Exercícios de Sequências e Séries

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Disciplina: Sequências e Séries
Profa Yane Lísley
2a Lista de Exercícios
1. Considere as séries abaixo, verifique a convergência ou a divergência de cada uma delas:
a)
∞∑
n=1
1
2n−1
b)
∞∑
n=1
1
n2 + n
c)
∞∑
n=1
1
n2
d)
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
e)
∞∑
n=1
2
n2 + 5n+ 6
f)
∞∑
n=1
1
n
√
2
− 1
n+1
√
2
g)
∞∑
n=1
1 +
1
n
2. Considere a série ∞∑
n=2
n− 1
n!
.
a) Calcule as reduzidas até a sexta ordem da série acima.
b) Mostre que a série converge para 1.
3. Mostre que a série
∞∑
n=1
5
(n+ 4)(n+ 5)
converge para 1.
(Dica: Note que esta série é de encaixe (ou telescópica))
4. Suponha que
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
= log 2.
Mostre que
∞∑
n=1
(−1)n(n+ 2)
n(n+ 1)
= 1− 3(log 2).
(Dica: Inicialmente proceda como a série na Questão 3)
5. Suponha que an ≥ 0 para todo n ∈ N e que
∑
an é uma série convergente. Mostre que
∑
a2n
converge.
6. Sejam
∑
an uma série absolutamente convergente e (bn) uma sequência limitada. Mostre que∑
anbn é convergente. Se
∑
an é convergente e (bn) é uma sequência limitada também podemos
concluir que
∑
anbn converge? Justifique.
7. Considere (an) e (bn) sequências de números reais não-negativos tais que as séries
∑
a2n e
∑
b2n
convergem. Mostre que a série
∑
anbn converge.
8. Seja (an) uma sequência de números reais tal que an ≥ 0 e
∑
an converge. Mostre que
∑
an/n
é convergente.
9. Considere a, b constantes reais com a > b > 0. Mostre que a série
∑
(an − bn)−1 converge se
a > 1 e diverge se a ≤ 1.
10. Seja a ∈ R.
a) Mostre que a série
∞∑
n=0
a2
(1 + a2)n
é convergente.
b) Determine o limite da série.
11. Seja c um número real positivo. Prove que a série
∑
sen(c/n) é divergente.
12. No que segue a ∈ (0, 1) e b > 0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não
converge.
a)
∞∑
n=1
nban b)
∞∑
n=1
√
n
2n
c)
∞∑
n=1
1
n
√
2n
d)
∞∑
n=1
1√
n
d)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
e)
∞∑
n=1
bn
2n2
f)
∞∑
n=1
(
log(n)
n
)n
g)
∞∑
n=1
(
n
√
n− 1)n
h)
∞∑
n=1
(−1)n2n
n!
i)
∞∑
n=1
1
(ln(n))n
j)
∞∑
n=2
1
(n− 1)2 k)
∞∑
n=1
2 + cos(n)
n2
l)
∞∑
n=1
1026
n4 + n2 + 1
m)
∞∑
n=1
1 + 2n
1 + 3n
n)
∞∑
n=1
1√
n2n
o)
∞∑
n=1
(−1)n√
n
p)
∞∑
n=1
sen
(
1
n2
)
q)
∞∑
n=2
1
n(n− 1)
r)
∞∑
n=1
( −n
3n+ 1
)n
2
13. Marque V se verdadeiro e F se falso. Justifique cada alternativa.
a)( )Se lim an = 0⇒
∞∑
n=1
an converge.
b)( )Se
∞∑
n=1
an diverge⇒
∞∑
n=1
a2n diverge.
c)( )Se
∞∑
n=1
an converge⇒
∞∑
n=1
1
an
diverge.
d)( )Se
∞∑
n=1
an diverge e an 6= 0∀n⇒
∞∑
n=1
1
an
converge.
e)( )Se lim
n→∞
an
bn
=∞ e
∞∑
n=1
bn converge⇒
∞∑
n=1
an converge.
f)( )Se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn são convergentess⇒
∞∑
n=1
anbn converge.
g)( )Se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn são divergentes⇒
∞∑
n=1
(an + bn) é divergente.
h)( )Se
∞∑
n=1
an é divergente e λ 6= 0⇒
∞∑
n=1
λan também diverge.
i)( )Se
∞∑
n=1
an é convergente e
∞∑
n=1
bn é divergente⇒
∞∑
n=1
(an + bn) é divergente.
j)( )Se
∞∑
n=1
an é convergente, então
∞∑
n=100
an também é convergente.
14. Sejam
∑
an e
∑
bn séries de termos positivos. Suponha que
∑
bn = +∞ e que exista n0 ∈ N
tal que
an+1
an
≥ bn+1
bn
, para todo n > n0.
Conclua que
∑
an = +∞.
15. Sejam (an) e (bn) duas sequências tais que∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣bn+1bn
∣∣∣∣ , para todo n > n0,
e suponha que a série
∑
bn convirja absolutamente. Mostre que
∑ |an| converge.
16. (Critério da comparação no limite): Sejam
∑
an e
∑
bn séries de termos positivos e seja
l = limn→+∞
(
an
bn
)
. Mostre que:
a) Se l > 0 as séries
∑
an e
∑
bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.
b) Se l = 0 e
∑
bn converge, então
∑
an também converge.
c) Se l = +∞ e ∑ bn é divergente, então ∑ an também é divergente.
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