exercício de calculo 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLAˆNDIA
Campus Patos de Minas
Professor Marcelo Lopes Vieira
Trabalho de FVR-II
Valor: 20 pts - Data de entrega: ate´ 11/07/2018
1. Defina a diferencial de f(x, y) em (x0, y0)
2. Calcular a diferencial de f(x, y) = x +
√
xy no ponto (1,1).
3. Seja z = x2y.
(a) Calcule a diferencial dz.
(b) Utilizando a diferencial calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆z em z,
quando se passa de (1, 2) para (1.02, 2.01).
(c) Qual o erro cometido nesta aproximac¸a˜o?
4. Considere a func¸a˜o f(x, y, z) = x2yz + 2x− 2y.
(a) Calcular a diferencial de f(x, y, z) no ponto
(
1, 2,
1
2
)
.
(b) Calcular a diferencial de f(x, y, z).
5. Seja z = 6− x2− y2. Encontrar a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva resultante da
intersec¸a˜o de z = f(x, y) com o plano x = 2, no ponto (2, 1, 1) da superf´ıcie.
6. Seja f diferencia´vel no ponto (x0, y0). Defina o plano tangente ao gra´fico de f no
ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
7. Seja f(x, y) = 3x2y− x. Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no
ponto (1, 2, f(1, 2)).
8. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

xy2
x2 + y2
; (x, y) 6= (0, 0)
0; (x, y) = (0, 0)
.
O gra´fico de f admite plano tangente em (0, 0, f(0, 0))?
9. Seja f(x, y) = 3x2y − x. Determine a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f no
ponto (1, 2, f(1, 2)).
i
ii
10. A func¸a˜o diferencia´vel y = y(x) e´ definida implicitamente pela equac¸a˜o
y3 + xy + x3 = 3.
Expresse
dy
dx
em termos de x e y.
11. A func¸a˜o diferencia´vel de z = z(x, y) e´ dada impl´ıcitamente pela equac¸a˜o
xyz + x3 + y3 + z3 = 5.
Expresse
∂z
∂x
e
∂z
∂y
em termos de x, y, e z.
12. Encontre os pontos extremantes de f(x, y) = 3x + 2y com a restric¸a˜o x2 + y2 = 1.
13. Determine o ponto da superf´ıcie x2 + 2y2 + z2 = 1 cuja soma das coordenadas seja
ma´xima.
14. Determine os pontos mais afastados da origem cujas coordenadas esta˜o sujeitas a`s
equac¸o˜es x2 + 4y2 + z2 = 4 e x + y + z = 1.
15. Considere a esfera x2 + y2 + z2 − a2 = 0.
(a) Calcule seu vetor normal no ponto (x, y, x).
(b) Escreva sua representac¸a˜o parame´trica.
(c) Calcule a a´rea de sua superf´ıcie.
16. Determine a parametrizac¸a˜o das superf´ıcies abaixo:
(a) Elipso´ide;
(b) Parabolo´ide El´ıptico;
(c) Parabolo´ide Hiperbo´lico;
(d) Hiperbolo´ide de Duas Folhas;
17. Determine a a´rea das superf´ıcies abaixo:
(a) x2 + y2+ = 4, −1 ≤ z ≥ 1;
(b) x2 + y2+ = z2, −1 ≤ z ≥ 1;
18. Calcule
∫
S
∫
~F .~ndA, onde:
(a) ~F = (2x, 5y, 0), S : ~n = (u, v, 4u + 3v), 0 ≤ u ≥ 1,−8 ≤ v ≥ 8;
(b) ~F = (x2, 0, 3y2), e S e´ a porc¸a˜o do plano x + y + z = 1 restrita ao primeiro
octante.
19. (a) Enuncie o Teorema da Divergeˆncia de Gauss;
iii
(b) Use o Teorema da Divergeˆncia de Gauss para calcular∫
S
∫
x3dydz + x2ydxdz + x2zdxdy
onde S e´ a superf´ıcie limitada pelo cilindro x2 + y2 = a2(0 ≤ z ≥ b) e pelos
discos z = 0 e z = b.
20. (a) Enuncie o Teorema de Stokes;
(b) Calcule ∫
S
∫
(rot~v)~ndA
onde S e´ o quadrado de ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 0), e ~n =
(z, x, y).
(c) Calcule ∫
S
∫
(rot~v)~ndA
onde S e´ o disco x2 + y2 ≤ 1, z = 0 e ~n = (−y3, x3, 0).
Bom Trabalho!