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Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática
Notas de Aula No 5
.5
Christian Q. Pinedo
5
ii Cálculo Vetorial e Séries
A meus pais
Noemi e Em memória: Christian .
iii
iv Cálculo Vetorial e Séries
Título do original
Cálculo Vetorial e Séries
Julho de 2010
Direitos exclusivos para língua portuguesa:
UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica
512.8
Pinedo. Christian Quintana, 1954 -
Cálculo Vetorial e Séries / Christian José Quintana Pinedo : Universidade
Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica,
2010.
250 p. il. 297mm
I. Cálculo Vetorial e Séries. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título
CDD 512.8 ed. CDU
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Principais propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Regras de cálculo das integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Integrais duplas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Cálculo de áreas e volumes com integração dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Mudança de variável em integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Jacobiano de uma função de n variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Integrais duplas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Integrais iteradas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Aplicações da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.1 Valor promédio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.2 Centro de massa de uma lâmina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.3 Momentos de inércia de uma lâmina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8.4 Área de uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9.1 Integrais triplas mediante integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9.2 Volumes mediante integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9.3 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . 39
1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 INTEGRAL DE LINHA 47
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Integral de linha de uma função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Aplicações da integral de linha de funções escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
v
vi Cálculo Vetorial e Séries
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.1 Gradiente. Divergente. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 Integral de linha de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.1 Trajetórias opostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7 Propriedades Fundamentais da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Integral de linha de um campo vetorial conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.9 Aplicações da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.10 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 91
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.1 Plano tangente. Vetor normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.2 Existência da integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 109
4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.1 Classificação: Limitação e Monotonia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2 Subseqüências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3 LIMITE DE SEQÜENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.1 Limite de uma seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2 Propriedades do limite de seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3.3 Seqüência de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.4 Espaço métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 SEQÜÊNCIAS CONVERGENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.1 Propriedades Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.2 Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4.3 Consequência da Propriedade (4.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.4 Teorema de Bolzano - Weirstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Christian José Quintana Pinedo vii
5 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 155
5.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2 SOMATÓRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.1 Série geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3.2 Série harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.3 Série p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3.4 Critério do n-ésimo termo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.5 Condição de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.6 Propriedade de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 174
Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4 SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.1 Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.4.2 Critério de integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4.3 Critério de comparação no limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.4.4 Critério de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.5 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.5.1 Condicionalmente convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.5.2 Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5.3 Critério D’Alembert’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.5.4 Critério de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.6 SÉRIES ALTERNADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.6.1 Critério de Leibnitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.6.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . . . . 206
Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
História do cálculo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
viii Cálculo Vetorial e Séries
PREFÁCIO
Prosseguindo o nosso objetivo o qual é apresentar um bom material de estudo para suprir a
carência de material adequado ao Cálculo Espacial para nossos leitores, apresentamos esta versão
do livro Cálculo Vetorial e Séries Numéricas.
A finalidade deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e
construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.
A ordem de apresentação dos temas desenvolvidos, é somente com o desejo de que os leitores
sejam os beneficiados em lograr maior entendimento do Cálculo Integral de funções de varias
variáveis com valores reais.e estudo das Séries com números reais.
Os estudantes, e professores e leitores em geral vinculados com o estudo da matemática
avançada, espero encontrem nesta obra temas para a preparação de suas aulas, assim como para
a aplicação de testes de avaliação.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados
em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade. No capítulo 1 o estudo
de integrais múltiplas e suas aplicações no cálculo de áreas e volumes, assim como também na
aplicação na busca do valor promédio, centros de massa, momentos de inércia, e cálculo de
superfície. Quando necessário se faz uso para os cálculos das integrais mudanças de variáveis a
coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e outras.
O capítulo 2 esta reservado para o estudo dos campos vetoriais, das integrais de linha, o
teorema de Green e suas aplicações diversas, assim como a relação importante entre integral de
linha e integral dupla
No capítulo 3 se apresenta o estudo da integral se superfície, os teoremas de Stokes e o de
ix
x Cálculo Vetorial e Séries
Gauss assim como suas aplicações.
Os dois últimos capítulos abordam temas das seqüências e series de números reais respecti-
vamente.
Este livro terá melhor entendimento desde que seja estudado o livro “Integração e Funções
de várias Variáveis” do mesmo autor, pois as notações, enfoque e abordagem dos temas segue a
mesma linha do pensamento.
Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos
leitores.
Christian Quintana Pinedo.
Palmas - TO, julho de 2010
“A Matemática é a honra do espírito humano”
Leibniz
Capítulo 1
INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA
C. Jacob
Carl Gustavo Jacob Jacobi nasceu em Postdam, Prússia, Ale-
manha, em 10 de dezembro de 1804. O primeiro mestre de Carl foi
um dos seus tios maternos, quem ensino a ele os idiomas clássicos e
matemática, preparando-lo para ingressar ao Instituto de Postdam em
1816 ainda com 12 anos.
Desde muito cedo Jacobi deu provar de ter uma "inteligência bril-
hante"segundo declarou o diretor do Instituto quando Jacobi se formou
em 1821 para logo ingressar á Universidade de Berlin e se doutorar em
1825. Em 1827 era indicado para professor extraordinário de Konigs-
berg ficando como professor permanente em 1829.
Como Gauss, Jacobi poderia lograr uma grão reputação em filolo-
gia, se não for atraído pela matemática. Havendo observado em Jacob
que tinha gênio matemático, o professor Heinrich Bauer deixou Jacobi
trabalhar do jeito que queria, pois Jacob tinha se revelado a aprender a matemática de memória, ele dizia
que seguia regras.
O desenvolvimento matemático de Jacob oferece em certos aspetos um curioso paralelo com o seu
rival H. Abel, também Jacob estudo muito as obras de L. Euler e J. Lagrange que aprendeu álgebra e
cálculo conhecendo bem a teoria dos números.
Esta auto-instrução iria a dar a Jacob forças para escrever sua primeira obra sobre funções elípticas,
Euler, o mestre dos recursos engenhosos, achou em Jacob seu brilhante sucessor sua inspiração foi muito
mais formalista que rigorista .
Jacob e Abel de modo independente e simultâneo lançaram as bases da teoria das funções elípticas,
tendo Jacob introduzido o que hoje constitui a notação para elas.
Jacob ao lado de Cauchy foram os matemáticos que mais contribuíram para a teoria dos determi-
nantes. Fui com ele que a palavra determinante recebeu aceitação final. Desde logo usou o determinante
funcional que posteriormente Sylvéster iria a chamar de Jacobiano.
Jacob também contribuiu para a teoria dos números, para a teoria das equações diferenciais ordinárias
e parciais, para o calculo das variações e outros problemas da dinâmica.
Em 1842 renuncia a sua cadeira em Konigsberg e com uma pensão do governo da Prússia viveu ate
sua morte em 1851.
1
2 Cálculo Vetorial e Séries
1.1 Introdução
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral
definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no
processo, chegar à definição de integral dupla.
1.2 Integrais duplas
Definição 1.1.
Uma função f : D ⊆ R2 −→ R com domínio D dizemos que é limitada (acotada) em D se
existem r, s ∈ R tais que r ≤ f(x, y) ≤ s, ∀ (x, y) ∈ D
Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada no conjunto fechado D, e f(x, y) > 0 ∀(x, y) ∈
D.
Tracemos retas paralelas aos eixos coordenados como indica a Figura (1.2), e suponhamos
que r1, r2, r3, · · · , rn sejam retângulos que cubram a região D (uma cobertura de D).
Figura 1.1:
Definição 1.2. Partição de um conjunto.
O conjunto P = { r1, r2, r3, · · · , rn } constitui uma partição da região fechada D.
Definição 1.3. Norma de uma partição.
A norma da partição P denotada ‖P‖ por definição é o comprimento da diagonal maior de
todos os retângulos ri contidos em P.
Seja A(ri) = 4ix4iy a área do i-ésimo retângulo ri ∈ P, e seja (xi, yi) um ponto arbitrário
escolhido noi-ésimo retângulo ri.
A soma de Riemann da função f : D ⊆ R2 −→ R associada à partição P é
m∑
i=1
f(xi, yi)A(ri) =
m∑
i=1
f(xi, yi)4ix4iy
onde f(xi, yi) é a imagem da função para o ponto (xi, yi) ∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.
Geometricamente, a soma de Riemann representa o volume do sólido embaixo da superfície
z = f(x, y) como indica a Figura (1.2).
Christian José Quintana Pinedo 3
Figura 1.2:
Definição 1.4.
Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada na região fechada D. Um número L é o limite
da soma de Riemann
n∑
i=1
f(xi, yi)A(ri) , se ∀ � > 0, existe δ > 0 tal que
∣
∣
∣
∣
∣
n∑
i=1
f(xi, yi)4ix4iy − L
∣
∣
∣
∣∣
< �
para toda partição P com ||P|| < δ e toda eleição do ponto (xi, yi) ∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.
Por equivalência esta definição podemos expressar como
L = lim
||P ||→0
n∑
i=1
f(xi, yi)A(ri)
Caso exista o número L, sempre é único.
Em coordenadas cartesianas a integral dupla escreve-se na forma
∫
D
∫
f(x, y)dA.
Definição 1.5.
Uma função limitada f : D ⊆ R2 −→ R é integrável sobre a região fechada D, e se escreve
∫
D
∫
f(x, y)dA = lim
||P ||→0
n∑
i=1
f(xi, yi)A(ri)
Se f : D ⊆ R2 −→ R é uma função integrável na região fechada D, e f(x, y) > 0, ∀ (x, y) ∈
D então a integral dupla
∫
D
∫
f(x, y)dA é igual ao volume do corpo cilíndrico limitado na parte
superior pela superfície z = f(x, y), nas laterais pela superfície cilíndrica cujas geratrizes são
paralelas ao eixo-oz e na parte inferior pelo plano-xy.
Propriedade 1.1.
Se uma função f : D ⊆ R2 −→ R é contínua na região fechada D, então f é integrável.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
4 Cálculo Vetorial e Séries
1.3 Principais propriedades da integral dupla
Se a função f(x, y) é contínua na região fechada D, o limite da soma integral existe e não
depende do procedimento da divisão da região D em regiões elementares e da seleção dos pontos
em P .
Suponhamos f : D ⊆ R2 −→ R uma função integrável na região fechada D, e seja C uma
constante, então C.f é integrável e:
1. Homogeneidade:
∫
D
∫
C · f(x, y)dA = C ·
∫
D
∫
f(x, y)dA.
2. Linearidade:
∫
D
∫
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫
D
∫
f(x, y)dA+
∫
D
∫
g(x, y)dA.
3. Linearidade: Se f(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y) + f3(x, y) + · · · + fn(x, y), então
∫
D
∫
f(x, y)dA =
∫
D
∫
f1(x, y)dA+
∫
D
∫
f2(x, y)dA+
∫
D
∫
f3(x, y)dA+· · ·+
∫
D
∫
fn(x, y)dA
4. Aditividade: Se D = D1 ∪D2 ∪D3 + · · · ∪Dn tais que Di ∩Dj = ∅ se i 6= j e f(x, y) é
integrável sobre cada uma das regiões, então
∫
D
∫
f(x, y)dA =
∫
D1
∫
f(x, y)dA+
∫
D2
∫
f(x, y)dA+
∫
D3
∫
f(x, y)dA+· · ·+
∫
Dn
∫
f(x, y)dA
5. Se g(x, y) é integrável em D, tal que g(x, y) ≤ f(x, y), ∀ (x, y) ∈ D, então
∫
D
∫
g(x, y)dA ≤
∫
D
∫
f(x, y)dA
6. Se m ≤ f(x, y) ≤M, ∀ (x, y) ∈ D então para A(D) área da região D, tem-se:
m.A(D) ≤
∫
D
∫
f(x, y)dA ≤M.A(D)
7. Sendo f(x, y) integrável em D, ela pode ser descontínua num número finito de pontos em
D com “medida” nula. Suponhamos que f(x, y) seja contínua em D, logo existirá um
(x0, y0) ∈ D tal que: ∫
D
∫
f(x, y)dA = f(x0, y0)
∫
D
∫
dA
8. Da média: Se m ≤ f(x, y) ≤ M, ∀ (x, y) ∈ D, e g(x, y) conservar seu sinal em D, então
para certo (x0, y0) ∈ D tem-se
∫
D
∫
f(x, y)g(x, y)dA = f(x0, y0)
∫
D
∫
g(x, y)dA
Christian José Quintana Pinedo 5
9. Em geral;
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
D
∫
f(x, y)dA
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
∫
D
∫
|f(x, y)|dA
Todas estas propriedades se demonstram como seus similares para funções de uma variável.
Propriedade 1.2. Darboux.
Toda função limitada f(x, y) é integrável por falta ou por excesso num domínio finito1.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Exemplo 1.1.
Determine m e M da propriedade acima descrita para a seguinte integral:
∫
D
∫
(x2 + y2)dA
onde D está limitada pelas retas x = −2, x = 3, y = x+ 2, y = −2.
Solução.
Observe que D = { (x, y) /. − 2 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ x+ 2 } e f(x, y) = x2 + y2.
Aplicando critérios de máximos e mínimos absolutos para funções de várias variáveis tem-se
que m = f(0, 0) = 0 é mínimo absoluto, e M = f(3, 5) = 34 = M é máximo absoluto de f na
restrição D. A área do trapézio D é A(D) = 22, 5.
Portanto, 0 ≤
∫
D
∫
(x2 + y2)dA ≤ 34(22, 5)
Exemplo 1.2.
Idem ao exercício anterior para a integral
∫
D
∫
1
x2 + y2 + 1
)dA, onde D é a região limitada
pela fronteira da elipse 4x2 + 9y2 = 36.
Solução.
Tem-se que D = { (x, y) /. − 1
3
√
36 − 4x2 ≤ y ≤ 1
3
√
36 − 4x2 }
Como f(x, y) =
1
x2 + y2 + 1
então de 1 ≤ 1+x2 +y2 segue que f(x, y) ≤ 1, assim o máximo
absoluto acontece em (0, 0) e f(0, 0) = 1 = M .
O valor de mínimo absoluto acontece em (0, 3) e f(0, 3) =
1
3
= m. Por outro lado, sabemos
que a área de qualquer elipse da forma b2x2 + a2y2 = a2b2 é πab, assim A(D) = (2)(3)π = 6π.
Portanto,
6π
10
≤
∫
D
∫
dA
x2 + y2 + 1
≤ 6π.
Em geral, uma integral dupla equivale a duas integrações simples sucessivas, uma em relação
a cada variável.
Teorema 1.1. do Valor médio.
1Dizemos que um domínio D ⊂ Rn é finito, se D for limitado.
6 Cálculo Vetorial e Séries
Suponhamos que f : D ⊂ R2 −→ R seja contínua em D, então existe (x0, y0) ∈ D onde
∫
D
∫
f(x, y)dA = f(x0, y0)
∫
D
∫
1.dA = f(x0, y0)A(D)
onde A(D) é a área da região D.
Demonstrar este teorema com rigor, requer alguns resultados sobre continuidade ainda não
estudados neste livro, porém podemos esboçar algumas idéias.
Como f é contínua em D, então existe um valor de máximo M e um valor de mínimo m para
f em D, isto é m ≤ f(x, y) ≤M, ∀ (x, y) ∈ D. Logo
∫
D
∫
mdA ≤
∫
D
∫
f(x, y)dA ≤M
∫
D
∫
MdA ⇒ m ≤ 1
A(D)
∫
D
∫
f(x, y)dA ≤M
Como f é função definida em D e toma todos seus valores entre o mínimo m e o máximo M 2
então existe (x0, y0) ∈ D tal que f(x0, y0) =
1
A(D)
∫
D
∫
f(x, y)dA
1.4 Regras de cálculo das integrais duplas
Até o momento foi vista a integrabilidade de uma grande variedade de funções. ainda não
foi estabelecida rigorosamente um método geral para calcular tais integrais. No caso de uma
variável, evitamos ter que calcular
b∫
a
f(x)dx a partir de sua definição como limite de uma soma,
mediante o uso do teorema fundamental do cálculo integral.
Lembre que este importante teorema diz que se f é contínua em [a, b] então
b∫
a
f(x)dx = F (b) − F (a)
onde F é uma antiderivada de f . isto é F ′(x) = f(x).
Esta técnica em geral não é válida para funções de várias variáveis.
No plano-xy distingue-se três tipos principais de regiões da integração.
1. Seja F : D ⊂ R2 −→ R uma função contínua sobre o retângulo D, onde
D = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }
Fixando a variável y em [c, d], a função F depende só da variável x, logo F (x, y) é função
2Este é o teorema do valor intermédio.
Christian José Quintana Pinedo 7
de uma variável contínua em [a, b]. Logo está bem definido
A(y) =
b∫
a
F (x, y)dx, c ≤ y ≤ d
é a área da região de interseção do plano Y = y com o sólido (Figura (1.3)).
Pelo método de área de seções planas o volume do sólido é
V =
d∫
c
A(y)dy =
d∫
c
(
b∫
a
F (x, y)dx
)
dy (1.1)
Figura 1.3: Figura 1.4:
de modo análogo, fixando a variável x tem-se que F (x, y) é função contínua de variável y
em [a, b]. Assim, está bem definido
A(x) =
d∫
c
F (x, y)dy, a ≤ x ≤ b
é a área da região de interseção do plano X = x com o sólido (Figura (1.4)).
Portanto, o volume do sólido é
V =
b∫
a
A(x)dx =
b∫
a
(
d∫
c
F (x, y)dy
)
dx (1.2)
2. A região de integração D está limitada pelo lado esquerdo e direito pelas retas x = a e x = b
respectivamente, na parte superior pela curva y = f(x), e na parte inferior pela curva
y = g(x) e cada uma de elas se intercepta com a reta vertical somente num ponto (Figura
(1.5).
8 Cálculo Vetorial e Séries
Para uma região assim defina integral dupla é calculada pela fórmula:
∫
D
∫
F (x, y)dA =
b∫
a
f(x)∫
g(x)
F (x, y)dydx
onde primeiramente calcula-se a integral
f(x)∫
g(x)
F (x, y)dy e na qual x é considerada constante.
Figura 1.5: Figura 1.6:
3. Para o caso a região integração D estivesse limitada na parte superior e inferior pelas retas
y = d e y = c , c < d e pelas linhas curvas x = g(y) e x = f(y) onde (g(y) < f(y)) cada
uma das quais se intercepta pela reta horizontal num ponto (Figura (1.6)), então
∫
D
∫
F (x, y)dA =
d∫
c
f(y)∫
g(y)
F (x, y)dxdy
onde primeiramente calcula-se a integral
f(y)∫
g(y)
F (x, y)dx e na qual y é considerada constante.
Definição 1.6.
As integrais (1.1) e (1.2) são chamadas de “integrais iteradas”de f e satisfaz:
V =
b∫
a
(
d∫
c
f(x, y)dy
)
dx =
b∫
a
d∫
c
f(x, y)dydx
V =
d∫
c
(
b∫
a
f(x, y)dx
)
dy =
d∫
c
b∫
a
f(x, y)dxdy
V =
b∫
a
d∫c
f(x, y)dydx =
d∫
c
b∫
a
f(x, y)dxdy
Christian José Quintana Pinedo 9
Assim, num domínio retangular pode-se invertir a ordem das integrações sem qualquer
atenção aos limites de integração. E verificamos que cumpre o seguinte teorema
Teorema 1.2. de Fubini3.
Seja f uma função contínua com domínio em D = [a, b] × [c, d], então
∫
D
∫
f(x, y)dydx =
b∫
a
d∫
c
f(x, y)dydx =
d∫
c
b∫
a
f(x, y)dxdy
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 1.3.
Calcular I =
∫
D
∫
xLnydxdy onde D é o retângulo 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.
Solução.
Observe que:
I =
∫
D
∫
xLnydA =
e∫
1


4∫
0
xLnydx

 dy = (1.3)
Para calcular
4∫
0
xLnydx tratamos y como se for constante e integramos respeito a x para
obter
4∫
0
xLnydx =
1
2
x2Lny
∣
∣
∣
4
0
= 8Lny
Substituindo em (1.3)
I =
∫
D
∫
xLnydA =
e∫
1


4∫
0
xLnydx

 dy =
e∫
1
8Lnydy = 8(y ln y − y)
∣
∣
∣
e
1
= 8
De modo análogo, mostra-se que:
∫
D
∫
xLnydA =
4∫
0
e∫
1
xLnydydx =
4∫
0
x(yLny − y)
∣
∣
∣
e
1
dx =
x2
2
(e− e+ 1)
∣
∣
∣
4
0
= 8
Pelas regras acima descritas, numa integral dupla, a ordem das integrações podem ser inver-
tidas, mudando convenientemente os limites de integração, como mostra o seguinte exemplo.
Exemplo 1.4.
Calcular a integral
1∫
0
1∫
y
tan(x2)dxdy.
Solução.
3Guido Fubini, nascido na Itália 1879 − 1943, provou um resultado bem geral sobre integral em 1907, porém
Cauchy e seus contemporaneos sabiam que se cumpria a igualdade para funções contínuas
10 Cálculo Vetorial e Séries
Para o cálculo de
1∫
y
tan(x2)dx não existe fórmula de integração, de modo que devemos mudar
a ordem de integração.
Tem-se que D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1 } então
1∫
0
1∫
y
tan(x2)dxdy =
1∫
0
x∫
0
tan(x2)dydy =
1∫
0
x · tan(x2)dx = 1
2
Ln(sec 1)
Exemplo 1.5.
Seja f(x, y) = x2‘ + y2 e seja D = [−1, 1] × [1, 1] calcular a integral
∫
D
∫
f(x, y)dxdy.
Solução.
Pelas regras de integração
∫
D
∫
f(x, y)dxdy =
1∫
0
1∫
−1
(x2 + y2)dxdy =
1∫
0
1
3
x3 + xy2
∣
∣
∣
1
−1
dy =
=
1∫
0
(
2
3
+ 2y2)dy =
2
3
[y + y3]
∣
∣
∣
1
0
=
4
3
⇒ I = 4
3
1.4.1 Integrais duplas generalizadas
Apresentam-se dois casos.
Primeiro caso: Quando a função F (x, y) for infinita em uma determinada “ linha” em D.
Neste caso circunda-se esta “ linha” pelas linhas paralelas bastante próximas LL1, o que
dará um novo domínio D1 no qual tem significado a integral dupla como mostra a Figura
(1.7). A integral dupla sobre D será definida agora pelo limite
∫
D
∫
F (x, y)dA = lim
D1→D
∫
D1
∫
F (x, y)dA (1.4)
Figura 1.7: Domínio limitado Figura 1.8: Domínio ilimitado
Christian José Quintana Pinedo 11
Todo fica simplificado, quando as paralelas LL1 forem paralelas a um dos eixos. Por exemplo
se as paralelas forem paralelas ao eixo-y, onde a ≤ x ≤ b com F (c, y) infinito, então a igualdade
(1.4) podemos escrever:
∫
D
∫
F (x, y)dA = lim
�→0
c−�∫
a
f(x)∫
g(x)
F (x, y)dA+ lim
�→0
b∫
c+�
f(x)∫
g(x)
F (x, y)dA
Segundo caso: Quando o domínio D for ilimitado. Neste caso poderíamos, por meio de par-
alelas a um dos eixos, ou aos dois, determinar um domínio limitado D1 (por exemplo
D1 = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ c, f(x) ≤ y ≤ g(x) }) como indica a Figura (??).
Depois poderiamos afastar estas paralelas a fim de restabelecer o domínio D.
Definimos a integral dupla em D pelo limite, suposto existente
∫
D
∫
F (x, y)dA = lim
D′→∞
∫
D′
∫
F (x, y)dA
Quando a região de integração for D, for o primeiro quadrante do plano-xy (ou o plano
tudo) o cálculo da integral fica na forma:
∫
D
∫
F (x, y)dA = lim
n→∞
n∫
−n
n∫
−n
F (x, y)dxdy primeiro quadrante
∫
D
∫
F (x, y)dA = lim
n→∞
n∫
0
n∫
0
F (x, y)dxdy plano tudo
Exemplo 1.6.
Calcular a integral I =
∞∫
0
∞∫
x
e−y
2
dydx.
Solução.
Calcular de início em relação a y é impossível determinar essa integral por métodos ele-
mentares. Mudando a ordem de integração resulta
I =
∞∫
0
y∫
0
e−y
2
dxdy =
∞∫
0
ye−y
2
dy = −1
2
[ lim
m→∞
e−m
2 − 1] = 1
2
Portanto, I =
∞∫
0
∞∫
x
e−y
2
dydx =
1
2
.
Exemplo 1.7.
Calcular
∫
D
∫
1
1 − x2 − y2 dydx, onde D é o disco unitário x
2 + y2 ≤ 1.
Solução.
12 Cálculo Vetorial e Séries
Observe que D = { (x, y) ∈ R2 /. − 1 ≤ x ≤ 1, −
√
1 − x2 ≤ y ≤
√
1 − x2 }.
Como a fronteira de D é o conjunto de pontos x2 + y2 = 1, a função a integrar não está
definida nestes pontos de fronteira. pois nestes pontos o denominador é zero.
Calculemos esta integral iterada imprópria.
1∫
−1
√
1−x2∫
√
1−x2
1
1 − x2 − y2 dydx =
1∫
−1
[
arcsen
] ∣
∣
∣
√
1−x2
√
1−x2
=
=
1∫
−1
[arcsen(1) − arcsen(−1)]dx = π
1∫
−1
1.dx = 2π
Exemplo 1.8.
Sejam f(x, y) =
1
x− y e D = { (x, y) ∈ R
2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x }. Calcular a
integral de f sobre D.
Solução.
Tem-se
∫
D
∫
1
x− ydydx =
1∫
0
x∫
0
1
x− ydydx =
1∫
0
Ln(x− y)
∣
∣
∣
x
0
dx = −
1∫
0
[
lim
m→x
Ln(x−m) − Lnx
]
dx
= −
1∫
0
[−∞− Lnx]dx = +∞ + (xLnx− x)
∣
∣
∣
1
0
= +∞− 1 − lim
k→0
(k ln k − k) = +∞− 1 + ∞
Portanto f não é integrável em D.
Christian José Quintana Pinedo 13
Exercícios 1-1
1. Calcular
∫
D
∫
y2
x2 + 1
dydx onde a região D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 }.
2. Calcular as seguintes integrais:
1.
π/2∫
−π/2
cos θ∫
0
r2sen2θdrdθ 2.
2∫
1
x2∫
0
ey/xdydx 3.
4∫
3
2∫
1
dydx
(x+ y)2
4.
2π∫
0
a∫
0
y · cos2 xdydx 5.
3∫
1
x∫
x2
(x− y)dydx 6.
2∫
1
2x∫
0
xy3dydx
7.
1∫
0
1∫
0
(x− y)dydx 8.
1∫
0
y∫
y2
√
x/ydxdy 9.
1∫
0
y2∫
0
ex/ydxdy
10.
π/3∫
0
senx∫
1/2
(1 +
1
√
1 − y2
)dydx 11.
2∫
0
3ex
2
∫
√
4−x2
xdydx 12.
1∫
0
3x∫
2x
ex+ydydx
13.
3∫
−3
√
9−x2∫
0
√
x2 + y2dydx 14.
√
π∫
0
√
π∫
y
cos(x2)dxdy 15.
π/2∫
0
y∫
−y
senxdxdy
3. Mudar a ordem de integração das seguintes integrais:
1.
1∫
−1
1−x2∫
−
√
1−x2
f(x, y)dydx 2.
2∫
−6
2−x∫
x2
4
−1
f(x, y)dydx 3.
e∫
1
Lnx∫
0
f(x, y)dydx
4.
1∫
0
x∫
0
f(x, y)dydx 5.
1∫
0
1+
√
1−y2
∫
2−y
f(x, y)dxdy 6.
1∫
0
√
1−x2∫
(1−x)2
2
f(x, y)dydx
7.
π∫
0
senx∫
0
f(x, y)dydx 8.
2π∫
0
a∫
0
f(x, y)dydx 9.
2π∫
0
a∫
0
f(x, y)dydx
10.
1∫
0
y+2∫
y2
f(x, y)dxdy 11.
1∫
0
1−y∫
−√1−y 2
f(x, y)dxdy 12.
4. Dada a região D, decomponha
∫
D
∫
f(x, y)dA nas duas possíveis ordens de integração.
1. D é a região limitada pelas curvas x2 − y2 = 1, 3x = 2y2.
2. D é a região que não contêm a origem e é limitada pelas curvas x2−y2 = 1, x2 +
y2 = 9.
14 Cálculo Vetorial e Séries
5. Calcular as seguintes integrais pela inversão da ordem de integração.
1.
1∫
0
1∫
y
e−3x
2
dxdy 2.
4∫
0
2∫
√
x
nseny3dydx 3.
1∫
0
arccosx∫
0
esenydydx
6. Mostrar que:
1.
1
e
≤ 1
4π2
π∫
−π
π∫
−π
esen(x+y)dA ≤ e 2. 1
2
(1 − cos 1) ≤
1∫
0
1∫
0
senx
1 + (xy)4
dxdy ≤ 1
3. 1 ≤
1∫
−1
1∫
−1
dxdy
x2 + y2 + 1
≤ 6 4. 1
6
≤
∫
D
∫
dA
y − x+ 3 ≤
1
4
onde D é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1), (1, 0)
7. Calcular as integrais caso existam.
1.
∫
D
∫
1√
xy
dA, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }
2.
∫
D
∫
1
√
|x− y|
dxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }
3.
∫
D
∫
y
x
dxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, x
2
≤ y ≤ x }
4.
∫
D
∫
lnxdxdy, onde D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ y }
8. Calcular as seguintes integrais generalizadas:
1.
∞∫
−∞
∞∫
−∞
dxdy
1 + x2 + y2
2.
∞∫
−∞
∞∫
−∞
dxdy
3
√
(1 + x2 + y2)2
3.
∞∫
0
∞∫
−∞
dxdy
(a2 + x2 + y2)2
4.
∞∫
−∞
∞∫
−∞
e−|x|−|y|dxdy 5.
∞∫
0
∞∫
0
(x+ y)e−(x+y)dxdy 6.
∞∫
0
∞∫
0
xye−x
2−y2dxdy
Respostas: 1. (3.) 42; (4.) 1/3 ;(5.) 1/5 ; (6.) 1/2 (7.) ;(8.)
3
2
e4 − 25
6
; (9.)
1
4
e4 − 1
3
e3 +
1
12
2. (10.) 9π; (11.) 0;
Christian José Quintana Pinedo 15
1.5 Cálculo de áreas e volumes com integração dupla
1. Se F : D ⊂ R2 −→ R é uma função contínua na região fechada D, então
V =
∫
D
∫
F (x, y)dA
é a medida do volume do sólido limitado pela fronteira de D (geratrizes paralelas respeito
algúm dos eixos de coordenadas) , pela superfície F (x, y)tendo como base a região D no
plano de coordenadas.
2. Seja S uma região fechada no plano-xy e F : S ⊂ R2 −→ R é uma função contínua tal que
F (x, y) = 1, ∀ (x, y) ∈ S, então a área da região s tem como medida
A(S) =
∫
S
∫
1 · dA
Exemplo 1.9.
Determine a área da região plana que se encontra no primeiro quadrante e está limitado pelo
círculo x2 + y2 = 18 e a parábola y2 = 3x.
Solução.
Figura 1.9:
A região D está representada na Figura (1.9) e sua área está
dada por
A(D) =
3∫
0
√
18−y2
∫
x
3
1.dxdy =
6 + 9π
4
unidades quadradas.
Exemplo 1.10.
Determinar o volume da região limitada pelo plano-xy, o
plano x+ y + z = 2, e o cilindro parabólico y = x2.
Tem-se que D = { (x, y) ∈ R2 /. − 2 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2 − x }. O volume V do sólido
está limitado na base por D, nas laterais pela fronteira de D e na parte superior pelo plano
z = 2 − x− y.
V =
∫
D
∫
(2 − x− y)dA =
1∫
−2
2−x∫
x2
(2 − x− y)dydx = 81
20
Exemplo 1.11.
Determine o volume V da superfície f(x, y) = xy limitada na base pelo plano-xy tendo como
geratriz a fronteira da região D = { (x, y) ∈ R2 /. (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4 } .
Solução.
16 Cálculo Vetorial e Séries
Considerando a integração primeiro em relação a y a variável x será tratada coo constante,
mas y só poderá ter a variação
2 −
√
4x− x2 ≤ y ≤ 2 +
√
4x− x2, 0 ≤ x ≤ 4
assim
V =
4∫
0
2+
√
4x−x2∫
2−
√
4x−x2
xydydx =
4∫
0
[
1
2
xy2
] ∣
∣
∣
2+
√
4x−x2
2−
√
4x−x2
dx = 4
4∫
0
x
√
4x− x2dx =
=
[
4
3
(x2 − x− 6)
√
4x− x2 + 16arcsenx− 2
2
] ∣
∣
∣
4
0
= 16π
Portanto, o volume V = 16π.
1.6 Mudança de variável em integrais duplas
Suponhamos temos uma transformação ϕ : R2 −→ R2 de classe C1 definida por ϕ(u, v) =
(5u−u2, 2v), observe que a região D = [0, 1]× [0, 1] é transformada na região D1 = [0, 4]× [0, 2],
evidentemente a área A(D) = 1 e A(D1) = 8.
Podemos imaginar que, se x = x(u, v) e y = y(u, v) então é válida a igualdade
∫
D
∫
f(x, y)dxdy =
∫
D1
∫
f(x(u, v), y(u, v))dudv
onde f ◦ T (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) é a função composta definida em D1.
Porém quando f(x, y) = 1 teríamos
1 = A(D) =
∫
D
∫
1.dxdy =
∫
D1
∫
1.dudv = A(D1) = 8
isto é um absurdo!
O que estamos precisando para superar este impasse, é uma ferramenta que permita retificar
essa medida na transformação. O determinante jacobiano é a mais indicado e assim definida.
1.6.1 Jacobiano de uma função de n variáveis
Definição 1.7.
Seja ϕ : U ⊂ R2 −→ R2 uma transformação na classe C1 dada por x = x(u, v), y = y(u, v).
O Jacobiano de ϕ, se escreve
∂(x, y)
∂(u, v)
ou J(u, v), é o determinante da matriz derivada dϕ(x, y)
de ϕ.
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Christian José Quintana Pinedo 17
• Para o caso particular da transformação x = x(u, v), y = y(u, v) tem-se:
∂(x, y)
∂(u, v)
= J(u, v) = mod
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
então ∫
D
∫
f(x, y)dA =
∫
D1
∫
f(x(u, v), y(u, v))J(u, v)dudv
• Para o caso particular da transformação x = rsenθ, y = r cos θ, r > 0 tem-se:
∂(x, y)
∂(r, θ)
= J(r, θ) = mod
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= r
Este conceito do Jacobiano, pode ser estendida a funções de várias variáveis.
Definição 1.8.
Seja f : D ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto fechado D.
Suponhamos que ϕ : U ⊂ Rn −→ Rn função contínua, diferenciável e injetora no conjunto
aberto U . Se S é um conjunto fechado contido em U tal que D é a imagem de ϕ em S, isto é:
ϕ(S) = D = { (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn /. (x1, x2, x3, · · · , xn) = ϕ(y1, y2, y3, · · · , yn) =
= (ϕ1(y1, y2, y3, · · · , yn), ϕ2(y1, y2, y3, · · · , yn), · · · , ϕn(y1, y2, y3, · · · , yn), }
Então
(f ◦ ϕ)(x1, x2, x3, · · · , xn) = f(ϕ(y1, y2, y3, · · · , yn)) · J(y1, y2, y3, · · · , yn)
onde J(y1, y2, y3, · · · , yn) é o Jacobiano da transformação ϕ definida por:
∂(x1, x2, x3, · · · , xn)
∂(y1, y2, y3, · · · , yn)
= J(y1, y2, y3, · · · , yn) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂ϕ1
∂y1
∂ϕ1
∂y2
· · · ∂ϕ1
∂yn
∂ϕ2
∂y1
∂ϕ2
∂y2
· · · ∂ϕn
∂y2
...
... · · · ...
∂ϕn
∂y1
∂ϕ2
∂yn
· · · ∂ϕn
∂yn
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema 1.3. Mudança de variáveis.
Sejam D e D∗ regiões elementares do plano. e seja ϕ : D∗ −→ D transformação de classe
C1, supor que ϕ seja injetora em D∗ e ϕ(D∗) = D. Então para qualquer função integrável
f : D ⊂ R −→ R tem-se
∫
D
∫
f(x, y)dxdy =
∫
D∗
∫
f(x(u, v), y(u, v))
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
dudv
18 Cálculo Vetorial e Séries
A demonstração é exercício para o leitor.
Exemplo 1.12.
Seja o paralelogramo limitado por y = 2x, y = 2x− 2, y = x e y = x+ 1. Apresentar
a integral
∫
D
∫
xy · dxdy mediante a mudança de variáveis x = u− v, y = 2u− v.
Solução.
A transformação é injetora e está desenhada na Figura (1.10), de modo que transforma o
retângulo D∗ limitado por v = 0, v = −2, u = 0 e u = 1 sobre D.
Figura 1.10: Transformação linear ϕ
O Jacobiano
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
det
(
1 −1
2 1
)∣
∣
∣
∣
∣
= 1. Assim
∫
D
∫
xy · dxdy =
∫
D∗
∫
(u− v)(2u− v) · dudv =
0∫
−2
1∫
0
(2u2 − 3vu+ v2) · dudv
Exemplo 1.13.
Calcular I =
∫
D
∫
e−(x
2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo
x2 + y2 ≤ a2 e os eixos coordenados.
Solução.
Um dos propósitos do Teorema (1.3) é proporcionar um método mediante o qual seja possível
simplificar os cálculos de algumas integrais duplas.
Exemplo 1.14.
Calcular I =
∫
D
∫
e−(x
2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo
x2 + y2 ≤ a2 e os eixos coordenados.
Solução.
Considerando a transformação x = r cos θ, y = rsenθ onde 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π
2
, então
I =
∫
D
∫
e−(x
2+y2)dA =
π/2∫
0
a∫
0
e−r
2
rdrdθ =
π
4
(1 − e−a2)
Christian José Quintana Pinedo 19
Exemplo 1.15.
Calcular a integral
∫
D
∫ √
1 − x
2
a2
− y
2
b2
onde D é a região limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Solução.
A forma do integrando e a natureza da região sugere que x = a.u cos v, y = b.usenv. Então
0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣
∣
∣
∣
∣
a cos v −a.usenv
b.senv b.u cos v
∣
∣
∣
∣
∣
= abu(cos2 v + sen2v) = abu
Portanto, I =
∫
D
∫ √
1 − x
2
a2
− y
2
b2
=
2π∫
0
1∫
0
√
1 − u2abududv = 2
3
abπ.
Exemplo 1.16.
Achar a área da região no primeiro quadrante do plano-xy limitada pelas curvas x+ 2y2 =
1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5.
Solução.
Fazendo a transformação u = x2 + 2y2, v =
y
x
, tem-se que a região do plano-xy fica
transformada num retângulo no plano-uv, onde 1 ≤ u ≤ 4, 2 ≤ v ≤ 5.
O Jacobiano é determinado assim:
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2x 4y
− y
x2
1
x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2 +
4y2
x2
de onde J(u, v) =
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
2 +
4y2
x2
=
1
2(1 + 2v2)
, logo a área pedida é:
A =
∫
D
∫
1.dA =
5∫
2
4∫
1
dudv
2(1 + 2v2)
=
3
√
2
4
arctan(
√
2
3
)
1.7 Integrais duplas en coordenadas polares
Seja D ⊂ R2 uma região limitada pelas retas θ = α, θ = β e pelas circunferências r = a e
r = b.
Uma partição P da região D obtém-se traçando retas através do pólo e circunferências com
centros no pólo, obtendo assim uma rede de regiões chamadas retângulos curvados.
A norma da partição denotada ||P || é o comprimento da diagonal maior dos n retângulos
curvados. A área do i-ésimo retângulo curvado é igual à diferença das áreas dos setores circulares.
4iA =
1
2
r2i (θi − θi−1 −
1
2
r2i−1(θi − θi−1) =
20 Cálculo Vetorial e Séries
=
1
2
(ri − ri−1)(ri + ri−1)(θi − θi−1)
Figura 1.11: Coordenadas
polares
Considerando r̄i =
1
2
(ri− ri−1), 4ir = (ri + ri−1),4iθ =
θi − θi−1 tem-se 4iA = r̄i · 4ir · 4iθ.
seja f : D ⊂ R2 −→ R função contínua e (r̄i, θ̄i) um ponto
na i-ésima subregião de D com θi−1 ≤ θ̄ ≤ θi. A soma de
Riemann associada a f é dada por
n∑
f(r̄i, θ̄i)4iA =
n∑
i=1
f(r̄i, θ̄i)r̄i · 4ir · 4iθ
A integral dupla em coordenadas polares é dada por
∫
D
∫
f(r, θ)dA = lim
||P ||→0
n∑
i=1
f(r̄i, θ̄i)r̄i.4ir.4iθ =
∫
D
∫
f(r, θ)r.drdθ
Observação 1.1.O volume do sólido que tem como base a região D no plano de coordenada polar, e que esta
limitado superiormente pela superfície z = f(r, θ) onde f : D ⊂ R2 −→ R é função contínua
sobre D com f(r, θ) ≥ 0 em D é:
V =
∫
D
∫
f(r, θ)r.drdθ
1.7.1 Integrais iteradas em coordenadas polares
1. Seja D = { (r, θ) /. α ≤ θ ≤ β, ϕ1(θ) ≤ r ≤ ϕ2(θ) } região polar no plano polar, e
f : D ⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.12). Então
∫
D
∫
f(r, θ)dA =
β∫
α
ϕ2(θ)∫
ϕ1(θ)
f(r, θ)r.drdθ
Figura 1.12: Figura 1.13:
2. Seja D = { (r, θ) /. a ≤ r ≤ b, ψ1(r) ≤ θ ≤ ψ2(r) } região polar no plano polar, e
Christian José Quintana Pinedo 21
f : D ⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.13). Então
∫
D
∫
f(r, θ)dA =
b∫
a
ψ2(r)∫
ψ1(r)
f(r, θ)r.dθdr
Exemplo 1.17.
Calcular I =
∫
D
∫
e−(x
2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelos eixos
coordenados.
Solução.
Seja a transformação x = r cos θ, y = rsenθ onde 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ π
2
, então
I =
∫
D
∫
e−(x
2+y2)dA =
π/2∫
0
+∞∫
0
e−r
2
rdrdθ =
π/2∫
0
dθ =
π
4
Exemplo 1.18.
Calcular I =
2∫
−2
2+
√
4−x2∫
2−
√
4−x2
√
16 − x2 − y2dydx.
Solução.
Tem-se que a região de integração é
D = { (x, y) ∈ R2 /. − 2 ≤ x ≤ 2, 2 −
√
4 − x2 ≤ y ≤ 2 +
√
4 − x2 }
A região D é o disco no plano-xy, o centro da figura circular é (0, 2) e raio r = 2. A função
f(x, y) =
√
16 − x2 − y2 é a semi-esfera de centro (0, 0, 0) e raio 4, esta superfície é simétrica
respeito do eixo-z.
Assim, 0 ≤ θ ≤ π, para obter a variação de r substituimos na equação do disco 0 ≤ x2 +(y−
2)2 ≤ 22 para obter 0 ≤ r ≤ 4senθ. Logo
I =
2∫
−2
2+
√
4−x2∫
2−
√
4−x2
√
16 − x2 − y2dydx = 2
2∫
0
2+
√
4−x2∫
2−
√
4−x2
√
16 − x2 − y2dydx =
= 2
π/2∫
0
4senθ∫
0
√
16 − r2rdrdθ = 64(3π − 4)
9
Portanto, I =
64(3π − 4)
9
.
Exemplo 1.19.
Determine o volume do sólido S limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4, e o hiperboloide x2 +
y2 − z2 = 1.
22 Cálculo Vetorial e Séries
Solução.
Figura 1.14:
A Figura (1.14) mostra o volume a calcular, a medida
desse sólido é:
V =
∫
D
∫
[
√
x2 + y2 − 1 − (−
√
x2 + y2 − 1)]dA
Em coordenadas polares tem-se
V =
2π∫
0
2∫
1
2
√
r2 − 1rdrdθ = 4
√
3
Christian José Quintana Pinedo 23
Exercícios 1-2
1. Calcular a área da região D limitada pelas curvas dadas.
1. y2 = x, x− y = 2 2. y = |x|, 4y = 4x2 + 1
3. D = { (x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ π
3
, senx ≤ y ≤ sec2 x }
4. D = { (x, y) ∈ R2 / 1
2
4
√
y ≤ x ≤ 1
1 + y2
, 0 ≤ y ≤
√
3
3
}
5. D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2)2 = 2ax3 }
6. D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2)3 = x4 + y4 }
7. D = { (x, y) ∈ R2 / (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) }
2. Um sólido está limitado pelas superfícies y2 + z2 = 4ax, x = 3a, e está situado no interior
de y2 = ax. Achar seu volume.
3. Utilizar coordenadas polares para calcular as seguintes integrais.
1.
∫
D
∫
ex
2+y2dxdy D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 1 }
2.
∫
D
∫
dxdy
2 − x2 − y2 D = { (x, y) ∈ R
2 /. x2 + y2 ≤ 1 }
3.
4∫
−4
√
16−x2∫
−
√
16−x2
e−x
2−y2dxdy 4.
a∫
0
a∫
y
√
a2 − x2dxdy
4. Utilizar integral dupla para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas |x| = y2 e
2|x| = y2 + 4.
5. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2 /. 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 1 }.
6. Determine a área da região plana do primeiro quadrante, limitada pelo eixo-x, a circunfe-
rência x2 + y2 = 18 e a parábola y2 = 3x.
7. Mediante integrais duplas, determine a área de um círculo de raio r.
8. Determine a área da região limitada pela curva y = |x2−2x−3| e as retas y+1 = 0, x−1 = 0
e x = 4.
9. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2 /. x2 + (y − 1)2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 1 }.
10. Para cada um dos seguintes exercícios, calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies.
1. 3x+ 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0
2. z = senxseny, z = 0, x = π, y = 0, y = π
11. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 e
pelo cilindro z = 1 − y2.
24 Cálculo Vetorial e Séries
12. Calcular o volume do sólido que não contêm a origem e que é limitado pelo gráfico z =
4 − r2, pelo cilindro r = 1 e pelo plano z = 0.
13. Calcular o volume do sólido interior à esfera z2 + r2 = 16 e ao cilindro r = 4 cos θ.
14. Calcular o volume da região do espaço no primeiro octante, compreendida entre os cilindros
x2 + y2 = a2 e x2z2 = a2, a > 0.
15. Calcular o volume do elipsóide x2 + y2 + 4z2 ≤ 4.
16. Calcular o volume do cone de base r e altura h.
17. Calcular
∫
D
∫
(cos(2x) + seny)dxdy onde D é a região limitada pelas curvas xy = 1, y =
√
x, x = 2.
18. Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e o plano
2x+ y + z = 6.
19. Calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e os
planos x+ y + 4z = 20, 3x+ 4y + 4z = 16, x+ y = 4.
20. Determine o volume de um tetraedro limitado por
x
3
+
y
4
+
z
5
= 1 e os planos coordenados.
Christian José Quintana Pinedo 25
1.8 Aplicações da integral dupla
1.8.1 Valor promédio
Sejam x1, x2, x3, · · · , xn números qualquer, seu promédio está definido por
[xi]prom
x1 + x2 + x3 + · · · + xn
n
=
1
n
n∑
i=1
xi
Este conceito nos leva a definir o valor promédio de uma função de uma variável no intervalo
[a, b] por
[f(x)]prom =
b∫
a
f(x)dx
b− a
Para o caso de funções f de duas variáveis , a razão da integral de f á área de D
[f(x, y)]prom =
∫
D
∫
f(x, y)dA
∫
D
∫
1.dA
é chamado de valor promédio.
Exemplo 1.20.
Calcular o valor promédio de f(x, y) = xsen2(xy) sobre a região D = [0, π] × [0, π].
Solução.
Calculemos a integral sobre f . É imediato que A(D) = π2
∫
D
∫
f(x, y)dA =
π∫
0
π∫
0
xsen2(xy)(xy)dydx =
1
2
π∫
0
π∫
0
(x− x cos(2xy))dydx =
=
1
2
π∫
0
(xy − 1
2
sen(xy))
∣
∣
∣
π
0
dx =
1
4
π∫
0
(2πx− sen(πx))dx =
=
1
4
[πx2 − 1
2π
cos(2πx)]
∣
∣
∣
π
0
=
1
8
[2π3 + cos(2π2) − 1]
Logo o valor promédio é [f(x, y)]prom =
π
4
+
cos(2π 2) − 1
8π
≈ 0, 7839.
1.8.2 Centro de massa de uma lâmina
Se tentamos balançar massas em uma alavanca (Figura (1.15), o ponto de equilíbrio x̄ ocor-
rerá durante o momento total (massa por distância ao ponto de equilíbrio) zero, isto é, onde
3∑
i=1
mi(xi − x̄) = 0.
26 Cálculo Vetorial e Séries
Em geral quando se colocam m1, m2, m3, · · · , mn nos pontos x1, x2, x3, · · · , xn sobre o
eixo-x, seu centro de massa ou centro do sistema se define como:
n∑
i=1
mi(xi − x̄) = 0, de onde.
x̄ =
n∑
i=1
mixi
n∑
i=1
mi
(1.5)
Figura 1.15:
Quando estudamos integração em uma variável para achar o centro de massa de uma lâmina
homogênea consideramos aquelas cuja densidade ρ(x) da área era constante análogo a nossa
fórmula (1.5).
x̄ =
∫
xρ(x)dx
∫
ρ(x)dx
Figura 1.16:
Nesta seção estudaremos o modo de calcular o centro de
massa mediante integrais duplas, de qualquer lâmina seja esta
homogênea ou não.
A Figura (1.16) mostra que a placa se equilíbra quando o
ponto de apoio se encontra no seu centro de massa.
Seja D uma lâmina que tem a forma fechada D no plano-xy,
e seja ρ a medida da densidade da área da lâmina em qualquer
ponto (x, y) de D onde ρ : D ⊂ R2 −→ R é função contínua
sobre D. A massa total M da lâmina esta dada por
M =
∫
D
∫
ρ(x, y)dA
O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-x é
Mx =
∫
D
∫
yρ(x, y)dA
O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-y é
My =
∫
D
∫
xρ(x, y)dA
Christian José Quintana Pinedo 27
Portanto, o centro de massa da lâmina no ponto (x̄, ȳ) é
x̄ =
My
M
=
∫
D
∫
xρ(x, y)dA
∫
D
∫
ρ(x, y)dA
ȳ =
Mx
M
=
∫
D
∫
yρ(x, y)dA
∫
D
∫
ρ(x, y)dA
Exemplo 1.21.
Uma lâmina na forma de um triângulo retângulo isósceles tem uma densidade de área que
varia com o quadrado da distância ao vértice do ângulo reto. Se a massa se mede em kg e a
distância em cm. Achar a massa e o centro da massa da lâmina.
Solução.
Observe que a distância do ângulo reto a qualquer ponto é igual a
√
x2 + y2, logo a densidade
é dada por ρ(x) = k(x2 + y2 onde k é constante. A Figura (1.17) mostra a lâmina,assim:
M =
∫
D
∫
ρ(x, y)dA =
a∫
0
a−x∫
0
k(x2 + y2)dydx
de onde M =
1
6
ka3. Por outro lado,
Mx =
∫
D
∫
yρ(x, y)dA = k
a∫
0
a−x∫
0
y(x2 + y2)dydx
de onde Mx =
1
15
a5. Por último
My =
∫
D
∫
xρ(x, y)dA =
1
15
a5
Portanto o centro de massa é (x̄, ȳ) = (
2a
5
,
2a
5
).
-�
�
�
6
@
@
@
@
@
@
@
@
P (x, y)
y
x
a
a0
d
Figura 1.17: Figura 1.18:
28 Cálculo Vetorial e Séries
Exemplo 1.22.
Achar o centro da massa de uma lâmina homogênea (densidade constante) que tem a forma
de uma região limitada pela parabola y = 2 − 3x2 e a reta 3x+ 2y = 1.
Solução.
Podemos verificar sem dificuldade que o ponto de interseção da parabola e reta são os pontos
(−1
2
,
5
4
) e (−1, 1). A Figura (1.18) mostra a região de integração
Logo tem-se:
M =
1∫
− 1
2
2−3x2∫
1
2
(1−3x)
ρdydx =
27
16
ρ
Mx =
1∫
− 1
2
2−3x2∫
1
2
(1−3x)
ρydydx =
27
20
ρ
My =
1∫
− 1
2
2−3x2∫
1
2
(1−3x)
ρxdydx =
27
64
ρ
Portanto, (x̄, ȳ) = (
1
4
,
4
5
) é o centro da massa da lâmina.
1.8.3 Momentos de inércia de uma lâmina
Definição 1.9.
Se uma partícula de uma massa se encontra a d unidades de distância de uma reta L então
o número I = md2 chamamos de momento de inércia da partícula m respeito de L
O momento de massa de uma partícula geralmente es denominado de primeiro momento e o
momento de inércia é chamado de segundo momento
Um sistema de partículas de massasm1,m2,m,m3, · · · ,mn situadas a distâncias d1, d2, d3, · · · , dn
respectivamente, desde uma reta L tem o momento de inércia I que se define como a soma dos
momentos das partículas individuais.
I =
n∑
i=1
mid
2
i
É evidente que por nosso processo usual de passo al limite o momento de inércia de uma
lâmina que tem a forma de uma região plane com densidade ρ : S ⊂ R2 −→ R contínua pode se
achar respeito a qualquer reta L.
Em particular é evidente, que os momentos de inércia la lâmina respeito aos eixos-x e y estão
dados por;
Ix =
∫
S
∫
y2ρ(x, y)dA Iy =
∫
S
∫
x2ρ(x, y)dA
Christian José Quintana Pinedo 29
O momento de inércia entorno da origem (0, 0) esta dado por
Io = Ix + Iy =
∫
S
∫
(x2 + y2)ρ(x, y)dA
O momento de inércia entorno da reta L : ax+ by = c esta dado por
IL =
∫
S
∫
(
ax+ by√
a2 + b2
)2ρ(x, y)dA
Exemplo 1.23.
Uma lâmina com densidade ρ(x, y) = xy está limitada pelo eixo-x, a reta x = 8, e a curva
y =
3
√
x2. Determine sua massa total, o centro de massa e os momentos de inércia entorno dos
eixos-x, y e z.
Solução.
Massa: M =
∫
D
∫
ρ(x, y)dA =
8∫
0
3√
x2∫
0
yxdydx =
8∫
0
1
2
y2x
∣
∣
∣
3√
x2
0
dx =
=
1
2
8∫
0
3
√
x7dx =
1
2
[
3
10
3
√
x10
] ∣
∣
∣
8
0
=
768
5
Centro de massa: Cálculo dos momentos.
Respeito do eixo-y é My =
∫
D
∫
xρ(x, y)dA =
8∫
0
3√
x2∫
0
yx2dydx =
8∫
0
1
2
y2x2
∣
∣
∣
3√
x2
0
dx =
=
1
2
8∫
0
3
√
x10dx =
1
2
[
3
10
3
√
x13
] ∣
∣
∣
8
0
=
1024
3
Respeito do eixo-x é My =
∫
D
∫
yρ(x, y)dA =
8∫
0
3√
x2∫
0
y2xdydx =
8∫
0
1
3
y3x
∣
∣
∣
3√
x2
0
dx =
=
1
3
8∫
0
x3dx =
1
3
[
1
4
x4
] ∣
∣
∣
8
0
=
1024
3
Logo, x̄ =
My
M
=
80
13
, ȳ =
Mx
M
=
20
9
Momentos de inércia: Respeito.
Do eixo-x é Ix =
∫
D
∫
xy3da =
8∫
0
3√
x2∫
0
xy3dydx =
1
4
8∫
0
xy4
∣
∣
∣
3√
x2
0
dx =
6144
7
.
30 Cálculo Vetorial e Séries
Do eixo-y é Iy =
∫
D
∫
x3yda =
8∫
0
3√
x2∫
0
x3ydydx =
1
2
8∫
0
x3y2
∣
∣
∣
3√
x2
0
dx = 6144
Do eixo-z é Iz = Ix + Iy =
49.152
7
≈7021,71.
Exemplo 1.24.
Determine o centro da massa de uma lâmina com forma da um quarto de círculo de raio r
com densidade proporcional à distância ao centro do círculo.
Solução.
Pelos dados do problema, ρ(x, y) = k
√
x2 + y2, onde k é a constante de proporcionalidade.
Em coordenadas polares.
M =
∫
D
∫
k
√
x2 + y2dA =
π/2∫
0
r∫
0
r · rdrdθ = kπr
3
6
também
My =
∫
D
∫
kx
√
x2 + y2dA =
π/2∫
0
r∫
0
(r cos θ)r2drdθ =
kr2
4
Assim, x̄ =
My
M
=
kr4/4
kπr3/6
=
3r
2π
.
Como a lâmina é simétrica respeito do seu eixo, concluímos que ȳ = x̄ =
3r
2π
.
Exemplo 1.25.
Calcular o momento de inércia da região D limitada pela hipérbole xy = 4 e a reta x+ y = 5
com respeito à reta x− y = 0.
Solução.
A distância de qualquer ponto (x, y) da região D à reta x− y = 0 está dada por d = x− y√
2
.
Logo
IL =
1
2
4∫
1
5−x∫
4/x
(x− y)2dydx = 11
6
4∫
1
(x− y)3dx
∣
∣
∣
5−x
4/x
dx = 16Ln2 +
75
8
Definição 1.10. Raio de giro.
O raio de giro de um objeto respeito de um eixo L é o número R definido por R =
√
I
M
onde I é o momento de inércia respeito do eixo-L, e M é a massa total do objeto.
Solução.
Exemplo 1.26.
Achar o raio de giro de uma lâmina semicircular com respeito a seu diâmetro, se a densidade
da lâmina em qualquer ponto é proporcional à distância entre o ponto e seu diâmetro .
Solução.
Christian José Quintana Pinedo 31
Podemos supor o semicírculo y =
√
a2 − x2, sua densidade é ρ(x, y) = ky.
Logo Ix =
a∫
−a
√
x2−a2∫
0
ky3dydx =
4
15
ka5.
Por outro lado, M =
a∫
−a
√
x2−a2∫
0
kydydx =
2
3
ka2.
Portanto, o raio de giro da lâmina é R =
√
Ix
M
=
√
10
5
a2
1.8.4 Área de uma superfície
No seguinte capítulo mostra-se que a área de qualquer paralelogramo de lados os vetores
~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) está dado pelo módulo do vetor u× v.
A = ‖u× v‖ =
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
Figura 1.19:
Suponha que S seja a superfície f : S ⊂ R2 −→ R sobre
uma região fechada D no plano-xy, também suponhamos que
f tem as primeiras derivadas parciais contínuas.
Seja P uma partição da região D com retas paralelas aos
eixos do plano-xy, sejam Pi, i = 1, 2, 3 · · · , n os retângulos
desta partição, então Pi = 4ix×4iy.
Para cada i seja Si a parte da superfície S que se projeta
sobre o retângulo Pi. Seja P (xi, yi, zi) o ponto de Si que se
projeta sobre um vértice do retângulo Pi aquele que tiver as
menores coordenadas do ponto.
Finalmente seja Ti o paralelogramo do plano tangente em
P (xi, yi, zi).
Sejam ~ui = (4ix, 0,
∂f
∂x
(xi, yi)) e ~vi = (0, 4iy,
∂f
∂y
(xi, yi)) os lados deste paralelogramo
Ti, logo a área de cada um destes paralelogramos é ‖~ui × ~vi‖ onde
~ui × ~vi =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~i ~j ~k
4ix 0
∂f
∂x
(xi, yi)
0 4iy
∂f
∂y
(xi, yi)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 4ix · 4iy(−
∂f
∂x
(xi, yi), −
∂f
∂y
(xi, yi), 1)
assim a área de Ti é dada por
A(Ti) = ‖ui × vi‖ = A(Pi)
√
[
∂f
∂x
(xi, yi)
]2
+
[
∂f
∂y
(xi, yi)
]2
+ 1
Somamos estas áreas todos os paralelogramos Ti, i = 1, 2, 3, · · · , n, logo calculamos o
32 Cálculo Vetorial e Séries
limite quando n→ ∞ para obter a área da superfície S.
A(S) = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
A(Ti) = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
(Pi)
√
[
∂f
∂x
(xi, yi)
]2
+
[
∂f
∂y
(xi, yi)
]2
+ 1 =
A(S) =
∫
D
∫
√
[
∂f
∂x
(x, y)
]2
+
[
∂f
∂y
(x, y)
]2
+ 1 · dA
sempre que o limite exista.
Exemplo 1.27.
Seja D a região do plano-xy limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2. Calcular a
área da superfície cilíndrica S definida por f(x, y) =
√
4 − x2.
Solução.
Seja f(x, y) =
√
4 − y2, então ∂f
∂x
= 0 e
∂f
∂y
=
−y
√
4 − y2
. A área da superfície é dada por
A(S) =
∫
D
∫
√
[
∂f
∂x
]2
+
[
∂f
∂y
]2
+ 1 · dA =
∫
D
∫
√
√
√
√02 +
[
−y
√
4 − y2
]2
+ 1 · dA
A(S) =
∫
D
∫
2
√
4 − y2
· dA =
2∫
0
1∫
0
2
√
4 − y2
· dxdy =
2∫
0
2
√
4 − y2
· dy
A(S) = 2arcsen
x
2
∣
∣
∣
2
0
= π
Exemplo 1.28.
Calcular a área da parte da superfície z = xy cortada pelo cilindro x2 + y2 = a2.
Solução.
Tem-se que a superfície S está dada pela função z = f(x, y) = xy logo
∂z
∂x
= y e
∂z
∂y
= x. A
região de integração é
D = { (x, y) ∈ R2 − a ≤ x ≤ a, −
√
a2 − x2 ≤ y ≤
√
a2 − x2 }
logo, a área da superfície é
A(S) =
a∫
−a
√
a2−x2∫
−
√
a2−x2
√
x2 + y2 + 1 · dydx =
2π∫
0
a∫
0
√
r2 + 1 · rdrdθ
A(S) =
1
3
2π∫
0
√
(r2 + 1)3
∣
∣
∣
a
0
=
2π
3
(
√
(a2 + 1)3 − 1)
Propriedade 1.3.
Christian José Quintana Pinedo 33
Dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R. As superfícies entre os
planos paralelos como mostra aFigura (1.20) tem a mesma área.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
esta propriedade diz que dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R
satisfazem a seguinte propriedade indicada na Figura (1.20) entre planos paralelos.
Figura 1.20:
A modo de aplicação apresentamos o seguinte exemplo.
Exemplo 1.29.
Determine a área da superfície S1 formada ao cortar o hemisfério x2+y2+z2 = R2, z ≥ 0
pelos planos paralelos z = h1 e z = h2, 0 ≤ h1 ≤ h2 é dado por A(S1) = 2πR(h2 − h1).
Verificar que a área da superfície cilíndrica S2 de x2 + y2 = R2 entre os planos z = h1 e z = h2
também é A(S2) = 2πR(h2 − h1).
Solução.
A projeção da semi-esfera z =
√
R2 − x2 − y2 sobre o plano z = h1 é a circunferência
x2+y2 = [
√
R2 − h21]2 e a projeção sobre o plano z = h2 é a circunferência x2+y2 = [
√
R2 − h22]2.
Logo D projeção da superfície S1 no plano-xy é
D = { (x, y) ∈ R2 /.
√
R2 − h22 ≤ x2 + y2 ≤
√
R2 − h21 }
assim
A(S1) =
∫
D
∫
√
[
∂f
∂x
√
R2 − x2 − y2
]2
+
[
∂f
∂y
√
R2 − x2 − y2
]2
+ 1 · dA
A(S1) =
∫
D
∫
√
x2
R2 − x2 − y2 +
y2
R2 − x2 − y2 + 1 · dA =
∫
D
∫
r
√
R2 − x2 − y2
· dA
mediante coordenadas polares
A(S1) =
2π∫
0
√
R2−h21∫
√
R2−h22
R√
R2 − r2
·rdrdθ =
2π∫
0
R[−
√
R2 − (
√
R2 − h22)2+
√
R2 − (
√
R2 − h21)2]dθ =
A(S1) =
2π∫
0
R(h2 − h1)dθ = 2πR(h2 − h1)
34 Cálculo Vetorial e Séries
A área da parte cilíndrica é o comprimento de sua base pela sua altura, isto é A(S2) =
2πRh = 2πR(h2 − h1).
Observe que A(S1) = A(S2).
Christian José Quintana Pinedo 35
Exercícios 1-3
1. Calcular o valor promédio de f(x, y) = ysenxy sobre D = [0, 2π] × [0, π]
2. Calcular o valor promédio de f(x, y) = e x+ y sobre o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0)
3. Calcular a massa de uma lâmina quadrada de lado a, se sua densidade em qualquer ponto
de sua superfície é proporcionar ao quadrado da distância desde um vértice. Rpta
2ka4
3
4. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M , e o centro de massa (x̄, ȳ)
da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada.
1. y = ex, y = 0, , x = 0, x = 1; ρ(x, y) = 1 − 2x+ y
2. x = e−x, x = 0, x = 1; ρ(x, y) = y2
3. y = x, xy = 1, y = 0, x = 2; ρ(x, y) = x
4. y = 0, y = cosx, 0 ≤ x ≤ π; ρ(x, y) = x
5. y = 0, y =
√
9 − x2; ρ(x, y) = y
6. x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; ρ(x, y) = x+ 1
7. r = 2senθ; ρ(r, θ) =
1
r
5. Para cada um dos exercícios, achar o momento de inércia respeito ao eixo dado da placa
D cuja densidade e curvas que a limitam estão dadas.
1. D está limitada por x2 + y2 = a4; ρ(x, y) = k
√
x2 + y2 eixo-z
2. D está limitada por y = x2; ρ(x, y) = k eixo-x
3. D está limitada por y2 = x2, y2 = x; ρ(x, y) = ky eixo-y
4. D está limitada por x2 + y2 = a2; ρ(x, y) = k
√
x2 + y2 eixo-x
5. D está limitada por ; ρ(x, y) = eixo-
6. Para cada um dos seguintes exercícios, determine os momentos Ix, Iy, I0 para a lâmina
limitada pelas curvas dadas com densidade indicada ρ
1. y =
√
x, x = 16, y = 0; ρ(x, y) = x− y
2. y = x2, y = 9; ρ(x, y) = x
3. Quadrado de vértices (0, 0), (0, m), (m, 0), (m, m); ρ(x, y) = x+ 2y
4. Triângulo de vértices (0, 0), (0, m), (m, 0); ρ(x, y) = x+ 2y
5. y2 = 8x, x = 2; ρ(x, y) = 1
6. |x| + |y| = 1; ρ(x, y) = 1
7. Sejam ABCD uma lâmina retangular com tem a função densidade ρ e P um ponto no
interior da lâmina. Achar o raio de giro da lâmina respeito a os seguinte:
36 Cálculo Vetorial e Séries
1. AB se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias a AB e BC
2. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias
a AB e AC
3. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é constante.
4. A perpendicular á lâmina no centro de massa, se ρ no ponto P é constante.
8. Sejam L1 e L2 laminas disjuntas no plano-xy com massas M1 e M2, e com centros de
massas (x̄1, ȳ1) e (x̄2, ȳ2) respectivamente. Verificar que o centro de massa (x̄2, ȳ2) da
lâmina L1 ∪ L2 está dada por:
x̄ = x̄1
m1
m1 +m2
+ x̄2
m2
m1 +m2
ȳ = ȳ1
m1
m1 +m2
+ ȳ2
m2
m1 +m2
9. Determine a área da superfície indicada.
1. Da parte do plano 6x+ 3y + 2z = 12 situada no primeiro octante.
2. Da parte da superfície z2 = 2xy a qual se encontra acima do retângulo situado no
plano z = 0 e limitado pelas retas x = 0, y = 0, z = 3, y = 6
3. Da parte do cone z2 = x2 + y2 situado acima do plano-xy e cortada pelo plano
z =
√
2(
x
2
+ 1).
4. Da parte z2 + x2 + y2 cortada pelo cilindro z2 = 2py.
Christian José Quintana Pinedo 37
1.9 Integrais triplas
Os conceitos explicados nas integrais simples e duplas estendem-se de modo natural para as
integrais triplas e até de ordem n.
Figura 1.21:
Consideremos f : S ⊂ R3 −→ R uma função definida na
superfície limitada e fechada S, podemos traçar planos parale-
los a os planos coordenados, para determinar paralelepípedos
P1, P2, P3, · · · , Pn que estão contidos em S como mostra a
Figura (1.21).
Definição 1.11.
O conjunto P = { P1, P2, P3, · · · , Pn } constitue uma
partição da superfície S, onde a norma na partição ‖P‖ =
maior diagonal dos paralelepípedos que constituem a partição.
Seja V (Pi) = ∆ix∆iy∆iz o volume do i-ésimo pa-
ralelepípedo, Pi, i = 1, 2, 3, · · · , m. Seja (xi, yi, zi) um
ponto arbitrário escolhido em Pi.
A soma de Riemann associada à partição P da superfície f(x, y, z)é:
n∑
i=1
f(xi, yi, zi)V (Pi) =
n∑
i=1
f(xi, yi, zi)∆ix∆iy∆iz
Definição 1.12.
Dizemos que o número L é da soma de Riemann, se
∀ � > 0, ∃ δ > 0 tal que
∣
∣
∣
∣
∣
n∑
i=1
f(xi, yi, zi)V (Pi) − L
∣
∣
∣
∣
∣
< �
para toda partição P com ‖P‖ → 0 para toda eleição do ponto (xi, yi, zi) ∈ Pi
Definição 1.13.
Uma função f : S ⊂ R3 −→ R é integrável na região fechada S, se existe um número L, e
este número é a integral tripla de f em S e denota-se
L =
∫ ∫
S
∫
f(xi, yi, zi)dV = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
f(xi, yi, zi)V (Pi)
A pergunta natural é: Quais tipos de funções são integráveis? A seguinte propriedade sem
demonstração responde esta questão.
Propriedade 1.4.
Se a funçãof : S ⊂ R3 −→ R é contínua na região fechada S, então existe a integral tripla
de f sobre S.
Na verdade podemos permitir que exista um número finito de descontinuidades.
Como é de esperar as integrais triplas tem propriedades
38 Cálculo Vetorial e Séries
1.9.1 Integrais triplas mediante integrais iteradas
Consideremos D = { (x, y) ∈ R2 /. a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) } uma região fechada
no plano-xy, onde φ1, φ2 : [a, b] −→ R são funções contínuas com φ(x) ≤ φ2(x) ∀ x ∈ [a, b].
Sejam ψ1, ψ2 : D ⊂ R3 −→ R funções contínuas na região fechada D onde ψ(x, y) ≤
ψ2(x, y) ∀ (x, y) ∈ D.
Seja S = { } uma região fechada em R3, se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua em S, a
integral iterada de f sobre S é
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
b∫
a
φ2(x)∫
φ1(x)
ψ2(x,y)∫
ψ1(x,y)
f(x, y, z)dzdydx
De modo análogo podemos definir outras quatro integrais de f(x, y, z) nas quais a primeira
integração (dentro para fora) é resolvida respeito a uma variável distinta da z.
•
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
f∫
e
g2(z)∫
g1(z)
H2(y,z)∫
H1(y,z)
f(x, y, z)dxdydz
•
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
d∫
c
k2(y)∫
k1(y)
H2(y,z)∫
H3(y,z)
f(x, y, z)dxdzdy
•
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
f∫
e
H2(z)∫
H1(z)
G2(x,z)∫
G1(x,z)
f(x, y, z)dydxdz
•
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
b∫
a
k2(y)∫
k1(y)
G2(x,z)∫
G1(x,z)
f(x, y, z)dydzdx
Exemplo 1.30.
Calcular I =
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV onde f(x, y, z) = 3 e S está limitada pelas superfícies
z = 0, y = 0, y = x, x+ y = 2, x+ y + z = 3.
Solução.
I =
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
1∫
0
2−y∫
y
3−x−y∫
0
f(x, y, z)dzdydx = 5
Exemplo 1.31.
Calcular I =
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV onde f(x, y, z) = x2 e S está limitada pelas superfícies
y2 + z2 = 4ax, y2 = ax, x = 3a.
Solução.
Christian José Quintana Pinedo 39
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
3a∫
0
√
ax∫
−√ax
√
4ax−y2
∫
−
√
4ax−y2
x2dzdydx =
3a∫
0
√
ax∫
−√ax
2x2
√
4ax− y2dydx =
=
3a∫
0
1
3
(6
√
3a+ 4πa)dx =
27
2
a5(3
√
3 + 2π)
1.9.2 Volumes mediante integrais triplas
Seja f : S ⊂ R → R uma funçãodefinida na região fechada S, tal que f(x, y, z) = 1 para
todo (x, y, z) ∈ S, então
V (S) =
∫ ∫
S
∫
1dV é a medida do volume do sólido S
Exemplo 1.32.
Achar o volume do sólido limitado na parte superior pela parabolóide z = 4 − x2 − y2 e na
parte inferior pelo plano z = 4 − 2x.
Solução.
O volume do sólido está dado por
V =
2∫
0
√
2x−x2∫
−
√
2x−x2
4−x2−y2∫
4−2x
1dzdydx =
4
3
2∫
0
4
√
(2x− x2)3dx = π
2
Exemplo 1.33.
Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z =
6
x2 + 4
e os planos
y = x, x = 2, y = 0, z = 0.
Solução.
A região de integração é D = { (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x }.
O sólido é S = { (x, y, z) ∈ R3 /. 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 8
x2 + 4
}.
Seu volume é dado por V =
2∫
0
x∫
0
8/(x2+4)∫
0
1dzdydx = 4Ln2.
1.9.3 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
Para o caso ter região S ⊂ R3 um eixo coordenado de simetria, as integrais triplas têm menos
dificuldade em seus cálculos, para isto acontecer temos que recorrir ao uso das c coordenadas
cilíndricas ou esféricas.
Uma idéia da justificativa da forma das coordenadas cilíndricas é mostrada na Figura (1.22)
e das coordenadas e esféricas na Figura (1.23)
40 Cálculo Vetorial e Séries
1. As transformações de coordenadas retangulares a cilíndricas são:
Como mostra a Figura (1.22): x = r cos θ, y = rsenθ, z = z
Se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua sobre S então
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
∫ ∫
S
∫
f(r cos θ, rsenθ, z)J(r, θ, z)dzdrdθ
onde
J(r, θ, z) =
∂(x, y, z)
∂(r, θ, z)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos θ −rsenθ 0
senθ r cos θ 0
0 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= r
Portanto,
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
∫ ∫
S
∫
f(r cos θ, rsenθ, z)r · dzdrdθ.
Figura 1.22: Coordenadas cilíndricas Figura 1.23: Coordenadas esféricas
2. As transformações de coordenadas retangulares a esféricas são:
Como mostra a Figura (1.23): x = ρ cos θsenφ, y = ρsenθ cosφ, z = ρ cosφ
Se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua sobre S então
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
∫ ∫
S
∫
f(ρ cos θsenφ, ρsenθ cosφ, ρ cosφ)J(ρ, θ, φ)dρdφdθ
onde
J(ρ, θ, φ) =
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, φ)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos θsenφ −ρsenθsenφ ρ cos θ cosφ
senθsenφ ρ cos θsenφ ρsenθ cosφ
cosφ 0 −ρsenφ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= ρ2senφ
Portanto,
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV =
∫ ∫
S
∫
f(ρ cos θsenφ, ρsenθsenφ, ρ cosφ)ρ2senφ · dρdφdθ.
Exemplo 1.34.
Determine o volume do sólido S sobre o cone z2 = x2+y2 e o interior da esfera x2+y2+z2 =
2az.
Solução.
Christian José Quintana Pinedo 41
Em coordenadas esféricas a equação do cone é ρ =
π
4
, e a equação da esfera é ρ = 2a cosφ
. Logo o volume é
V =
∫ ∫
S
∫
ρ2senφdρdφdθ =
2π∫
0
π/4∫
0
2 cosφ∫
0
ρ2senφ · dρdφdθ = πa3
Exemplo 1.35.
Mediante coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido acima do plano-xy e limitado
pela esfera x2 + y2 + z@ = 25 e o cone 16z2 = 9x2 + 9y2.
Solução.
Em coordenadas cilíndricas, a equação do cone é z =
3
4
r e o da esfera z =
√
25 − r2.
As superfícies se cortam em aqueles pontos onde
25 − x2 − y2 = 9
16
(x2 + y2)
ou seu equivalente x2 + y2 = 16. Em coordenadas cilíndricas esta equação podemos escrever
como r = 4. Assim o sólido S é:
S = { (r, θ, z) ; . 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4, 3
4
r ≤ z ≤
√
25 − r2 }
assim tem-se
V =
∫ ∫
S
∫
r · dzdrdθ =
2π∫
0
4∫
0
√
25−r2∫
3r/4
r · dzdrdθ = 100π
3
Exemplo 1.36.
Calcular I =
∫ ∫
S
∫
(x + y + z)(x + y − z)(x − y − z)dxdydz onde S é o tetraedro limitado
pelos planos x− y − z = 0, x+ y − z = 0, x− y − z = 0. 2x− y = 1.
Solução.
Sejam u = x+ y + z, v = x+ y − z, w = x− y − z
∂(u, v, w)
∂(x, y, z)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1
1 1 −1
1 −1 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −1
4
Logo o jacobiano J(u, v, z) =
∣
∣
∣
∣
−1
4
∣
∣
∣
∣
=
1
4
A igualdade 2x − z = 1 se transforma em u + v + 2w = 2. Assim, a região D∗ imagem
de S mediante esta transformação é o tetraedro limitado pelos planos u = 0, v = 0, w =
42 Cálculo Vetorial e Séries
0, u+ v + 2w = 2, então
I =
∫ ∫
S
∫
(x+ y + z)(x+ y − z)(x− y − z)dxdydz =
2∫
0
2−u∫
0
1− 1
2
(u+v)
∫
0
1
4
uvw · dwdvdu = 1
180
1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido
Os conceitos de massa e centro de massa se generalizam com facilidade a regiões sólidas. O
processo que conduz às fórmulas corretas é já conhecido e podemos resumir em poucas palavras:
particionar, aproximar integrar
Seja S ⊂ R3 um sólido e ρ : S ⊂ R −→ R uma função contínua sobre S que representa a
densidade de S em qualquer ponto (x, y, z) ∈ S.
1.- A massa total do sólido está dado por:
M =
∫ ∫
S
∫
ρ(x, y, z)dV
2. Os centros de massa:
Os momentos de massa respeito dos planos coordenados em função da densidade são
Mxy =
∫ ∫
S
∫
zρ(x, y, z)dV, Mxz =
∫ ∫
S
∫
yρ(x, y, z)dV, Myz =
∫ ∫
S
∫
xρ(x, y, z)dV
Portanto o centro de massa do sólido S é o ponto (x̄, ȳ, z̄), onde
x̄ =
Myz
M
=
∫ ∫
S
∫
xρ(x, y, z)dV
∫ ∫
S
∫
ρ(x, y, z)dV
, ȳ =
Mxz
M
=
∫ ∫
S
∫
yρ(x, y, z)dV
∫ ∫
S
∫
ρ(x, y, z)dV
z̄ =
Mxy
M
=
∫ ∫
S
∫
zρ(x, y, z)dV
∫ ∫
S
∫
ρ(x, y, z)dV
3. Momentos de inércia:
Os momentos de inércia de S entorno dos eixos estão definidos como:
• Ix =
∫ ∫
S
∫
(y2 + z2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-x.
• Iy =
∫ ∫
S
∫
(x2 + z2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-y.
Christian José Quintana Pinedo 43
• Iz =
∫ ∫
S
∫
(x2 + y2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-z.
Observação 1.2.
Para determinar o centro de massa, é bastante útil ter em consideração todas as possíveis
simetrias.
1. Se S for simétrico respeito ao plano-xy e ρ(x, y,−z) = ρ(x, y, z), então z̄ = 0. Resultados
análogos cumpre para os outros planos coordenados.
2. Se S for simétrico ao eixo-x e ρ(x,−y,−z) = ρ(x, y, z) então ȳ = z̄ = 0. Resultado análogo
cumpre para os outros eixos.
Exemplo 1.37.
Determine o centro da massa de um objeto material homogêneo limitado limitado pelos planos
coordenados, o plano |:x+ y = 1 y o parabolóide z = 4 − x2 − 4y2.
Solução.
Como a densidade é constante, ρ(x, y, z) = k, a massa total do objeto é dada por
M =
1∫
0
1−x∫
0
4−x2−4y2∫
0
k · dzdydx = 19
12
k
Também
Mxy =
1∫
0
1−x∫
0
4−x2−4y2∫
0
kzdzdydx =
95
16
k, Mxz =
1∫
0
1−x∫
0
4−x2−4y2∫
0
kydzdydx =
9
20
k
Myz =
1∫
0
1−x∫
0
4−x2−4y2∫
0
kxdzdydx =
11
20
k
Portanto, (
33
95
,
27
95
,
5
3
), é o centro de massa do objeto.
Exemplo 1.38.
Achar o momento de inércia e o raio de giro respeito do eixo-z do sólido homogêneo limitado
pelos planos coordenados e o plano
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1, a, b, c são números fixos positivos.
Solução.
O sólido é o tetraedro, a densidade do sólido é ρ(x, y, z) = k então temos
Iz =
a∫
0
b− b
a
x
∫
0
c− c
a
x− c
b
y
∫
0
k(x2 + y2)dzdydx =
kabc
60
(a2 + b2)
A sua massa total é
M =
a∫
0
b− b
a
x
∫
0
c− c
a
x− c
b
y
∫
0
kdzdydx =
kabc
6
44 Cálculo Vetorial e Séries
Portanto, o raio do giro está dado por R =
√
Iz
M
=
√
a2 + b2√
10
.
Christian José Quintana Pinedo 45
Exercícios 1-4
1. Calcular as seguintes integrais.
1.
1∫
0
1−x∫
0
1+y2∫
2y
x · dzdydx 2.
2∫
1
y2∫
y
Lnx∫
0
yez · dzdxdy 3.
π/2∫
0
π/2∫
z
x∫
0
cos
y
z
· dydxdz
4.
2∫
1
y∫
0
√
3z∫
0
z · dxdzdy
x2 + y2
5.
Lnx∫
−Lnx
2−√x∫
0
x+y2∫
0
yezdzdydx 6.
π∫
0
π∫
0
π∫
0
xysen(yz) · dzdydx
7.
2∫
1
x∫
0
√
3y∫
0
y · dzdydx
x2 + z2
8.
1∫
0
z∫
0
y∫
0
xy2z3dxdyxdz 9.
π
2∫
0
cos θ∫
0
∫ 4+rsenθ
0
r · dzdrdθ
2. Para cada um dos seguintes exercícios calcular
∫ ∫
S
∫
f(x, y, z)dV , onde S está limitada
pelas superfícies dadas e f é função dada.
1. x = 0, x =
√
a2 − x2 − y2; f(x, y, z) = x.
2. x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2; f(x, y, z) = x2 + y2.
3. x = 0, y = 0, z = 0,
√
x+
√
y +
√
z =
√
a; f(x, y, z) = z
4. z = x2 + y2, z = 27 − 2x2 − 2y2; f(x, y, z) = 1
3. Calcular as seguintes integrais mediante coordenadas esféricas ou cilíndricas.
1.
h∫
0
b∫
0
√
b2−y2
∫
0
√
x2 + y2 · dzdydx 2.
a∫
0
√
a2−x2∫0
√
a2−x2−y2
∫
0
z
√
a2 − x2 − y2 · dzdydx
3.
2∫
0
√
2x−x2∫
0
a∫
0
z
√
x2 + y2 · dzdydx 4.
1∫
0
√
1−x2∫
0
√
1−x2−y2
∫
0
√
x2 + y2 + z2 · dzdydx
5. 6.
1√
2∫
0
x∫
0
√
1−x2−y2
∫
0
z
√
(x2‘y2)−1 · dzdydx
4. Verificar que a integral
∫ ∫
S
∫ |xyz|
√
x2 + y2 + z2
dxdydz sobre o sólido S limitado pelo elip-
sóide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
+ = 1 tem o valor
8a2b2c2(bc+ ac+ ab)
15(b+ c)(a+ c)(a+ b)
.
5. Verificar que
∞∫
0
∞∫
0
∞∫
0
B · dxdydz =
∞∫
0
1∫
0
1∫
0
B · u2v · dudvdw mediante a transformação
x+ y + z = u, x+ y = uv,
: y = uvw.
46 Cálculo Vetorial e Séries
6. Achar a massa do sólido limitado pela esfera de raio a, a densidade do volume varia com
o quadrado da distância ao centro. Rpta. a5π.
7. Achar o momento de inércia respeito de um diâmetro do sólido que se encontra entre duas
esferas concéntricas de raios a e 2a. A densidade do volume varia inversamente com o
quadrado da distância ao centro. Rpta.
56πa3k
9
8. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M , e o centro de massa (x̄, ȳ, z̄)
da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada (k = constante).
1. z = x, z = −x, y2 = 4 − 2x, ; ρ(x, y) = k
2. z = 0, x2 + z = 1, y2 + z = 1; ρ(x, y) = k
3. y2 + z2 = 4ax, y2 = ax, x = 3a; ρ(x, y) = k
4. z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = a2; ρ(x, y) = k
5. z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 2az, sobre o cone, ρ(x, y) = kz
6.
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 no primeiro octante, ρ(x, y) = k
Capítulo 2
INTEGRAL DE LINHA
George Green nasceou em Sneinton, no condado de Nottingham na Inglaterra em 14 de Julho de
1793. George Green Físico e matemático autodidata passou grande parte da sua vida a trabalhar num
moinho do seu pai, à idade de 8 anos entrou para a escola de Robert Goodacre, em Nottingham, onde
mostrou grande talento para a matemática.
Aos 12 voltou a trabalhar na padaria até que seu pai construiu (1807) um moinho em Sneinton, uma
aldeia próxima de Nottingham, onde começou seu aprendizado em mecânica com o gerente de moinho,
William Smith.
Com 30 anos Green tornou-se membro da Subscription Library, uma instituição fundada com o
objetivo de servir de ponto de encontro de não-acadêmicos para discutir assuntos científicos.
Aos 35 anos publicou Na sua obra “Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory
of Electricity and Magnetism”, a primeira e, segundo muitos, a mais importante obra sobre a aplicação da
análise matemática à teoria da eletricidade e ao magnetismo, nesta obra introduziu a noção de “função
potencial” no estudo dos campos magnéticos e também introduziu vários teoremas de análise vetorial
que permitiam calcular o potencial eletrostático, foi o pioneiro na separação dos estudos teóricos da
eletricidade e do magnetismo. O teorema de Green, que demonstrou nesta obra facilitou bastante o
estudo das funções. Esta obra permiteu-le ganhar a influente proteção de Sir Edward Bromhead, de
Lincoln, que patrocinou a publicação de mais três artigos em Cambridge e Edinburgh.
Seu pai morreu (1829) e ele herdou uma renda suficiente para então finalmente poder se dedicar a
estudar. Apenas aos 40 anos ingressa na universidade como estudante da licenciatura. Ensinou no Caius
College e publicou mais seis artigos em Cambridge Transactions.
Com a saúde declinando, voltou para Nottingham (1840) e morreu em Sneinton em 31 de Maio de
1841, com apenas 47 anos. Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.
Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.
Alguns anos mais tarde volta a Nottingham para trabalhar no seu moinho.Na matemática foi o autor
de um teorema sobre geometria que leva seu nome, redescoberto após sua morte por Lord Kelvin (1846)
e consegue a sua publicação num jornal de nome reconhecido. Este teorema .também é conhecido como
teorema de Gauss, ou teorema de Michel Ostrogradski, como é conhecido na Rússia.
Seu trabalho foi um marco na início do estudo da física-matemática moderna na Grã-Bretanha. Na
mesma época, outros cientistas, entre os quais Carl Gauss, de forma independente, chegam a alguns
resultados já antes alcançados por Green. O asteróide 12016 Green foi batizado em sua honra.
47
48 Cálculo Vetorial e Séries
2.1 Introdução
Neste capítulo, aplicaremos conceitos e métodos de resolução de problemas a novas teorias,
para obter resultados que têm muitas aplicações nas ciências.
Abordaremos os conceitos de “campos vetoriais”, sendo que as principais aplicações estão
orientadas para o estudo de campos de velocidade e campos de força, assim chamados porque
a cada partícula de uma substância seja sólida, líquida ou gaseosa esta associada um vetor
velocidade ou um vetor força.
As integrais de linha, permitem achar o trabalho realizado quando uma partícula se movi-
menta em uma campo de força.
O teorema fundamental do cálculo integral diz que:
Se f : [a, b] −→ R é contínua em qualquer intervalo fechado [a, b], e F é qualquer
função primitiva de f então
b∫
a
f(x)dx = F (b) − F (a).
Agora, queremos generalizar o conceito de integral simples
b∫
a
f(t)dt de uma função f definida
em um intervalo [a, b], a uma integral de uma função definida sobre uma curva Γ. Esta integral se
chama “integral de linha de f sobre a curva Γ", observe que, esta curva pode estar determinada
pela imagem de outra função definida em R.
Na geometria entendemos a palavra curva como o desenho de uma linha reta, um círculo,
uma curva senoidal, etc. traçada na louça. Para estudar estes objetos científicamente, podemos
pensar estas curvas no espaço Rn como a imagem de uma determinada função de um intervalo
[a, b] de R para Rn. Esta função é chamada de trajetória, e a imagem da trajetória é a linha, o
círculo, a curva senoidal, etc. que apreciamos na louça.
Figura 2.1: A função ~r é a trajetória, sua imagem ~r(t) é a curva observada.
Neste capítulo estudaremos o conceito de trajetória, e de modo preciso o conceito de curvas,
mostrando alguns exemplos. Estudaremos como as trajetórias podem modelar o caminho que
segue algum objeto em movimento
Christian José Quintana Pinedo 49
2.2 Curvas regulares
Definição 2.1. Trajetória.
Dizemos trajetória em Rn a toda função ~r : [a, b] −→ Rn. Os pontos ~r(a) e ~r(b) são chamados
de extremos da trajetória. A imagem de ~r é chamada curva de ~r.
Definição 2.2. Funções coordenadas.
Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma trajetória definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)). As as
funções x, y, z : [a, b] −→ R, que são as coordenadas do vetor ~r(t) são denominadas “funções
coordenadas".
Exemplo 2.1.
Consideremos a trajetória Γ descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio R
que roda entorno do seu eixo com velocidade constante v (movimento uniforme) tal como se
representa na Figura (2.2). A esta linha chamamos ciclóide.
Figura 2.2: Uma ciclóide em R2
Suponhamos que o ponto P se encontra na origem de R2 no instante inicial t = 0. Seja C =
(α, β) o centro da circunferência. Então, sendo o movimento uniforme, o centro da circunferência
move-se de acordo com as equações α(t) = vt, β(t) = R.
Por outro lado, seja T o intervalo de tempo necessário para uma volta completa e seja ω
o ângulo descrito por unidade de tempo (velocidade angular). Sendo o movimento uniforme,
obtemos
2π = ωT ; 2πR = vT
donde se conclui que ω =
v
R
Suponhamos também que a circunferência roda no sentido de x > 0. Portanto, em cada
instante t > 0, a posição do ponto P pode ser determinada pelo ângulo θ formado entre o eixo
y < 0 e o vetor
−−→
CP , medido no sentido horário, tal como se representa na Figura (2.2).
Sendo ω a velocidade angular, temos f(t) = ωt =
v
R
t. Assim, o ponto P move-se de acordo
com as equações {
x(t) = vt−Rsen( vR t)
y(t) = R−R cos( vR t)
Portanto, o ciclóide é a imagem da trajetória contínua r(t) = (vt−Rsen( vR t), R−R cos( vR t)),
onde 0 ≤ t ≤ Tf , sendo Tf o instante final da observação do movimento.
50 Cálculo Vetorial e Séries
Definição 2.3. Trajetória diferenciável.
Dizemos que a trajetória