Lista de exercícios capítulos 1 e 2

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LISTA DE EXERCI´CIOS DE MECAˆNICA FUNDAMENTAL – CAPI´TULO 1
1.1) Uma part´ıcula move-se em trajeto´ria el´ıptica dada por ~r(t) = bt [cos(ωt)xˆ+ sen(ωt)yˆ].
Calcule:
(a) A acelerac¸a˜o escalar da part´ıcula em func¸a˜o do tempo.
(b) O aˆngulo entre o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o para t = pi/2ω.
1.2) Uma part´ıcula move-se em trajeto´ria el´ıptica dada por ~r(t) = 2b cos(ωt)xˆ+4b sen(ωt)yˆ.
Calcule:
(a) A velocidade escalar da part´ıcula em func¸a˜o do tempo.
(b) O aˆngulo entre o vetor velocidade e o vetor posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
1.3) Uma part´ıcula movimenta-se no plano Oxy em uma trajeto´ria definida pela equac¸a˜o
y = x2, com x˙(t) = b (sendo b uma constante) e x(0) = 0. Calcule:
(a) O vetor posic¸a˜o da part´ıcula em func¸a˜o do tempo [~r(t)].
(b) O aˆngulo entre ~r(t = 1) e ~v(t = 1).
1.4) Uma part´ıcula move-se em trajeto´ria dada por ~r(t) = e−bt[cos(ωt)xˆ+sen(ωt)yˆ]. Calcule:
(a) A velocidade escalar da part´ıcula em func¸a˜o do tempo.
(b) O aˆngulo entre o vetor velocidade e o vetor posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
Respostas
1.1)(a) a(t) = bω
√
4 + ω2t2
1.1)(b) θ = cos−1
[
pi/
√
16 + 5pi2 + (pi4/8)
]
1.2)(a) v(t) = 2bω
√
1 + 3cos2(ωt)
1.2)(b) θ(t) = cos−1
[
3sen(ωt)cos(ωt)/
√
4 + 9sen2(ωt)cos2(ωt)
]
1.3)(a) ~r(t) = btxˆ+ b2t2yˆ
1.3)(b) θ(t = 1) = cos−1
[
(1 + 2b2)/
√
1 + 5b2 + 4b4
]
1.4)(a) v(t) = e−bt
√
b2 + ω2
1.4)(b) θ(t) = cos−1
(−b/√b2 + ω2 )
1
LISTA DE EXERCI´CIOS DE MECAˆNICA FUNDAMENTAL – CAPI´TULO 2
2.1) Uma part´ıcula de massa m incia um movimento sob a ac¸a˜o de uma forc¸a constante F0.
Apo´s um intervalo de tempo t0, a forc¸a abruptamente assume a forma F0e
−t/t0 .
(a) Esboce o gra´fico F (t) e calcule a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part´ıcula em t = 2t0.
2.2) Uma part´ıcula de massa m incia um movimento sob a ac¸a˜o de uma forc¸a γ0t. Apo´s um
intervalo de tempo t0 a forc¸a assume a forma constante γ0t0.
(a) Esboce o gra´fico F (t) e calcule a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part´ıcula em t = 2t0.
2.3) Uma part´ıcula de massa m incia um movimento sob a ac¸a˜o de uma forc¸a γ0t
4. Apo´s
um intervalo de tempo t0 a forc¸a assume a forma constante γ0t
4
0.
(a) Esboce o gra´fico F (t) e calcule a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part´ıcula em t = 2t0.
2.4) Uma part´ıcula de massa m incia um movimento sob a ac¸a˜o de uma forc¸a constante F0.
Apo´s um intervalo de tempo t0, a forc¸a assume a forma F0t0/t.
(a) Esboce o gra´fico F (t) e calcule a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part´ıcula em func¸a˜o do tempo em para t > t0.
2.5) Uma part´ıcula de massa m move-se sob a ac¸a˜o de uma forc¸a com a forma F0t/t0. Apo´s
um intervalo de tempo t0, a forc¸a assume a forma F0t0/t. Sabendo que x(0) = x0 e v0 = v0,
calcule:
(a) x(t0).
(b) Calcule a velocidade da part´ıcula em func¸a˜o do tempo em para t > t0.
2.6) Uma part´ıcula de massa m presa a uma mola move-se em movimento harmoˆnico simples
com com amplitude A. Sabendo que ela passa no instante t = 0 por uma posic¸a˜o gene´rica
x0 com velocidade v0, determine:
(a) O per´ıodo do movimento, T .
(b) A velocidade em func¸a˜o do tempo, v(t).
2
2.7) Uma part´ıcula de massa m presa a uma mola move-se em movimento harmoˆnico simples
com per´ıodo T0. Sabendo que ela passa pela posic¸a˜o de equil´ıbrio (origem) com velocidade
v0, determine a amplitude do movimento A.
2.8) Uma part´ıcula de massa m move-se sujeita ao potencial V (x) = (kx4/4)−V0. Sanbendo
que em t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x0 e possui velocidade nula (v0 = 0), calcule:
(a) A Forc¸a que atua sobre a part´ıcula em func¸a˜o da posic¸a˜o, F (x).
(b) A velocidade da part´ıcula em func¸a˜o da posic¸a˜o, v(x).
2.9) A equac¸a˜o do movimento de um oscilador harmoˆnico amortecido e´ x¨ + bx˙ + 9x = 0,
onde b e´ uma constante.
(a) Considere b = 6, x(0) = 4 e x˙(0) = −8. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de b para que o oscilador possua uma frequeˆncia angular
igual a` um terc¸o da frequeˆncia angular que este mesmo oscilador teria se na˜o houvesse
amortecimento.
2.10) Considere uma part´ıcula de massa m = 1 sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F = −6x˙ − 12x.
(a) Calcule o per´ıodo de oscilac¸a˜o, T.
(b) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula em t = pi/3
√
3, para o caso em que x(0) = −1/2 e
x˙(0) = −1.
2.11) Um certo sistema oscilato´rio obedece a` equac¸a˜o x¨+ bx˙+ x = 0.
(a) Considere b = 2, x(0) = 10, e x˙(0) = −15. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Determine o coeficiente de amortecimento b para que a frequeˆncia angular seja igual a`
metade da frequeˆncia angular que este mesmo oscilador teria se na˜o houvesse amortecimento.
2.12) A equac¸a˜o do movimento de um oscilador harmoˆnico amortecido e´ 8x¨ + bx˙ + 2x = 0,
onde b e´ uma constante.
(a) Considere b = 8, x(0) = 4 e x˙(0) = 10. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de b para que o oscilador possua uma frequeˆncia angu-
lar igual a` metade da frequeˆncia angular que este mesmo oscilador teria se na˜o houvesse
amortecimento.
3
Respostas
2.1)(a) x(t ≤ t0) = F0t2/(2m)
2.1)(b) v(2t0) = (F0t0/m)(1− e−2 + e−1)
2.2)(a) x(t ≤ t0) = γ0t3/(6m)
2.2)(b) v(2t0) = 3γ0t
2
0/(2m)
2.3)(a) x(t ≤ t0) = γ0t6/(30m)
2.3)(b) v(2t0) = 6γ0t
5
0/(5m)
2.4)(a) x(t ≤ t0) = F0t2/(2m)
2.4)(b) v(t > t0) = (F0t0/m)[1 + `n(t/t0)]
2.5)(a) x(t0) = x0 + v0t0 + F0t
2
0/(6m)
2.5)(b) v(t > t0) = v0 + (F0t0/m)[(1/2) + `n(t/t0)]
2.6)(a) T = (2pi/v0)
√
A2 − x20
2.6)(b) v(t) = −
(
Av0/
√
A2 − x20
)
sen
(
v0t/
√
A2 − x20
)
2.7) A = v0T0/(2pi)
2.8)(a) F (x) = −kx3
2.8)(b) v(x) = ±√(k/2m)(x40 − x4)
2.9)(a) x(t) = 4e−3t(1 + t)
2.9)(b) b = 4
√
2
2.10)(a) T = 2pi/
√
3
2.10)(b) x = −(3/2)e−pi/
√
3
2.11)(a) x(t) = 2e−t(5− t)
2.11)(b) b =
√
3
2.12)(a) x(t) = 4e−4t(1 + 3t)
2.12)(b) b = 4
√
3
4