Inequacao_1grau

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Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção 
Inequação do Primeiro 
Grau 
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 
Definição 
Equação x Inequação 
 
• Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso 
usa-se o sinal de igual (=) entre eles. 
 
• Uma inequação é uma desigualdade, então, em vez de um sinal 
de igual, usa-se sinais de: 
Inequação 
Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações: 
membro, termo, incógnita e solução. 
 
Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se: 
Incógnita X 
1º membro X + 2 
2º membro 4 
 
Numa inequação temos muitas soluções: 
 
5 é solução de 5 + 2 > 4 
3 é solução de 3 + 2 > 4 
 
OBS.: Uma inequação está resolvida quando se determina o 
conjunto solução da mesma. 
Inequação 
Toda sentença matemática que contém um ou mais 
elementos desconhecidos e que representa uma 
desigualdade é denominada inequação. 
 
Não são inequações: 
 
 5² + 5 > 3² - 2. Embora seja desigualdade, não 
possui elemento desconhecido. 
 
 3x + 1 = 45 - 4x. É uma equação. 
 
Princípios Das Desigualdades 
Princípio Aditivo 
Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg 
no outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um 
dos pratos, a situação não se altera. 
 
Matematicamente 
5 > 3 
5 + 2 > 3 + 2 
 
ou 
 
5 – 2 > 3 - 2 
Princípio Multiplicativo 
Multiplicação por um número positivo: 
Observando que 2 é menor que 3 
matematicamente escrevemos: 2 < 3 
 
Podemos multiplicar ambos os membros por 
qualquer número positivo, que a desigualdade 
não se alterará: 
 
2 x 6 < 3 x 6 
2 x 0,01 < 3 x 0,01 
Princípio Multiplicativo 
 
Podemos multiplicar 
ambos os membros de 
uma inequação por um 
n.º positivo, mantendo o 
sinal da desigualdade, 
que obtemos uma 
inequação equivalente à 
primeira. 
 
Princípio Multiplicativo 
Multiplicação por um número negativo: 
 
Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os 
lados por -1 verifica-se que: 
 
(-1) x 2 = -2 e (-1) x 3 = -3 
 
Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao 
multiplicarmos uma inequação por um número 
negativo, deve-se inverter o sinal da 
desigualdade. 
 
2 x (-1) < 3 x (-1) -2 < -3 
Princípio Multiplicativo 
Podemos multiplicar 
ambos os membros de 
uma inequação por um 
n.º negativo, 
 INVERTENDO o sinal 
da desigualdade, que 
obtemos uma 
inequação equivalente 
à primeira. 
Inequações 
Consideremos a seguinte situação: 
 
Um retângulo tem y metros de comprimento e x 
metros de largura, enquanto um triângulo 
equilátero tem 3 m de lado. Qual a sentença 
matemática que podemos escrever para 
expressar o fato de o perímetro do retângulo ser 
maior que o perímetro do triângulo equilátero? 
Inequações 
Resolução: 
 
 
 
Sendo p1 o perímetro do retângulo e p2 o 
perímetro do triângulo, temos: 
p1 = 2x + 2y e p2 = 9 
 
Como, de acordo com a situação, devemos ter 
p1 > p2, a sentença matemática pedida é: 
2x + 2y > 9 
Inequações do Primeiro Grau 
Exemplos: 
Vamos resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, 
sendo U = 
 
Resolução: 
7x - 4x > 7 - 6; 3x > 1 .: x > 1/3 
Podemos dizer que todos os números racionais 
maiores que 1/3 formam o conjunto solução da 
inequação dada, que representamos por: 
 
Inequações Do Primeiro Grau 
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau 
por meio do estudo do sinal de uma função do 
1° grau, com o seguinte procedimento: 
 
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 
2. Localiza-se a raiz no eixo x; 
3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos. 
 
Inequações Do Primeiro Grau 
Exemplo 1: 
-2x + 7 > 0 x (-1) 
2x - 7 < 0 
-2x + 7 = 0 
x = 7/2 
 
Exemplo 2: 
2x – 6 < 0 
2x – 6 = 0 
x = 3 
 
 
Inequações Do Primeiro Grau 
 
(x+3) > (-x-1) ⇔ x+3 > -x-1 ⇔ x + x + 3 + 
1 > 0 ⇔ 2x + 4 > 0 
 
Seja y = 2x + 4 2x + 4 = 0 x = -2 
Estudando os sinais da função: 
 
 
 
 
Exemplo 3: Resolver a inequação (x+3) > (-x-1). 
 
Sistemas de Inequações do 1º Grau 
Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução 
satisfaz a todas, simultaneamente. 
 
Para resolver um sistema de inequações procedemos da 
seguinte maneira: 
 
• Resolvemos individualmente cada inequação; 
• O conjunto solução do sistema é o conjunto resultado da 
intersecção das inequações resolvidas individualmente. 
 
Sistemas de Inequações Do 1º Grau 
Inequações Simultâneas 
 Sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade. 
Veja o exemplo: -3 < x < 4 
 Nessa inequação, os valores de x variam de –3 até 4. 
 
O processo de resolução das inequações simultâneas é 
semelhante ao do sistema de inequações. 
1. Separamos a inequação em duas desigualdades; 
2. Achamos as soluções individuais; 
3. A solução procurada é determinada pela intersecção das 
respostas individuais. 
 
 
Inequações Simultâneas 
Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação 
simultânea 
-x + 3 < x+ 1 < 2x 
Resolução 
Separando as desigualdades, temos: 
 
 
 
-x + 3 < x + 1 inequação 1 
 x+1 < 2x inequação 2 
 
Inequação Simultâneas 
Resolução (continuação) 
 
Encontrando o conjunto solução de cada 
inequação, individualmente, temos: 
 
 
 
Resolução (continuação) 
 
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das 
soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2: 
 
1 ∩ 2 = {x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x > 1}= {x∈ IR | x > 1} 
 
Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais. 
Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >1} = ]1, +∞) 
 
Inequação Simultâneas 
Inequações Produto e Quociente 
Sentenças matemáticas constituídas por 
desigualdades com produto ou quociente de 
funções. Essas inequações em geral, tem 
sua solução baseada no estudo da variação 
do sinal de uma função do 1o grau e nas 
propriedades dos sinais do produto e do 
quociente dos números reais. 
Inequação Produto 
Exemplo: Encontre o conjunto solução da 
inequação produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0 
Resolução: 
Cada um dos fatores (x-4) (x+2) representa uma 
função do 1o grau. Assim, iniciamos pelo estudo 
dos sinais dessas expressões que chamaremos 
de y e z, respectivamente. 
 
 
 
 
Para y = x-4 e z = x+2 temos: 
 
(1) Se y = x - 4, então sua raiz é obtida 
fazendo x - 4 = 0 ⇔ x = 4. 
 
(2) Se z = x+2 então sua raiz é 
obtida fazendo x + 2 = 0 ⇔ x = -2. 
 
Inequação Produto 
Resolução (Continuação) 
(1) (2) 
 
 
 
A solução da inequação produto é obtida a partir 
da integração das análises das variações de 
sinais de y e z, representadas acima. Após, 
aplicamos a regra de sinais do produto dos 
números reais e analisamos o resultado final 
encontrado. 
Inequação Produto 
Resolução (Continuação) 
 
 
 
 
 
 
Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está 
definida no intervalo real 
{ x ∈ IR | x < -2 ou x > 4} 
 
y 
z 
yz 
Inequação Quociente 
 
 
Resolução 
A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação 
produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou 
multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de 
sinais. Assim, cada termo do quociente representa 
uma expressão do 1o grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais 
dessas expressões que chamamos de a e b, respectivamente.Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação 
quociente do 1º grau: 
 
 < 0 
 
Inequação Quociente 
Resolução (Continuação) 
 
Para a = x-1 e b = x+5 temos: 
(1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida 
fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1. 
(2) Se b = x+5 então sua raiz é 
obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5. 
 
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das 
variações de sinais das expressões a e b, representadas acima. Após, aplicamos 
a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final 
encontrado. 
 
Inequação Quociente 
Resolução (Continuação) 
Observe: 
 
Assim, a inequação quociente < 0 está definida no intervalo 
real 
{ x ∈ IR | -5 < x < 1} 
Obrigada pela atenção! 
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