Dimensão Fractal de Esferas de Papel Amassado

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CEP 19.274-000 Rosana SP 
 
 
 
 
GUILHERME MICKAEL DA SILVA RAMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRACTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rosana 
Junho de 2018 
 
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CEP 19.274-000 Rosana SP 
 
 
 
GUILHERME MICKAEL DA SILVA RAMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRACTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
O objetivo do presente trabalho é avaliar a dimensão 
fractal de um objeto auto-representado no experimento 
como esferas de papel amassado e obter o valor da 
dimensão fractal das bolinhas. 
 
Guilherme Mickael da Silva Ramos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rosana 
Junho de 2018 
 
 
 
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CEP 19.274-000 Rosana SP 
RAMOS, Guilherme. Dimensão Fractal. 2018. 12f. Laboratório de Física I, 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus Experimental de 
Rosana, 2018. 
RESUMO 
Este relatório apresenta a narração do experimento desenvolvido em laboratório de 
física experimental relacionado à dimensão fractal, discute sua definição e cita alguns 
exemplos do mesmo. Após o desenvolvimento, encerra-se com uma conclusão 
altruísta e resultados aplausíveis. 
 
 
Palavras-chave: Fractal, Dilog, Mendelbrot. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 7 
2 RELATÓRIO TÉCNICO-CIENTÍFICO ................................................................... 8 
2.1 MATERIAIS UTILIZADOS .................................................................................. 8 
2.2 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO................................................................. 8 
3. RESULTADOS ...................................................................................................... 10 
4 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 11 
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE FIGURAS 
 
Figura1: Figura Fractal.........................................................................................07 
Figura2: Gráfico Escala Linear.............................................................................10 
Figura3: Gráfico Escala Dilog...............................................................................11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE TABELAS 
 
Tabela1: Dados experimento...............................................................................09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
 
Fractais é uma denominação dada a objetos geométricos que não podem ser 
classificados segundo às concepções da geometria euclidiana. Na tentativa de 
descrever alguns objetos complexos como este foi que se desenvolveu o estudo dos 
Fractais que nada mais são do que objetos e fenômenos da natureza que possuem 
formas irregulares, mas se observadas a diferentes escalas não perdem sua definição 
inicial. O estudioso Mandelbrot propôs uma definição fácil de ser entendida: Um fractal 
é uma forma composta de artes que de algum modo são semelhantes ao todo. Após 
alguns estudos serem feitos, evoluiu-se essa definição e foi possível estabelecer 
algumas características que um fractal apresenta: 
• O objeto tem de apresentar uma “estrutura fina”, isto é quanto maior for a 
aproximação da imagem, mais detalhes é possível observar; 
• É muito complexo para ser explicado com termos clássicos (termos euclidianos). 
Não se trata de um lugar geométrico que satisfaz determinada condição, nem os 
pontos apresentam um conjunto-solução de uma equação simples; 
• Pode ser construído a partir de um processo simples e direto; 
• Possui algum tipo de auto-semelhança, contém cópias de si próprio a várias 
escalas. Matematicamente pode ser gerado fractais com intervalos de escalas 
infinitos, porém na natureza os fractais são encontrados com esses intervalos 
limitados. 
 
Figura 1. Figura fractal. 
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Conforme a figura do floco de neve de acima, podemos observar um fractal 
geométrico clássico, simples de ser entendido. Partindo de um triângulo equilátero 
divide-se cada lado em três segmentos. Os segmentos intermediários são então 
substituídos por dois segmentos semelhantes que vêm a formar os lados de um 
triângulo equilátero menor. Isto resulta numa figura na forma de uma estrela com 12 
lados (6 pontas). Realizando o mesmo processo em cada um dos 12 lados e assim 
sucessivamente obtém-se uma figura em evolução constante que lembra um floco de 
neve. Quanto à dimensão, pode ser considerada a principal propriedade dos fractais, 
cada fractal tem sua dimensão, característica própria de cada objeto que tem a ver 
com seu grau de irregularidade, caracterizando a superfície de contato entre o objeto 
e o meio. 
 
2 RELATÓRIO TÉCNICO-CIENTÍFICO 
 
 2.1 MATERIAIS UTILIZADOS 
• Folha sulfite A4 branca; 
• Paquímetro; 
• Balança de precisão. 
 
 
 
 
 
2.2 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO 
 
1. O primeiro passo é pegar uma folha A4 e a repartir no meio, obtendo-se 2 metades. 
Preserva-se uma, e a outra é amassado, formando-se uma bolinha de papel. É 
repetido o processo com a outra metade preservada, dobrando-a no meio e 
obtendo-se 2 novas metades. Faz-se isto até obter 8 bolinhas de tamanho 
regressivo; 
 
2. Feita as bolinhas, é medido a massa de cada com o auxílio de uma balança de 
precisão e anotado os dados; 
 
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3. Em seguida, mede-se o diâmetro de cada bolinha 8 vezes para em imediatamente 
podermos calcular a média do diâmetro e posteriormente o raio. 
 
Conforme o procedimento acima, obtivemos os seguintes dados de diâmetro e raio 
em cm: 
bol\num 1 2 3 4 5 6 7 8 Méd Raio 
Massa 
(g) 
1 3,84 3,91 4,37 3,94 3,68 3,71 4,05 3,98 3,94 1,968 4,81 
2 2,92 2,98 3,04 2,9 2,93 2,96 2,9 3,11 2,97 1,484 2,41 
3 2,03 1,96 2,04 2,02 2,04 2,37 2,36 2,26 2,14 1,068 1,2 
4 1,61 1,66 1,6 1,55 1,61 1,63 1,65 1,61 1,62 0,808 0,61 
5 1,34 1,3 1,36 1,36 1,32 1,3 1,29 1,37 1,33 0,665 0,3 
6 0,97 0,9 0,9 0,87 0,83 0,87 0,85 0,84 0,88 0,439 0,16 
7 0,63 0,66 0,63 0,69 0,65 0,67 0,63 0,64 0,65 0,325 0,09 
8 0,51 0,48 0,44 0,45 0,45 0,47 0,49 0,5 0,47 0,237 0,04 
 
Tabela 1. Média do diâmetro (cm), raio (cm) e massa (g). 
 
 
No nosso experimento, foi utilizado gráficos de escala linear e gráfico 
dilog. Para conseguirmos chegar à dimensão fractal das bolinhas de papel, foi-se 
utilizado as seguintes equações: 
 
𝑀 = 𝑅𝐷𝐹 
 
𝑙𝑜𝑔𝑀 = 𝐷𝐹 𝑙𝑜𝑔 𝑅 
 
Para o gráfico de escala linear, e 
𝐷𝐹 = 𝐶𝐴 =
∆𝑦
∆𝑥
 
 
𝐷𝐹 =
log(𝑦) − log (𝑦)
log(𝑥) − log (𝑥)
 
Para o gráfico dilog, onde: 
 
• DF: Dimensão fractal; 
• CA: Coeficiente Angular; 
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• Log: Função log; 
• R: Raio; 
• ∆y: Variação de y; 
• ∆x: Variação de x; 
 
 
3. RESULTADOS 
 
A partir dos dadosobtidos, conseguimos então definir a dimensão fractal 
das bolinhas de papel, que é dada pelo coeficiente angular da reta proposta pelo 
gráfico, ou seja, DF =
∆y
∆x⁄ e 𝑙𝑜𝑔𝑀 = 𝐷𝐹 𝑙𝑜𝑔 𝑅, conforme os gráficos abaixo: 
 
 
Figura 2. Gráfico escala linear. 
 
 
y = 2,6333x - 1,0992
R² = 0,9153
-1
0
1
2
3
4
5
6
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500
m
as
sa
 (
g)
Raio (cm)
Grafico graduado Massa x Raio
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Figura 3. Gráfico escala dilog. 
 
 
𝐷𝐹 =
0,30
0,14
= 2,14 
 
 
4 CONCLUSÃO 
 
Os fractais são formas complexas que possuem auto-semelhança e quanto 
maior a escala da imagem, mais detalhes é possível observar do mesmo. Os objetivos 
gerais do experimento foram alcançados. 
 
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos De Física. 9. 
Ed. Rio De Janeiro, Rj: Ltc, C2013 Vol 1; 
 
Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark Waldo; Young, Hugh D.; 
Freedman, Roger A. 12. Ed. São Paulo, Sp: Pearson Addison Wesley, C2008- 2009 
Vol 1; 
 
 
0,01
0,1
1
10
0,100 1,000 10,000
m
as
sa
 (
g)
Raio (cm)
Gráfico Dilog
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Método da determinação da dimensão fractal por fourier e análise 
multiescala para reconhecimento de padrões, Disponível Em:< 
http://www.lbd.dcc.ufmg.br/colecoes/wvc/2007/0040.pdf>. Acesso Em: 26/ junho/ 
2018; 
Construção de Gráficos em papel dilog, Disponível Em:< 
http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/09545726082013Fisica_ba
sica_experimental_aula_03.pdf>. Acesso Em: 26/ junho/ 2018;