Lista III Subespaço e Combinação.

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Prof. Juscimar Araujo
Curso de A´lgebra Linear
Lista - Subespac¸os, Combinac¸a˜o Linear
Ac¸ailaˆndia - Engenharia Civil
12.04.2018
Nome:
1. (Questa˜o POOLE) Fac¸a o que se pede:
(a) Mostre que o conjunto W de todos os vetores da forma A =

a
b
−b
a
 e´ um subespac¸o de R4.
(b) Mostre que o conjunto W de todos os polinoˆmios da forma a+ bx− bx2 + ax3 e´ um subespac¸o de P3.
(c) Prove que o conjunto W formado por todas as matrizes da forma
[
a b
−b a
]
.
2. (Questa˜o POOLE) Seja W o conjunto das matrizes 2 x 2 da forma[
a a + 1
0 b
]
.
W e´ um subespac¸o de M(2, 2)?
3. (Questa˜o LIPSCHUTZ) Escreva o vetor v = (1,−2, 5) como combinac¸a˜o linear dos vetores e1 = (1, 1, 1),
e2 = (1, 2, 3) e e e3 = (2,−1, 1).
4. (Questa˜o LIPSCHUTZ) Escreva o vetor v = (2,−5, 3) como combinac¸a˜o linear dos vetores e1 = (1,−3, 2),
e2 = (2,−4,−1) e e3 = (1,−5, 7).
5. (Questa˜o LIPSCHUTZ) Escreva o polinoˆmio v = t2+4t−3 sobre R como combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios
e1 = t
2 − 2t + 5, e2 = 2t2 − 3t e e e3 = t + 3.
6. (Questa˜o LIPSCHUTZ) Escreva a matriz A =
[
3 1
1 −1
]
como combinac¸a˜o linear das matrizes A1 =[
1 1
1 0
]
, A2 =
[
0 0
1 1
]
e A3 =
[
0 2
0 −1
]
.
7. (Questa˜o LIPSCHUTZ) Consideremos os vetores u = (1,−3, 2) e v = (2,−1, 1) em R3.
(a) Escreva (1, 7,−4) como comniac¸a˜o linear de u e v.
(b) Escreva (2,−5, 4) como combinac¸a˜o linear de u e v.
(c) Para que valor de k, (1, k, 5) e´ uma combinac¸a˜o linear de u e v.
(d) Procure uma condic¸a˜o para que a, b, c de modo que (a, b, c) seja combinac¸a˜o linear de u e v.
8. (Questa˜o LIPSCHUTZ) Escreva E como combinac¸a˜o linear de A =
[
1 1
0 −1
]
, B =
[
1 1
−1 0
]
e
C =
[
1 −1
0 0
]
, onde:
(a) E =
[
3 −1
1 −2
]
;
(b) E =
[
2 1
−1 −2
]
.
9. (Questa˜o CALLIOLI) Se V = R3, u = (1, 0, 0) e v = (1, 1, 0) o que e´ [v, u]?
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