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LE 202 – Física Experimental I Gráficos Lineares Método dos Mínimos Quadrados Profas. Ana Luiza C. Pereira e Vanessa P. Gomes Gráficos • Depois de realizar medidas, é comum representar os dados na forma de gráficos, para maior clareza. Um gráfico pode mostrar informações que não podem ser facilmente descritas por palavras ou equações. Nos relatórios sobre os experimentos realizados, em muitos casos, vocês precisarão produzir gráficos. Medidas da Voltagem em função da corrente fluindo através de um resistor Corrente (A) V o lt ag e m ( m V ) 1) Escala: É essencial escolher adequadamente a escala. Deve ser feita uma escala independente para cada eixo: os dois eixos não precisam ter a mesma origem e nem a mesma escala numérica. A escala deve ser marcada nos eixos sempre usando valores com intervalos regulares entre si (por exemplo: 2 em 2, ou 50 em 50, ou 0,1 em 0,1...). Indiquem de 5 a 10 marcas. Não usem na escala os valores da própria tabela! (a menos que estes já sejam valores com intervalos regulares, igualmente espaçados). 2) Em papel milimetrado: Se usarem o papel milimetrado, tentem aproveitar uma boa área do papel. Façam uso inteligente das subdivisões indicadas no próprio papel (que é subdividido em múltiplos de 10). Como elaborar um bom gráfico 3) Eixos e Unidades: Escrevam nos eixos os nomes de cada quantidade física representada e, entre parênteses, as unidades usadas. 4) Marcação dos Pontos: Marquem pontos facilmente visíveis: Devem ser clara cuidadosamente marcados. 5) Evitem ligar os pontos. Somente deverá ser usada uma curva entre os pontos quando for útil apresentar um guia para os olhos ou quando um modelo for comparado ou ajustado aos pontos experimentais. Em ambos os casos, o procedimento, modelo ou utilidade da curva deve ser mostrada no texto e a curva claramente identificada. Se a relação entre os pontos parecer linear, por exemplo, pode-se ajustar uma reta aos pontos (ver a seguir). 6) Os valores dos pontos nunca devem ser colocados no gráfico. Para isto existem as tabelas. Como elaborar um bom gráfico 7) Barras de erro: Os pontos das medidas deverão aparecer com suas respectivas barras de erro. A posição central do ponto é a média da medida (x, y). A barra de erro no eixo x começa em x − ∆x e vai até x + ∆x. O mesmo para o eixo y. Ex: Seja uma medida x = 0,6 ± 0,1 e y = 0,5 ± 0,2. No gráfico a seguir, o valor (0,6 ; 0,5) é mostrado pelo ponto e as linhas mostram os valores dos erros. Essas linhas são chamadas de barras de erro. Como elaborar um bom gráfico Obs: Se a barra de erro for muito pequena, pode ser necessário indicar algo como: “a barra de erro é menor que símbolo representado”, ou “a barra de erro é muito pequena para aparecer na figura”. Gráficos com Relação Linear • Reconhecer o padrão dos dados ao analisar o gráfico é útil, mas geralmente não é o suficiente. Será ainda mais útil se pudermos obter a equação matemática que se ajusta aos dados. Isso nos permite depois calcular o valor da variável dependente (y) para qualquer valor da variável independente (x). • Se os pontos graficados fornecem uma relação linear, podemos ajustar aos dados uma reta e obter a equação da reta ajustada: onde A e B são constantes. A é a inclinação da reta (coefeiciente angular) e B é o coeficiente linear. Gráficos com Relação Linear • Se x e y são variáveis linearmente relacionadas. Se as medidas de x e y não tivessem incertezas, então cada ponto cairia exatamente sobre uma reta: , como no gráfico à esquerda. • Na prática, sempre há incertezas, e o máximo que podemos esperar é que a distância de cada ponto em relação à reta seja razoável quando comparada às incertezas. Gráficos com Relação Linear • O problema que temos é então encontrar a reta que melhor se ajusta às medidas, ou seja, encontrar as melhores constantes A e B a partir das medidas. • Há o método gráfico, que é aproximado, e há o método analítico, chamado de regressão linear ou método dos mínimos quadrados. 1) Método Gráfico • Traça-se-se com uma régua (e com bom senso) uma reta que se ajuste bem ao conjunto de pontos. A reta não precisa passar necessariamente por nenhum dos pontos, mas precisa balancear cuidadosamente, minimizando a distância de todos os pontos à reta. • Para determinar o coeficiente angular A (inclinação da reta), deve-se escolher dois pontos desta reta ajustada : (x1,y1) and (x2,y2). O coeficiente angular será dado por: • Obs: escolha pontos da reta e não pontos das medidas, pois estes nem sempre pertencem à reta!. De preferência, escolha pontos distantes um do outro para aumentar a precisão. • O coeficiente linear B é simplesmente o valor de y para x = 0. • Cuidado: os coeficientes da reta têm unidades! A unidade de A é [unidade de y] / [unidade de x]. A unidade de B é a mesma de y. Exercício 1 Num experimento mediu-se posição em função do tempo de um certo objeto em movimento e encontraram-se os resultados apresentados na tabela a seguir. Considere que para cada medida da posição há uma imprecisão na medida de ± 2 cm. Faça um gráfico da posição em função do tempo em papel milimetrado e obtenha, pelo método gráfico, a equação da reta que melhor se ajusta às medidas. 2) Método dos Mínimos Quadrados • O método gráfico é aproximado. Por ele, duas pessoas não encontram exatamente os mesmos valores para os coeficientes da melhor reta. O método dos mínimos quadrados (ou regresão linear) usa estatística para definir a reta que melhor se ajusta ao conjunto de medidas. • Sejam N medidas • Qual a melhor reta ?? • Para um dado xi experimental, o y (xi) da melhor reta terá um pequeno desvio em relação ao yi medido. Esse desvio é dado por: y medido y da reta 2) Método dos Mínimos Quadrados • O método gráfico é aproximado. Por ele, duas pessoas não encontram exatamente os mesmos valores para os coeficientes da melhor reta. O método dos mínimos quadrados (ou regresão linear) usa estatística para definir a reta que melhor se ajusta ao conjunto de medidas. • Sejam N medidas • Qual a melhor reta ?? • Para um dado xi experimental, o y (xi) da melhor reta terá um pequeno desvio em relação ao yi medido. Esse desvio é dado por: y medido y da reta 2) Método dos Mínimos Quadrados • O método dos mínimos quadrados consiste em obter a melhor reta (ou seja, os melhores parâmetros A e B) através da minimização do desvio total S: (obs: se não tomarmos os quadrados, a soma de todos os desvios tende a zero): 2) Método dos Mínimos Quadrados • Temos que encontrar A e B tais que S seja mínimo. Ou seja, temos que minimizar S em relação a A e B: • Como fazer isso? • Para minimização, as derivadas de S em relação a A e B têm que ser nulas (reparem que os somatórios na expressão de S são números uma vez que se tem as medidas): (1) (2) 2) Método dos Mínimos Quadrados • Com as eqs. (1) e (2), caímos num sistema de 2 eqs e 2 variáveis. A partir da eq. (2) têm-se: • Substituindo na eq. (1): 2) Método dos Mínimos Quadrados • Ou 2) Método dos Mínimos Quadrados • Além de fornecer os coeficientes A e B da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados medidos, o método permite calcular as incertezas na determinaçãode A e de B. • No caso em que a variável y é medida com incerteza (sendo as incertezas iguais pra todo y), tem-se: • Incerteza em A: • Incerteza em B: Exercício 2 Encontrar pelo método dos mínimos quadrados a equação da reta que melhor se ajusta às medidas do exercício 1. Considere novamente que para cada medida da posição há uma imprecisão na medida de ± 2 cm, e calcule agora também a imprecisão na determinação dos coeficientes da reta. Exercício 2 - Resolução N=8 Exercício 2 - Resolução Não esquecer as unidades e nem o arredondamento correto do valor de A e B de acordo com a incerteza (erro) Na calculadora • Limpar Memória • Mode 3 1 (3 = regressão, 1 = linear) • Entrar dados: xi, yi M+ • Shift S-var -> A , B • Ou Shift S-Sum (encontra as somatórias) y = A + Bx (cuidado, na calculadora Cassio, A é o coeficiente linear e B é o angular, ao contrário do que fizemos aqui)
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