Apostila - Hiperbole

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Hipérbole - 2009 
 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
 
 
Cônicas - Hipérbole 
 
 
Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2 nesse plano. 
 
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença, em módulo, das distâncias a dois 
pontos fixos desse plano é constante, isto é, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição 
1 2FP PF k− =
����� ������
, pertence à hipérbole. 
. 
 
Elementos da Hipérbole: 
 
Observe os elementos da hipérbole na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• F1 , F2 : focos 
 
• d (F1, F2) : distância focal : 2c 
 
• C: centro (ponto médio de 1 2FF
����
) 
 
• A1, A2, B1, B2: vértices 
 
• 1 2A A
������
 : eixo real : 2a (contém o centro) 
 
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• 1 2BB
������
 : eixo imaginário : 2b (é perpendicular a 1 2A A
������
 no centro, ou seja, 1 2 1 2 0A A BB =
������ ������
i ) 
• e : excentricidade: e = 
c
a
 
• r, s: retas chamadas de assíntotas 
 
Observações: 
1) Percebe-se, observando o gráfico, que d (F1, F2) > d (A1, A2), isto é, 1 2 1 2FF A A>
����� �������
, portanto, 
2c > 2a. 
Então, temos: c > a. Donde se conclui que e = 
c
a
 > 1. 
 
Acesse, Atividade 1: Cônicas – Hipérbole – Excentricidade 
 
2) Como A1 e A2 são pontos da elipse e 1 2A A
������
 = 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos 
1 11 2 1 2PF PF = A F A F =2a− −
������ ������ ������� �������
. Logo, como a distância é constante, temos que para um ponto qualquer 
pertencente à hipérbole valerá 1 2PF PF =2a−
������ ������
. 
 
 
Dedução da equação da hipérbole com centro em (0,0): 
 
1O caso: Eixo real coincide com o eixo Ox 
 
Considere P = (x, y), F1 = (-c, 0) e F2 = (c, 0). 
 
( ) ( )
( ) ( )2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
PF - PF = 2a
PF = -c -x , -y e PF = c – x, -y 
x +2xc+c +y - c -2xc+x +y = 2a
x +2xc+c +y = 2a + c -2xc+x +y
x +2xc+c +y = 2a + c -2xc+x +y
x +2xc+c +y = 4a + 4a c
������ ������
������ ������
( ) ( )
( ) 2 2 2 42
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
-2xc+x +y + c -2xc+x +y
4a c -2xc+x +y = x +2xc+ c + y -4a - c +2xc- x - y
4a c -2xc+x +y = 4cx - 4a
Dividindo este resultado por 4, temos:
a c -2xc+x +y = cx - a
a c -2xc+x +y = c x ca x a
a c –
//
− +
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 
2
 2a cx a x a y a – 2a cx c x
a x - c x a y a - a c
a – c x a y a a – c
Como, c a b , então b c – a .
Daí, b x a y a b
Dividindo ambos os membro por a b
+ + = +
+ =
+ =
= + =
− + = −
−( )
2 1
2
2 2
2
, obtemos:
x y
 
a b
− =
 
 
 
 
 Equação reduzida da hipérbole de centro C = ( 0, 0 ) e eixo real sobre o eixo Ox. 
 
 
2 1
2 2
2
x y
 
a b
− =
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2o caso: Eixo real coincide com o eixo Oy 
 
 
Por analogia, encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação reduzida da hipérbole de centro 
C = ( 0, 0 ) e eixo real sobre o eixo Oy. 
 
 
Exercício 1: Encontre, utilizando a Atividade 2: Cônicas – Hipérbole como auxílio, A1, A2, B1, B2, F1, F2 e a 
equação das assíntotas da hipérbole de equação 
2 2
1
9 4
x y
− = . 
 Resp: A1 = ( 3, 0 ), A2 = ( -3, 0 ), B1 = ( 0, 2 ), B2 = ( 0, -2 ), 
 ( ) ( )1 2 13 2 213 13 3 3 3x xF , 0 , F , 0 , e= , r:y= , s:y= −= = − 
 
Dedução da equação da hipérbole com centro fora da origem: 
 
1o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Ox 
 
Considere C=(x0, y0). 
 
Como 2 1 2F P F P a− =
����� ����
, então: 
 
2F P
�����
= ( ) 2 20 0( ) − + + − x x c y y e 
1F P
�����
 = ( ) 2 20 0( ) − − + − x x c y y 
 
Chamaremos de z = x – xo e de w = y – yo. 
 
2 2 2 2 2 22 2z zc c w z zc c w− + + − + + + = ± 2a 
2 2 22z zc c w− + + = ± 2a + 2 2 22z zc c w+ + + 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4a 4a 2 2− + + = ± + + + + + + +z zc c w z zc c w z zc c w 
Simplificando e dividindo por 4 , temos: 
± a 2 2 22z zc c w+ + + = – zc – a2. 
Elevando ao quadrado, 
a2z2 + 2a2zc+ a2c2+a2w2 = z2c2+2a2zc+ a4 
2 1
2 2
2
y x
 
a b
− =
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Simplificando, 
a4 – a2c2 = a2z2 + a2w2 – c2z2 → a2( a2 – c2 ) = z2( a2 – c2 ) + a2w2 
Como c2 = a2 + b2 , então - b2 = a2 - c2. Logo, - b2a2 = a2w2 - z2b2 : (- a2b2 ) 
Tem-se: 
2 2
2 2
1
z w
a b
− = → 
2 2
0 0
2 2
( ) ( )
1
x x y y
a b
− −
− = . 
 
 
 Equação da hipérbole de centro em (x0, y0) e eixo real paralelo a Ox 
 
 
2o caso: Eixo real paralelo ao eixo Oy 
 
Analogamente, temos: 
 
 
 
 Equação da hipérbole de centro em (x0, y0) e eixo real paralelo a OY 
 
 
 
Exercício 2: Encontre, utilizando a Atividade 2: Cônicas – Hipérbole como auxílio, A1, A2, B1, B2, F1, F2 e a 
equação das assíntotas da hipérbole de equação 9x2 – 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0. 
 Resp: A1 = ( 3, 4 ), A2 = ( 3, -2 ), B1 = ( 5, 1 ), B2 = ( 1, 1 ), 
 F1 = ( 3, 1 + 13 ), F2 = ( 3, 1 - 13 ), e =
13
3
, 
r: y = 
3 7
2 2
x
− , s: y = 
3 11
2 2
x−
+ . 
2 2
0 0
2 2
( ) ( )
1
− −
− =
x x y y
a b
2 2
0 0
2 2
( ) ( )
1
− −
− =
y y x x
a b