Resist+¬ncia II FEMM Transforma+º+úo de Tens+úo 3

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
5. TENSÕES PRINCIPAIS
➢DEVEMOS DETERMINAR A ORIENTAÇÃO DOS PLANOS ONDE A TENSÃO NORMAL É
MÁXIMA OUMÍNIMA. PARA ISSO, BASTA FAZER dσ/dθ = 0 EM (1) OU (3) PARA OBTER:
➢FAZENDO τX’Y’ = 0 NA EQUAÇÃO (2), TAMBÉM OBTEMOS (5).
)5(
2
2
YX
XY
Ptg 



➢ESSA EQUAÇÃO DEFINE DOIS VALORES DE 2θP DEFASADOS DE 180°. LOGO, OS
ÂNGULOS PRINCIPAIS θP SÃO PERPENDICULARES.
CONCLUSÕES:
➢FICAM ASSIM DETERMINADOS DOIS PLANOS PERPENDICULARES CHAMADOS DE
PLANOS PRINCIPAIS.
➢AS TENSÕES NORMAIS ATUANTES NESTES PLANOS SÃO CHAMADAS DE TENSÕES
PRINCIPAIS. UMA TENSÃO É MÁXIMA (σ1) E A OUTRAMÍNIMA (σ2).
➢A TENSÃO CISALHANTE É NULA ONDE OCORREM AS TENSÕES PRINCIPAIS.
➢AS TENSÕES PRINCIPAIS PODEM SER CALCULADAS DE 2 MANEIRAS:
1) SUBSTITUINDO OS VALORES DE θP EM (1) OU (3).
2) ATRAVÉS DA FÓRMULA:
)6(
22
2
2
2,1 XY
YXYX  




 



➢REGRA: SE (σX-σy) FOR POSITIVO, θP = θP1 E INDICA A ORIENTAÇÃO DE σ1.
SE (σX-σy) FOR NEGATIVO, θP = θP2 E INDICA A ORIENTAÇÃO DE σ2.
➢ θP2 = θP1 + 90°
EXERCÍCIO 1
O ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO É MOSTRADO NO ELEMENTO. DETERMINE AS
TENSÕES PRINCIPAIS. ESPECIFIQUE A ORIENTAÇÃO DO ELEMENTO.
Hibbeler
9.13 – p.333
EXERCÍCIO 2
O ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO É MOSTRADO NO ELEMENTO. DETERMINE AS
TENSÕES PRINCIPAIS. ESPECIFIQUE A ORIENTAÇÃO DO ELEMENTO.
Hibbeler
9.16 – p.333
6. TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
➢DEVE-SE DETERMINAR A ORIENTAÇÃO DOS PLANOS ONDE A TENSÃO CISALHANTE É
MÁXIMA. PARA ISSO, BASTA FAZER dτ/dθ = 0 EM (2) PARA OBTER:
 
)7(
2
2
XY
YX
Stg 
 
➢ESSA EQUAÇÃO DEFINE DOIS VALORES DE 2θS DEFASADOS DE 180°. LOGO, OS ÂNGULOS
θS SÃO PERPENDICULARES.
➢COMPARANDO (7) COM (5), NOTA-SE QUE tg2θS É O INVERSO NEGATIVO DE tg2θP,
SIGNIFICANDO QUE 2θS É PERPENDICULAR A 2θP .
➢LOGO, OS ÂNGULOS θS E θP ESTÃO DEFASADOS DE 45°.
)5(
2
2
YX
XY
Ptg 



 
)7(
2
2
XY
YX
Stg 
 
➢A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA PODE SER CALCULADA DE 2 MANEIRAS:
1) SUBSTITUINDO θS1 NA EQUAÇÃO (2).
SE τMÁX > 0 ELA APONTA PARA CIMA NO ELEMENTO.
SE τMÁX < 0 ELA APONTA PARA BAIXO NO ELEMENTO.
2) ATRAVÉS DA FÓRMULA ABAIXO.
➢ PARA SABER O ÂNGULO θS1 : SE θP1 > 0 , θS1 = θP1 - 45°.
SE θP1 < 0 , θS1 = θP1 + 45°.
SUBSTITUA θS1 NA EQUAÇÃO (2). SE O RESULTADO FOR POSITIVO, τMÁX APONTA
PARA CIMA E SE FOR NEGATIVO, τMÁX APONTA PARA BAIXO.
)8(
2
2
2
XY
YX
MÁX
 




 

6.1 TENSÃO NORMAL NA SUPERFÍCIE DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
➢NA SUPERFÍCIE ONDE A TENSÃO CISALHANTE É MÁXIMA A TENSÃO NORMAL NÃO É
ZERO. BASTA SUBSTITUIR θS NA EQUAÇÃO (1).
➢ELA É DADA PELA FÓRMULA ABAIXO QUE REPRESENTA A MÉDIA DAS TENSÕES σX e σY.
)9(
2
YX
MÉD
 
➢INVARIANTE DE TENSÃO:
➢TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA:
)11(
2
21  
MÁX
6.2 OUTRAS FÓRMULAS
)10(121 IYX  
EXERCÍCIO 3
O ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO É MOSTRADO NO ELEMENTO. DETERMINE A
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO E A TENSÃO NORMAL MÉDIA NO
PONTO. ESPECIFIQUE A ORIENTAÇÃO DO ELEMENTO.
Hibbeler
9.13 – p.333
EXERCÍCIO 4
Hibbeler
9.16 – p.333
O ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO É MOSTRADO NO ELEMENTO. DETERMINE A
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO E A TENSÃO NORMAL MÉDIA NO
PONTO. ESPECIFIQUE A ORIENTAÇÃO DO ELEMENTO.
7. RESUMO