G3 2013.1

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Gabarito G3 de MAT1158 – Cálculo B – 26 de Junho de 2013 
1. Calcule as integrais: 
a. ∫
 
√ 
 
 
 
 O domínio da função 
 
√ 
 é ( ) ( ) portanto não está definida 
para e a integral é imprópria. Escrevemos então ∫
 
√ 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 
Calculando a integral indefinida ∫
 
√ 
 e fazendo a substituição 
 e 
 
 
 logo ∫
 
√ 
 
 
 
∫
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄
 √ 
Voltando ao limite, ∫
 
√ 
 
 
 
 
 
[√ √ ] √ 
 
b. ∫
 
 
 substituindo a integral fica 
∫
 
 
 integrando por frações parciais, temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 fazendo 
o MMC temos que 
 
 
 
 ( ) ( )
( ) ( )
 logo {
 
 
} e 
 
 
 
 
 
 e a integral ∫
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 | | e 
∫
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
c. ∫ integrando por partes, e logo 
∫ ∫ 
 
 
d. ∫ ( 
 
 
) substituindo 
 
 
 
 
 
 logo 
∫ ( 
 
 
) 
 
 
∫ 
 
 
∫ ( ) 
 
 
∫ 
 
 
 
[ 
 
 
] 
 
 
[ ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
)
 
] 
 
2. Calcule o comprimento de arco da curva √ onde . Desta forma, 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
Sabemos que o comprimento 
 ∫ √ ( ) 
 
 
 ∫ √ (
 
√ 
)
 
 
 
 
 ∫ √ 
 
 
 
 
 
 
∫ √
 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
3. Um barril com seção reta elíptica está deitado no fundo de um poço cheio de água, com 10 m de 
profundidade. Ache a força hidrostática exercida sobre a tampa do barril. É dada a equação da elipse 
nos eixos da figura: 
 
 
 
 
 
Considerando a faixa horizontal, 
A área , onde 
 √ 
 
A profundidade da faixa 
 já que o poço tem 10 metros e a 
origem está a 1m do fundo. 
Portanto ( ) √ 
 
 ∑ ( ) √ 
 
 
 
 
 ∑( ) √ 
 
 
 
 
 ∫ ( ) √ 
 
 
 ∫ √ 
 
 
 ∫ √ 
 
 
 
Geometricamente a primeira integral é a área do semicírculo de 
raio 1, 
 
 
 e a segunda integral pode ser resolvida por 
substituição, mas é de uma função ímpar, logo é zero. Sendo 
assim, 
 
 
 
 
4. Um cavalo puxa uma carroça por uma estrada retilínea, exercendo uma força variável no tempo: 
 ( ) ( ) N. A carroça se desloca com velocidade constante de 7 m/s. 
a. Ache o trabalho realizado pelo cavalo nos primeiros 30 segundos. 
 ∫ ( ( ))
 
 
 [ ( ( ))]
 
 
 [ ( ) ]
 [ ( )] 
b. Suponha agora que a velocidade é variável, ( ) . Quanto fica o trabalho nos 
primeiros 5 minutos? 
 ∫ ( ( ))
 
 
 ( ) ∫ ( ) ( )
 
 
 
Integrando por partes ∫ ( ) temos que e ( ) 
 ( ) logo ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 
 [ 
 
 
 ( ) ( ) ( )] 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 
 ( ) ( )