T3 - 2012.2

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
T3 14 novembro de 2012 (versa˜o I)
In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 0, 6
2a 0, 6
3a 1, 4
4a 0, 7
5a 0, 7
Total 4, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta de tinta azul ou preta. E´
proibido escrever com caneta de tinta verde ou vermelha.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. Se voceˆ usar o verso da folha, indique
explicitamente na frente da folha.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
1. O gra´fico abaixo representa a func¸a˜o dada por f(x) = A · sen (B · x) +C. Determine os
valores das constantes A, B e C.
2
- 2
- 9 18
pi
Gra´fico de f
A = B = C =
2. Considere a func¸a˜o f : [4, 9]→ R, dada por f(x) = cos
(pi
2
x
)
.
(a) Determine, se houver, os valores de x nos quais f tem mı´nimo local.
(b) Determine os valores de x que satisfazem f(x) = 0.
3. Em cada item abaixo, derive f :
(a) f(x) =
3 x−3 − 3
cos(2x)
(b) f(x) =
√
5
x2
− 2
x3
(c) f(x) =
5 x2 − x
−x+ 1 + pi + sen (6)
(d) f(x) = x 3
√
(g(x))2 − x, onde g e´ uma func¸a˜o deriva´vel.
4. O desenho de um triaˆngulo feito no computador esta´ sendo ampliado. No instante em
que a altura e´ 10 cm e a a´rea e´ 15 cm2, a a´rea do triaˆngulo esta´ crescendo 20 cm2/s e
a altura esta´ decrescendo 5 cm/s. A que taxa esta´ variando a base do triaˆngulo nesse
instante?
Obs: Fornec¸a as unidades na sua resposta.
5. Considere a func¸a˜o f : [−2pi, 2pi]→ R, dada por f(x) = x+ cos (x).
(a) Determine, se houver, os intervalos nos quais f e´ crescente.
(b) Determine, se houver, os valores de x nos quais f tem ma´ximo.
(c) Determine, se houver, os intervalos nos quais f e´ coˆncava para cima.
(d) Determine, se houver, a coordenada x dos pontos de inflexa˜o de f .
(e) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f . Esboce tambe´m, pontilhadas, as retas tangentes ao
gra´fico de f nos pontos de inflexa˜o.
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
T3 14 novembro de 2012 (versa˜o II)
In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 0, 6
2a 0, 6
3a 1, 4
4a 0, 7
5a 0, 7
Total 4, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta de tinta azul ou preta. E´
proibido escrever com caneta de tinta verde ou vermelha.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. Se voceˆ usar o verso da folha, indique
explicitamente na frente da folha.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
1. O gra´fico abaixo representa a func¸a˜o dada por f(x) = A · sen (B · x) +C. Determine os
valores das constantes A, B e C.
- 1
- 10 20
pi
Gra´fico de f
A = B = C =
2. Considere a func¸a˜o f : [3, 8]→ R, dada por f(x) = cos
(pi
2
x
)
.
(a) Determine, se houver, os valores de x nos quais f tem mı´nimo local.
(b) Determine os valores de x que satisfazem f(x) = 0.
3. Em cada item abaixo, derive f :
(a) f(x) =
5 x2 − x
−x+ 1 + pi + sen (6)
(b) f(x) =
3 x−3 − 3
cos(2x)
(c) f(x) =
√
5
x2
− 2
x3
(d) f(x) = x
√
(g(x))3 − x, onde g e´ uma func¸a˜o deriva´vel.
4. O desenho de um triaˆngulo feito no computador esta´ sendo ampliado. No instante em
que a altura e´ 4 cm e a a´rea e´ 10 cm2, a a´rea do triaˆngulo esta´ crescendo 18 cm2/s e
a altura esta´ decrescendo 5 cm/s. A que taxa esta´ variando a base do triaˆngulo nesse
instante?
Obs: Fornec¸a as unidades na sua resposta.
5. Considere a func¸a˜o f :
[−3pi
2
, 5pi
2
]→ R, dada por f(x) = sen (x)− x+ 1.
(a) Determine, se houver, os intervalos nos quais f e´ decrescente.
(b) Determine, se houver, os valores de x nos quais f tem ma´ximo.
(c) Determine, se houver, os intervalos nos quais f e´ coˆncava para cima.
(d) Determine, se houver, a coordenada x dos pontos de inflexa˜o de f .
(e) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f . Esboce tambe´m, pontilhadas, as retas tangentes ao
gra´fico de f nos pontos de inflexa˜o.