Exercicios de polinômio minimal

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Exerćıcios de Polinômio Minimal
1. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. Dada a transformação linear T : R3 → R3; T (x, y, z) = (x + y +
z, x+ y+ z, x+ y+ z), seu polinômio minimal é m(x) = x(3− x).
II. O operador linear T : R3 → R3 cuja matriz em relação à base
canônica é A =
 −8 −4 −847 18 39
−8 −2 −5
 tem polinômio caracteŕıstico
igual a p(t) = −(t − 1)(t − 2)2 e polinômio minimal m(t) = (t −
1)(t− 2).
III. O polinômio minimal do operador identicamente nulo T : R3 →
R3, é m(x) = x3.
Gabarito: VFF
2. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. Dada a transformação linear T : R3 → R3; T (x, y, z) = (x, x +
2y, x+y−3z), seu polinômio caracteŕıstico possui três ráızes reais
distintas.
II. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja matriz em relação
à base canônica é A =
 1 4 −31 10 −7
1 13 −9
. Neste caso, o polinômio
minimal é igual ao polinômio caracteŕıstico.
III. O polinômio minimal do operador identidade em V é m(x) = 1−x.
Gabarito: VVV
3. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. A transformação linear T : R2 → R2; T (x, y) = (9x−16y, 4x−7y),
tem polinômio minimal m(x) = (x− 1).
1
II. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja matriz em relação à
base canônica é A =
 3 4 −48 7 −8
10 10 −11
. O polinômio minimal é
igual a m(x) = (x+ 1)(x− 1).
III. Dada a matriz M =
[
a b
c d
]
o polinômio caracteŕıstico de M é
pM(λ) = λ
2 − (trM)λ+ detM .
Gabarito: FVV
4. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. A transformação linear T : R2 → R2; T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y),
tem polinômio minimal igual ao polinômio caracteŕıstico.
II. Seja T : R4 → R4 um operador linear cuja matriz em relação à
base canônica é A =

1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
. O polinômio minimal é igual
a m(x) = (1− x)4.
III. Dada a matriz M =
 a b c0 d e
0 0 f
, o polinômio minimal é diferente
do polinômio caracteŕıstico.
Gabarito: VVF
5. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. A transformação linear T : R2 → R2; T (x, y) = (3y,−x + 4y),
tem polinômio minimal igual ao polinômio caracteŕıstico.
II. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja matriz em relação à
base canônica é A =
 0 −1 02 3 0
−1 2 0
. Tem-se m(x) = p(x) =
−x(x− 1)(x− 2).
III. Os polinômios caracteŕısticos das matrizes quadradas A e At são
diferentes.
2
Gabarito: FVF
3