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LISTA VI – Integrais de linha de campos escalares 
Calcule ∫ 𝒇 𝒅𝒔𝑪 , onde: 
1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦, onde 𝐶 é a fronteira do triangulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). 
2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑦², onde 𝐶 é a circunferência 𝑥² + 𝑦² = 4. 
3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦², e 𝐶 tem equações paramétricas 𝑥(𝑡) = 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) e 𝑦(𝑡) = 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡), em 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
4) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒√𝑧, e 𝐶 é definida por e 𝑥(𝑡) = 1, 𝑦(𝑡) = 2 e 𝑧(𝑡) = 𝑡², onde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 
5) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧, e 𝐶 é o segmento de reta de extremidades (0,0,0) e (1,3,2). 
6) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦, e 𝐶 é a curva obtida como intersecção do semiplano 𝑥 = 𝑦, 𝑦 ≥ 0, com o paraboloide 
𝑧 = 𝑥² + 𝑦², 𝑧 ≤ 2. 
7) Um arame tem a forma da curva obtida como intersecção da porção da esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4, 𝑦 ≥ 0, 
com o plano 𝑥 + 𝑧 = 2. Sabendo que a densidade em cada ponto do arame é dada por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦, 
calcule a massa total do arame. 
 
8) Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro 𝑥² + 𝑦² = 4, 
compreendida entre os planos 𝑧 = 0 e 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑧 ≥ 0. Se o metro quadrado do zinco custa 𝑀 
reais, calcule o preço total da peça. 
 
9) A base de uma cerca é uma curva 𝐶 no plano 𝑥𝑦 definida por 𝑥(𝑡) = 30 𝑐𝑜𝑠³(𝑡) e 𝑦(𝑡) = 30 𝑠𝑒𝑛³(𝑡), 
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋, e a altura em cada ponto (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 é dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 +
|𝑦|
3
 (𝑥 e 𝑦 em metros). Se para 
pintar cada 𝑚² um pintos cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? 
Nos exercícios abaixo, calcule as integrais curvilíneas. 
10) ∫ (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o segmento de reta que liga o ponto 𝐴(1,2,3) ao ponto 𝐵(2,0,1). 
11) ∫ (3𝑦 − √𝑧)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o arco de parábola 𝑧 = 𝑦², 𝑥 = 1 de 𝐴(1,0,0) ao ponto 𝐵(1,2,4). 
12) ∫ 𝑥𝑧𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a intersecção da esfera 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 com o plano 𝑥 = 𝑦. 
13) ∫ |𝑦|𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a curva dada por 𝑦 = 𝑥³ de (−1, −1) a (1,1). 
14) ∫ 𝑦(𝑥 − 𝑧)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a intersecção das superfícies 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9 e 𝑥 + 𝑧 = 3. 
15) ∫ (𝑥 + 𝑦)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a intersecção das superfícies 𝑧 = 𝑥
2 + 𝑦2 e 𝑧 = 4. 
16) ∫ 2𝑥𝑦𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o arco de circunferência 𝑥
2 + 𝑦2 = 4 de (2,0) a (1, √3). 
17) ∫ 𝑥²𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o arco da hipocicloide 𝑥
2
3 + 𝑦
2
3 = 𝑎
2
3, 𝑎 > 0 no primeiro quadrante. 
18) ∫ 𝑦²𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o primeiro arco da cicloide 𝑟(𝑡) = 2[𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡)]𝑖 + 2[1 − cos(𝑡)]𝑗. 
 
 
19) ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a intersecção das superfícies 
𝑥2
16
+
𝑦2
9
+
𝑧2
16
= 1 e 𝑦 = 2. 
20) ∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o quadrado de vértices (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1) e (0,0,1). 
21) ∫ 𝑥𝑦𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a elipse 
𝑥2
𝑎²
+
𝑦2
𝑏²
= 1. 
22) ∫ 𝑥𝑦²(1 − 2𝑥2)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é parte da curva de Gauss 𝑦 = 𝑒
−𝑥², de 𝐴 = (0,1) a 𝐵 = (
1
√2
,
1
√𝑒
). 
23) ∫ (
𝑥𝑦²
√1+4𝑥²𝑦4
)
𝐶
𝑑𝑠, onde 𝐶 é a curva dada por 𝑦 =
1
1+𝑥²
, de (0,1) a (1,
1
2
). 
24) ∫ (|𝑥| + |𝑦|)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o retângulo formado pelas retas 𝑥 = 0, 𝑥 = 4, 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1. 
25) ∫ (𝑥 + 𝑦 − 1)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a parte da intersecção entre as superfícies 𝑧 = 𝑥
2 + 𝑦² e 𝑦 = 1 que está abaixo do 
plano 𝑧 = 5. 
26) ∫ (𝑥² + 𝑦² − 𝑧)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a intersecção entre as superfícies 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 8𝑧 e 𝑧 = 4. 
27) ∫ (𝑥 − 𝑦)𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o triângulo da Figura 1 abaixo. 
28) ∫ 𝑦²𝐶 𝑑𝑠, onde 𝐶 é a semicircunferência da Figura 2 abaixo. 
 
29) Um fio delgado é preso em dois suportes fixos de mesma altura, tomando a forma da catenária 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥), 
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Supondo que a densidade do fio é a mesma em todos os pontos, calcular a massa do fio. 
 
 
 
 
 
 
A(1,3/2)
B(2,2)
C(2,1)
2
2 40
 
 
RESPOSTAS 
1) 1 + √2 
2) 0 
3) 
256
15
 
4) 2 
5) 2√14 
6) 
13√2
6
 
7) 4 
8) (8 + 6𝜋)𝑀 
9) 900𝑝 
10) 12 
11) 
17√17−1
6
 
12) 0 
13) 
10√10−1
27
 
14) 0 
15) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) 6 
17) 
3𝑎3
8
 
18) 
2048
15
 
19) 
928√5
27
𝜋 
20) 8 
21) 0 
22) 
1
12
√(1 +
2
𝑒
)
3
−
1
12
 
23) 
1
4
 
24) 34 
25) 0 
26) 96𝜋 
27) 
1
2
 
28) 4𝜋 
29) 𝛿0(𝑒
2 − 𝑒−2)