𝑔𝑖(𝑡) =
1
2
[(20 cos(40𝜋𝑡 − 𝜋/4)) − (20 cos(−40𝜋𝑡 − 𝜋/4))] = 20 sen(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) =
20
√2
sen(40𝜋𝑡) 
 
 
 
 
 
(c) 𝑔𝑝(𝑡) =
1
2
(
2𝑡2−3𝑡+6
1+𝑡
+
2𝑡2+3𝑡+6
1−𝑡
) =
1
2
(−2𝑡3+5𝑡2−9𝑡+6)+(2𝑡3+5𝑡2+9𝑡+6)
1−𝑡2
=
5𝑡2+6
1−𝑡2
 
𝑔𝑖(𝑡) =
1
2
(
2𝑡2−3𝑡+6
1+𝑡
−
2𝑡2+3𝑡+6
1−𝑡
) =
1
2
(−2𝑡3+5𝑡2−9𝑡+6)−(2𝑡3+5𝑡2+9𝑡+6)
1−𝑡2
= −𝑡
2𝑡2+9
1−𝑡2
 
 
(d) 𝑔𝑝(𝑡) =
1
2
[(𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2)) − (𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2))] = 0 
𝑔𝑖(𝑡) =
1
2
[(𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2)) + (𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2))] = 𝑡(2 − 𝑡2)(1 + 4𝑡2) 
20 [cos (40𝜋𝑡 −
𝜋
4
) + cos (−40𝜋𝑡 −
𝜋
4
)] = 
= 20 {[cos(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) + sen(40𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]
+ [cos(−40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) + sen(−40𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]} 
= 20 {[cos(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) + sen(40𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]
+ [cos(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) − sen(40𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]} 
= 20 × 2 cos(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 01 (Aline) v1.2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 08/12/13 – pág. 20/20 
 
(e) 𝑔𝑝(𝑡) =
1
2
[(𝑡(2 − 𝑡)(1 + 4𝑡)) − (𝑡(2 + 𝑡)(1 − 4𝑡))] = 7𝑡2 
𝑔𝑖(𝑡) =
1
2
[(𝑡(2 − 𝑡)(1 + 4𝑡)) + (𝑡(2 + 𝑡)(1 − 4𝑡))] = 𝑡(2 − 4𝑡2)