Resistencia dos Materiais II Cap 12 Deflexo

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Capítulo 12: 
Deflexão em 
vigas e eixos 
A Linha Elástica 
• Para curva elástica,o momento positivo interno tende a curvar a viga 
com a concavidade para cima, e vice versa. 
• Deve haver um pondo de inflexão em C, onde a curva passa de 
côncava para cima a côncava para baixo, visto que o momento neste 
ponto é nulo. 
A Curva Elástica 
Relação Momento-Curvatura 
• Devido a carga, a deformação na viga é provocada pela força cortante 
interna, bem como pelo momento fletor.. 
• Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear 
elástica, a lei de Hooke é aplicável, 
A Curva Elástica 
ρ = raio de curvatura em um ponto específico 
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ 
E = módulo de elasticidade do material 
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro 
EI = rigidez à flexão 
Inclinação e deslocamento 
por integração 
• Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo 
do comprimento da viga. 
• A inclinação e alteração da relação da viga é 
 
 
• Cada integração é usada para resolver todas as constantes de modo 
a obter uma solução única para um problema particular. 
     xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI 
2
2
3
3
4
4
 
Inclinação e deslocamento 
por integração 
Condições de contorno e continuidade 
• As constantes de integração são determinadas pela avaliação das 
funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento. 
• Esses valores são chamados de condições de contorno. 
A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga 
triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante. 
Exemplo 12.2 
Devido à simetria, somente a coordenada x é necessária para a solução, 
 
 
A equação para carga distribuída é . 
 
 
 
 
Por consequência, 
x
L
w
w 0
2

2/0 Lx 
Solução: 
Integrando duas vezes, temos 
Para condição de 
contorno, 0,
192
5
 em resulta 2,0 e 0,0 2
3
0
1  C
Lw
CLxdxdvxv
21
3050
1
2040
030
2
2
2460
812
43
CxCx
Lw
x
L
w
EIv
Cx
Lw
x
L
w
dx
dv
EI
x
Lw
x
L
w
M
dx
vd
EI



Portanto, 
x
Lw
x
Lw
x
L
w
EIv
192
5
2460
3
03050 
Para deflexão máxima em x = L/2, 
A viga na Figura (a) está sujeita à carga P em sua extremidade. 
Determine o deslocamento em C. EI é constante. 
Exemplo 12.4 
Devido à carga, 2 coordenadas x serão consideradas, 
Usando os diagramas de corpo livre, 
2211 
2
PxMx
P
M 
axax  21 0 e 20
211
3
11
1
2
1
1
1
12
1
1
2
12
 
4
 
2
 20 para
CxCx
P
EIv
Cx
P
dx
dv
EI
x
P
dx
vd
EIax



Portanto, 
Solução: 
e 
423
3
22
3
2
2
2
2
22
2
2
2
2
6
 
2
 
 0 para
CxCx
P
EIv
Cx
P
dx
dv
EI
Px
dx
vd
EIax



3
4
2
32
2
1 
6
7
 0 
3
PaCPaCC
Pa
C 
axvaxvxv  221111 ,0 ;2,0 ;0,0
As quatro constantes de integração são determinadas usando três 
condições de contorno, 
Resolvendo, temos 
Portanto, resolvendo 
equações. EI
Pa
x
EI
Pa
x
EI
P
v
3
2
2
3
22
6
7
6

Quando x2 = 0, temos 
Método da superposição 
• satisfaz os dois requesitos necessários 
para aplicação do princípio da superposição. 
1) Carga é linearmente relacionada a deflexão. 
2) Espera-se que a carga não mude significativamente. 
 
• Utilizando resultados tabulados do Apêndice C, é possível 
determinar a inclinação e deslocamento em um ponto sobre 
a viga submetida a várias cargas. 
 xwdxvdEI 44
Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada 
na Figura (a). EI é constante. 
Exemplo 12.13 
A carga pode ser separada em duas partes componentes. 
O deslocamento em C e a inclinação em A são determinados por meio 
da tabela, 
Para força concentrada de 8-kN, 
Deslocamento total em C e a 
inclinação em A são, 
Solução: 
Determine o deslocamento na extremidade C da viga em balanço 
mostrqada na figura. EI é constante. 
Exemplo 12.15 
Do Apêndice C, a inclinação e deslocamento em B são 
Visto que o ângulo é pequeno, o deslocamento em C torna-se 
Solução: 
Vigas e eixos estaticamente 
indeterminados 
• Um elemento é classificado como estatisticamente indeterminado se 
 
 
• Para determinar as reações na viga que são estatisticamente 
indeterminadas: 
a) Especifique as reações redundantes. 
b) Determine as redundâncias pelo grau de indeterminação. 
c) Aplique redundâncias e resolva as reações. 
equações de nº dasdesconheci reações de nº 
Vigas e eixos estaticamente 
indeterminados — método da 
integração 
• Há 3 métodos para resolver as redundâncias 
1) Método de Integração 
Requer duas integrações de diferentes equações: 
EI
M
dx
vd

2
2
3) Método de superposição 
Resolver as cargas redundantes nas vigas carregadas axialmente e 
torsionalmente carregadas. 
= + 
A viga na figura (a) está fixada em ambas as extremidades e sujeita à 
carga uniforme. Determine as reações nos apoios. Despreze o efeito da 
carga axial. 
Exemplo 12.18 
Pelo diagrama de corpo livre, 
(Resposta) 
2
wL
VV BA 
'
22
2 Mx
w
x
wL
M 
Pela inclinação e curva elástica, 
21
243
1
32
2
2
2
'
2412
'
64
'
22
CxCx
M
x
w
x
wL
EIv
CxMx
w
x
wL
dx
dv
EI
Mx
w
x
wL
dx
vd
EI



Solução: 
Pelas condições de contorno, temos C1 = C2 =0, assim 
(Resposta) 
12
'
2wL
M 
Determine as reações no apoio de rolete B da viga mostrada na Figura 
(a) e trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é 
constante. 
Exemplo 12.21 
Por inspeção, a viga é estatisticamente 
indeterminada de primeiro grau. 
Considerando o dislocamento positivo 
para baixo, a equação de compatibilidade 
em B é 
Deslocamentos podem ser obtidos 
diretamente da tabela do Apêndice C. 
Solução: 
Substituíndo na Eq. 1 e resolvendo, obtemos 
Determine as reações na viga mostrada na Figura (a). Devido à carga e 
à má construção, o apoio de rolete em B cede 12 mm. Considere E = 
200GPa e I = 80(106) mm4. 
Exemplo 12.22 
Por inspeção, a viga é indeterminada de 
primeiro grau. 
Com referência ao ponto B, utilizando 
unidades métricas, exige-se que 
Utilizando a tabela no Apêndice C, 
Solução: 
Portanto, Equação 1 torna-se 
Substituindo E e I, temos 
Nós podemos calcular as reações em A e C 
usando as equações de equilíbrio.