Equações Diferenciais: Vibração de Molas

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Aula 15: Aplicac¸a˜o.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
As equac¸o˜es diferenciais lineares de segunda ordem teˆm diversas aplicac¸o˜es.
Vamos trabalhar uma delas: vibrac¸a˜o de molas.
Vibrac¸a˜o de molas.
Seja o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola
que esta´ na vertical ou na horizontal sobre uma superf´ıcie plana.
A lei de Hooke nos informa que se a mola estiver esticada (ou comprimida)
x unidades a partir do comprimento natural, enta˜o ela exerce uma forc¸a
proporcional a x:
forc¸a restauradora = −kx
onde k e´ uma constante positiva (chamada constante da mola). Se ignorarmos
qualquer forc¸a de resisteˆncia externa (devido a` resisteˆncia do ar ou do atrito),
enta˜o pela 2a Lei de Newton, temos que:
m
d2x
dt2
= −kx ou md
2x
dt2
+ kx = 0.
Essa e´ uma equac¸a˜o diferencial linear de segunda ordem. Sua equac¸a˜o ca-
racter´ıstica ou auxiliar e´: mr2 + k = 0, cujas ra´ızes sa˜o: r = ±wi sendo
w =
√
k/m. A soluc¸a˜o geral e´
x(t) = c1 cos(wt) + c2sen(wt).
Exemplo: Uma mola presa a uma massa de 2kg tem um comprimento
natural de 0, 5m. Uma forc¸a de 25, 6N e´ necessa´ria para manteˆ-la esticada
em um comprimento de 0, 7m. Se a mola for esticada para um comprimento
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de 0, 7m e enta˜o for solta com velocidade inicial 0, determine a posic¸a˜o da
massa em qualquer instante t.
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