Polinômio Característico em Álgebra Linear

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MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 20 - Polinoˆmio caracter´ıstico
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Polinoˆmio caracter´ıstico
Se λ e´ um autovalor do operador linear T : V → V , enta˜o vale
V (λ) = Ker (T − λIV ). Agora, se α e´ uma base qualquer de V
considere a matriz [λIV −T ]
α
α do operador λIV −T : V → V . Segue
que
Ker (λIV − T ) 6= 0 ⇔ D([λIV − T ]αα) = 0.
Esta relac¸a˜o acima nos da´ uma ide´ia de como poderemos achar os
autovalores de um dado operador T : V → V .
Veja que D([tIV − T ]
α
α) e´ um polinoˆmio, na varia´vel t, moˆnico de
grau n e que λ e´ autovalor de T se, somente se, e´ uma raiz de
D([tIV − T ]
α
α).
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Polinoˆmio caracter´ıstico
Mostra-se que D([tIV −T ]
α
α) e´ um invariante de T , ou seja, na˜o de-
pende base escolhida (verifique !). Isto justifica a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o: Sejam T : V → V um operador linear e α uma base
de V . Chamamos o polinoˆmio pT (t) = D([tIV − T ]
α
α) de polinoˆmio
caracter´ıstico de T .
Segue da discussa˜o anterior que os autovalores de T , caso existam,
sera˜o as ra´ızes de seu polinoˆmio caracter´ıstico.
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Polinoˆmio caracter´ıstico
Exemplo: Determine os autovalores e os autovetores do operador T
cuja matriz na base canoˆnica e´ dada por
A =
[
4 2
3 −1
]
.
Soluc¸a˜o: O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ pT (t) = (t−4)(t+1)−6,
ou seja, pT (t) = t
2 − 3t − 10. Assim, os autovalores de T sa˜o −2
e 5. E´ fa´cil ver que V (−2) = {(−y , 3y) : y ∈ R} e V (5) = {(2y , y) :
y ∈ R}.
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Polinoˆmio caracter´ıstico
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O determinante da matriz
tIn − A, onde t e´ uma indeterminada, e´ chamado polinoˆmio carac-
ter´ıstico da matriz A e e´ denotado por pA(t).
Dados um polinoˆmio p(t) = ar t
r + ar−1t
r−1 + · · ·+ a1t + a0 e uma
matriz quadrada A de ordem n, define-se
p(A) = arA
r + ar−1A
r−1 + · · ·+ a1A+ a0In
que e´ uma matriz quadrada de ordem n.
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Polinoˆmio caracter´ıstico
Exemplo: Consideremos a matriz
A =
[
1 3
−1 0
]
.
O polinoˆmio caracter´ıstico de A e´ pA(t) = t
2 − t + 3. Verifica-se
facilmente que pA(A) = A
2 − A+ 3I2 = 0.
A seguir, apresentamos um dos importantes Teoremas ba´sicos da
A´lgebra Linear, o chamado Teorema de Cayley-Hamilton que genera-
liza o resultado do exemplo acima.
Teorema de Cayley-Hamilton: Sejam A ∈ M(n) e seja pA(t) o
polinoˆmio caracter´ıstico de A. Enta˜o, pA(A) = 0, onde 0 e´ a matriz
nula de M(n).
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Polinoˆmio caracter´ıstico
Uma consequeˆncia imediata do Teorema de Cayley-Hamilton e´ que
se grau(pA(t)) = r a poteˆncia A
r , de uma matriz A ∈ M(n), pode
ser escrita como uma combinac¸a˜o linear das poteˆncias de A com
expoentes menores do que r , pois se
Ar + ar−1A
r−1 + · · ·+ a1A+ a0In = 0
enta˜o
Ar = −ar−1A
r−1 − · · ·− a1A− a0In.
O Teorema de Cayley-Hamilton nos da´ uma forma de calcular
poteˆncias de uma dada matriz. Veremos, na pro´xima unidade, que o
ca´lculo de tais poteˆncias fica bastante simplificado se a matriz tiver
a propriedade de ser diagonaliza´vel.
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Polinoˆmio caracter´ıstico
Se pA(t) e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz A ∈ M(n), o
teorema de Cayley-Hamilton nos diz que pA(A) = 0. No entanto,
pA(t) pode na˜o ser o polinoˆmio de menor grau que se anula em A.
Veja exemplo abaixo:
Exemplo: Se
A =
 3 0 00 2 0
0 0 2
 ,
enta˜o pA(t) = (t − 3)(t − 2)
2. Pelo teorema de Cayley-Hamilton,
temos pA(A) = 0. Agora considere o polinoˆmio mA(t) = (t−3)(t−2),
e´ claro que mA(t) divide pA(t) e mA(A) = 0.
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Polinoˆmio caracter´ıstico
A discussa˜o justifica a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o: O polinoˆmio minimal de uma matriz A ∈ M(n) e´ o po-
linoˆmio moˆnico mA(t) de menor grau tal que mA(A) = 0.
Voltando ao exemplo anterior, temos que pA(t) = (t − 3)(t − 2)
2 e
mA(t) = (t − 3)(t − 2).
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