11a Aula DD e Gradiente 2018

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11ª Aula Derivadas Direcionais e Gradiente
Orientação: Após a leitura desta nota de aula, assistir às vídeo-aulas 37 e 38
Derivada Direcional (DD): A derivada direcional consiste em uma generalização das derivadas parciais.
Suponha que z = f(x,y) represente a altura de uma montanha. Se você se encontra em algum ponto (a, b, f(a,b)) da montanha, a inclinação da superfície da montanha vai depender da direção que você vai seguir. Em uma direção pode haver uma subida íngreme, em outra o caminho pode ser relativamente plano, em outra uma descida íngreme, etc. 
Em termos matemáticos, a inclinação da superfície, em certo ponto (a, b), estimada em uma dada direção u, representa a derivada direcional de f em (a, b) na direção e sentido de u.
Definição1: Para definir a derivada direcional de f em um ponto A de seu domínio, é necessário indicar uma direção. 
Portanto, sejam z = f(x,y) uma função diferenciável definida em alguma Br(A) e U = (a,b) um vetor unitário. A derivada direcional de f no ponto A(x0,y0) na direção (E SENTIDO) de U é denotada por e definida por: =
 Obs1: Note que fx e fy são casos particulares da derivada direcional na direção dos vetores i e j, respectivamente.
 Definição2: (Generalizando) Se , diferenciável, e se U for um vetor unitário do Rn, então 
______________________ 
Ex1: Ache a derivada direcional de f(x,y) = 2x2+5y2 em P (0,0) na direção do vetor U = (). E no ponto (-1, -1) na direção de U?
Interpretações:
DU f (P) representa a taxa de variação instantânea de f no ponto P na direção e sentido do vetor U;
Para z = f(x, y), DU f (P) é igual à inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de f com o plano que contém os pontos P+tU, , e que é perpendicular ao plano xy. Sendo (P, f(P)) o ponto de tangência.
O Operador Gradiente e o vetor gradiente: 
Em certos casos, é possível determinar a direção de maior crescimento da função ou o valor da maior inclinação do seu gráfico em cada ponto do seu domínio. Ambas, direção de maior crescimento e inclinação máxima (ou máxima taxa de variação), podem ser estimadas pelo objeto matemático denominado GRADIENTE.
Definição0: Uma função c é denominada função escalar ou campo escalar, pois, a cada ponto do domínio, associa um escalar, formando um campo de escalares em U. Uma função é denominada uma função vetorial ou campo vetorial, pois, a cada ponto do domínio associa um vetor, formando um campo de vetores em U. Exs:
Definição1: Seja uma função escalar. A função vetorial (,,...,) é denominada GRADIENTE de f e denotada por grad f ou . 
Note que é uma função de ___ em ____ (cada é uma função de ___ em ___)
Definição2: O operador= (,,...,) (nabla) é denominado Operador Gradiente, neste caso, é uma função ou operador de ________________em ______________________.
Aplicações do vetor gradiente:
É possível calcular uma DD sem recorrer diretamente ao cálculo de um limite? 
Dada uma função f de várias variáveis, em que direção a taxa de variação é máxima em um determinado ponto P de seu domínio? Qual o valor dessa taxa máxima?
Seja f uma função de 2 variáveis, z = f(x, y). Seja . Qual a relação entre o vetor tangente à curva de nível que contém P e o vetor gradiente de f calculado em P?
Seja S uma superfície de nível de uma função diferenciável w = F(x, y, z). Qual a equação do plano tangente à S em um ponto P de S?
Respostas ao item anterior:
Cálculo da DD de uma função f de várias variáveis em um ponto P de seu domínio em uma direção dada U Teorema: Seja f uma função escalar diferenciável em Rn e seja U um vetor unitário do Rn. 
Então , ou seja, = (P).u1+ (P).u2+...+ (P).un
Ex1: Resolva o exemplo do item 1 usando o teorema acima.
Ex2: Calcule a função gradiente de f e a DD de f(x,y,z) = no ponto , na direção do vetor .