AULA 10

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS I
CCE0329
Docente: MSc. Adenilson Oliveira
Colegiado de Engenharia Civil
Coeficiente de Poisson
• Quando ocorre alongamento ao longo de uma direcção, ocorre contracção 
no plano perpendicular. 
• A Relação entre as deformações é dada pelo coeficiente de Poisson . 
 = - y / x = - z / x o sinal de menos apenas indica que uma 
extensão gera uma contracção e vice-versa.
Os valores de  para diversos metais estão entre 0.25 e 0.35.
Resistência dos Materiais
CONCEITO NOVO
• Para uma barra sujeita a carregamento axial:
0=== zy
x
x
E

• O alongamento na direcção axial é acompanhado 
da contracção nas outras direcções. Assumindo o 
material como isotrópico tem-se:
0= zy 
• O coeficiente de Poisson é definido por:
x
z
x
y
alLongitudin Extensão
lTransversa Extensão



 −=−==
Coeficiente de Poisson
CONCEITO NOVO
O suporte é uma barra quadrada com seção transversal vazada
de dimensões 50mm por 80mm e espessura de 5mm (Figura
(b), seu comprimento é de 1,50m, conforme Figura. Sabe-se
que as propriedades mecânicas do material adotado é: Módulo
de elasticidade (E = 70GPa) e coeficiente de Poisson = 0,30.
PROBLEMA 2 - CALCULAR OS DESLOCAMENTOS NAS 
DIREÇÕES X,Y E Z DA PLACA EM QUESTÃO!
1 kN 1 kN
z
x
y
x
PROBLEMA 2 - CALCULAR AS DEFORMAÇÕES NAS 
DIREÇÕES X,Y E Z DA PLACA EM QUESTÃO!
1º PASSO: CALCULO DA ÁREA DA SEÇÃO DO SUPORTE
__=
A1 = B.H = (50.10-3).(80.10-3)
A2 = B.H = [(50-10).10-3].[(80-10).10-3)]
2º PASSO: CALCULO DA TENSÃO NORMAL NO SUPORTE
PROBLEMA 2 - CALCULAR AS DEFORMAÇÕES NAS 
DIREÇÕES X,Y E Z DA PLACA EM QUESTÃO!
3º PASSO: CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL (long)
4º PASSO: CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (trans)
PROBLEMA 1 - CALCULAR AS DEFORMAÇÕES NAS 
DIREÇÕES X,Y E Z DA PLACA EM QUESTÃO!
5º PASSO: CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS (dx, dy e dz)
z
x
y
x
PROBLEMA 2 - CALCULAR AS DEFORMAÇÕES NAS 
DIREÇÕES X,Y E Z DA PLACA EM QUESTÃO!
5º PASSO: CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS (dx, dy e dz)
Resistência dos Materiais
• Num elemento sujeito a um carregamento multiaxial, as
componentes de extensão resultam das componentes de
tensão por aplicação do princípio da sobreposição. As
condições de aplicação do método são:
1) Cada efeito é directamente proporcional à carga que o
produziu (as tensões não excedem o limite de
proporcionalidade do material).
2) As deformações causadas por qualquer dos carregamentos
é pequena e não afecta as condições de aplicação dos outros
carregamentos.
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x






+−−=
−+−=
−−+=
• Tem-se:
Carregamento Triaxial - Lei de Hooke Generalizada
PROBLEMA 3
y=0
x=90MPa
z=150MPa
PROBLEMA 3
1º PASSO: CALCULO DA DEFORMAÇÃO NA DIREÇÃO X DA PLACA
2º PASSO: CALCULO DA DEFORMAÇÃO NA DIREÇÃO Y DA PLACA
3º PASSO: CALCULO DA DEFORMAÇÃO NA DIREÇÃO Z DA PLACA
PROBLEMA 3
4º PASSO: CALCULO DO DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO AB DA PLACA (X)
5º PASSO: CALCULO DO DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO CD DA PLACA (Z)
6º PASSO: CALCULO DO DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO DA ESPESSURA DA 
PLACA (Y)
7º PASSO: CALCULO DAS MEDIDAS FINAIS DO PROBLEMA:
Distorção
• Uma tensão tangencial causa uma distorção, de forma análoga a uma tracção.
▪ Tensão tangencial
  = F/A0 onde A0 é a área paralela à aplicação da força.
▪ Distorção
 = tan  = y/z0 onde  é o ângulo de deformação
• Módulo de distorção G
 = G 
Resistência dos Materiais
CONCEITO NOVO
Resistência dos Materiais
• Um elemento cúbico sujeito a tensões
tangenciais deforma-se num rombóide. A
distorção correspondente é quantificada em
termos da alteração dos ângulos:
( )xyxy f  =
• Lei de Hooke: (Pequenas deformações) 
zxzxyzyzxyxy GGG  ===
G é o módulo de distorção.
Distorção
CONCEITO NOVO
Resistência dos Materiais
 G=
Diagrama Tensão tangencial - Distorção
Com base num ensaio de torção obtêm-se os valores de tensão tangencial e respectivos valores de
distorção. Representando num gráfico os sucessivos valores obtidos no ensaio chega-se ao diagrama
Tensão tangencial - Distorção para o material em consideração.
O diagrama Tensão - Distorção é idêntico ao diagrama Tensão - Extensão obtido a partir de um ensaio
de tracção. No entanto os valores obtidos para a tensão tangencial de cedência, tensão tangencial de
rotura etc. de um dado material, são aproximadamente metade dos valores correspondentes à tracção.
][rad
p
p
p
U r
r
U
][MPa
CONCEITO NOVO
Resistência dos Materiais
Relação entre E,ν, e G
( )+
=
12
E
G
CONCEITO NOVO
Um bloco rectangular de um material comum módulo de distorção G = 620 MPa é
colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa
superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se
desloca 1 mm sob ação da força, determine:
a) a distorção média no material;
b) a força P que atua na placa superior.
200 mm
60 mm
50 mm
PROBLEMA 4
rad
mm50
mm
xyxyxy 020.0
1
tan == 
xyxy G =
kNAP xy 8,14860*200*4,12 === 
1 mm
50 mm
Solução:
a) Distorção média no material
b) Força P atuante na placa superior
MPaG xyxy 4,1202,0*620 === 
PROBLEMA 4