Exercícios de Diagrama de Bode e Introdução ao Diagrama de Nyquist (Gráficos Polares)

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Exercícios de Diagrama de Bode e Introdução ao Diagrama de Nyquist (Gráficos Polares) 
Professor: Luiz Miranda Cavalcante Neto 
Exercícios 
 
1- Um sistema de controle tem o diagrama de Bode apresentado abaixo, sabendo isso, 
encontre a função de transferência deste sistema. 
 
2- Um sistema de controle tem , sabendo disso, esboce o seu (jω)G = 7,5( +1)3
jω
(jω)( +1)[ + +1]2
jω
2
jω2
2
jω
 
diagrama de Bode. 
 
 
Diagrama de Nyquist 
 
Da mesma forma que o diagrama de Bode, o diagrama de Nyquist representa módulo e fase 
de uma função de transferência , ou seja , e . No diagrama de (jω)G G(jω)|| (jω)< G 
Nyquist, no entanto, essa representação é feita em apenas um gráfico, que compõe o vetor 
com módulo e fase para todas as possíveis frequências .G(jω)|| (jω)< G ω 
 
Observe o gráfico abaixo com o Diagrama de Nyquist (ou Polar). Quando , o módulo ω = 0 
do vetor será infinito, já que o gráfico continua no sentido apontado pela seta. A fase (jω)G 
quando será -90°, já que teremos um vetor da origem até .ω = 0 − ∞ 
 
Podemos ver, por esta análise, que, neste gráfico, a frequência cresce no sentido 
anti-horário, já que está na origem do plano complexo. Seguindo o gráfico até ω = ∞ 
, vemos que o módulo do vetor agora é finito e pode ser encontrado a partirω1 > 0 (jω)G 
de . O mesmo é válido para a fase em , ela G(jω )| | 1 = √Re[G(jω )] m[G(jω )]1 2 + I 1 2 ω1 
agora é menor que -90° e pode ser encontrada a partir de . Essa (jω ) an ( )< G 1 = t −1 Re[G(jω )]1
Im[G(jω )]1 
mesma análise pode ser repetida em e até em que o módulo cai ω2 > ω1 ω3 > ω2 ω = ∞ 
para 0 assim como a fase cai para -270°. 
 
Por que usar isso? 
O principal motivo para utilizar um Diagrama Polar para representar uma função de 
transferência é poder visualizar completamente como o sistema se comporta em toda faixa 
de frequência. Essa visualização em um diagrama de Bode faria o gráfico ter tamanho 
infinito. 
Por que não usar isso? 
Ao contrário do Diagrama de Bode, no Diagrama de Nyquist nem sempre é clara a influência 
dos pólos e zeros de na resposta em frequência, temos apenas uma visão qualitativa (jω)G 
dessa influência. 
 
Agora que temos uma ideia de como o diagrama polar funciona, vamos ver como encontrar 
e esboçar este diagrama para cada um dos fatores mais comuns que podem estar presentes 
em . Começando com:(jω)G 
Fatores integrativo e derivativo (integrador e derivador) 
 
Dado que esses fatores possuem função de transferência ou , (jω) G = 1jω (jω) ωG = j 
temos que, para um integrador: 
 e G(jω)| | = √ 1ω2 = 1ω (jω) < ω 0°< G = − j = − 9 
Sendo assim temos que , ou seja, o módulo de irá crescer (jω) 0°G = 1ω < − 9 (jω)G 
quando decrescer e a fase será sempre -90°. Isso significa que o diagrama polar de um ω 
integrador estará no eixo imaginário negativo, com a frequência em e na ω = 0 − ∞ ω = ∞ 
origem do plano complexo. 
 
Para um derivador temos: 
 e G(jω)| | = √ω2 = ω (jω) ω 90°< G = < j = 
Neste caso, o diagrama polar do derivador, assim como do integrador, estará sobre o eixo 
imaginário, no entanto, no eixo imaginário positivo. A frequência estará na origem ω = 0 
enquanto a frequência estará em .∞ω = + ∞ 
 
Fatores de Primeira Ordem 
 
Para esses fatores temos: ou sendo a frequência de (jω)G = 11+jωT (jω) ωTG = 1 + j 
1
T 
corte. Assim: 
e G(jω)| | | = | 11+jωT = 
1
√1+ω T2 2
(jω) 1 ωT )< G = − < ( + j 
Sendo assim temos que . Fazendo a análise de temos:(jω) 1 ωT )G = 1
√1+ω T2 2
< − ( + j ω 
- Quando o módulo será 1 e a fase 0°;ω = 0 
- Quando , o módulo será e a fase -45°;/Tω = 1 1√2 
- Quando , o módulo será 0 e a fase -90°;ω = ∞ 
Ao organizarmos esses pontos no diagrama de Nyquist teremos um semicírculo no plano 
complexo negativo com a frequência se movimentando no sentido anti-horário, como na 
figura abaixo. 
 
Para o termo com temos:(jω) ωTG = 1 + j 
e G(jω)| 1 ωT | | = | + j = √1 T+ ω2 2 (jω) 1 ωT )< G = < ( + j 
Sendo assim temos que . Fazendo a análise de temos:(jω) (1 ωT )G = √1 T+ ω2 2 < + j ω 
- Quando o módulo será 1 e a fase 0°;ω = 0 
- Quando , o módulo será e a fase 45°;/Tω = 1 √2 
- Quando , o módulo será e a fase 90°;ω = ∞ ∞ 
Ao organizarmos esses pontos no diagrama de Nyquist teremos uma reta que sobe paralela 
ao eixo imaginário com a frequência se movimentando no sentido sul-norte, como na figura 
abaixo.