1ª Lista de Exercícios de Álgebra Linear - 2º Sem 2014

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR – PROF. HENRIQUE 
1) Resolva os seguintes sistemas lineares: 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine k para que o sistema admita solução e, em seguida, exiba a solução: 
 
3) Considere as matrizes: 
 
a) Obtenha os produtos A.B e B.A 
b) Use o resultado do item anterior para resolver o sistema 
 
4) Obtenha as inversas das matrizes (caso elas sejam invertíveis). Sugestão: Realize operações elementares sobre as 
linhas da matriz até obter uma matriz linha-reduzida à forma escada que seja igual à matriz identidade. 
 
 
a) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
5) Calcule os determinantes das matrizes seguintes: 
 
 
6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, dê 
um contra exemplo. 
 
 
7) Considere os subespaços V dados abaixo. Em cada caso, verifique se W é subespaço vetorial de V. 
a) V = IR
2
, W = {(x, 4x); x 

 IR} 
b) V = IR
3
, W = {(x, 2, – 5x); x 

 IR} 
c) V = IR
2
, W = {(x, y) 

 IR
2
; y = 3x – 8} 
d) V = IR
3
, W = {(x, y, z) 

 IR
3
; y = 3z – x} 
e) V = M2x2(IR), 
; ,
2 3
a b
W a b
b a
  
   
  
 
f) V = M2x3(C), 1 0
; , ,
0
p
W p q r
q r
  
   
  
 
g) V = P(IR), W = P2(IR) = {a + bx + cx
2
; a, b, c 

 IR}, isto é, o conjunto dos polinômios de grau ≤ 2 sobre IR. 
 
8) Em cada caso abaixo obtenha W1 ∩ W2, W1 + W2 e verifique se W1  W2. 
a) W1 = {(x, y, z, t)  IR
4
; x + y = 0 e z – t = 0} e W2 = {(x, y, z, t)  IR
4 
; x – y – z + t = 0} subespaços do IR4. 
b) W1 = {(x, 2x); x  IR} e W2 = {(–x, 4x); x  IR} subespaços do IR
2
. 
 
9) Obtenha um conjunto de vetores geradores para cada um dos seguintes subespaços: 
a) W = {(x, y, z, t) 

 IR4; 2x + y – z + 4t = 0} 
b) W = {(x, y, z, t) 

 IR
4
; x + y = 0 e z – t = 0} 
 
10) Verifique que os vetores obtidos em cada item do exercício 9 são LI (linearmente independentes). 
 
11) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LD (linearmente dependentes) ou LI (linearmente 
independentes): 
a) V = IR
3
, S = {(1, 2, 3), (2, 1, – 2), (3, 1, 1), (4, – 1, – 2)} 
b) V = IR
2
, S = {(1, 1), (– 1, 1)} 
 
 
Gabarito: 
1) a) 
7 1 17
, ,
16 16 8
S
  
   
  
 b) S = {(0,0,0)} c) SI d) S = {(– 3z, 0, z)} e) SI f) 
9 21
, 2 3 ,
2
z
S z z
   
    
  
 
2) k = – 6 S = {( – 8, – 10)} 
3) a) AB = BA = I b) S = {(3,0,3,1)} 
4) A não é invertível 1
2 1 3
1 1 2
1 1 3
C
 
 
  
   
 
5) det A = 0 det B = 21 det C = 2 det D = 16 
6) (a) V (b) V (c) F (d) F (e) V (f) F (g) F 
7) São subespaços: a, d, e, g. Não são subespaços: b, c, f. 
 
8) a) W1 ∩ W2 = {(0, 0, z, z); z  IR}, W1 + W2 = {(x + a, – x + b, z + c, z – a + b + c); a, b, c, x, z  IR}, W1 + W2 
não é soma direta, pois W1 ∩ W2 ≠ {(0, 0, 0, 0)}. 
 
b) W1 ∩ W2 = {(0, 0, 0, 0)}, W1 + W2 = {(x – a, 2x + 4a); a, x IR}, W1  W2, isto é, W1 + W2 é soma direta, pois 
W1 ∩ W2 = {(0, 0, 0, 0)}. 
 
9) a) W = [(1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 4, 1)] b) W = [(1, – 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)] 
 
11) a) LD b) LI