lista 2 Geometria Analítica.equação reta e plano

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Serviço Público Federal - Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Alagoas – IFAL - Campus Maceió
LISTA DE EXERCÍCIOS
PROFESSOR: Gilmar Teodozio
DISCIPLINA: Geometria Analítica
CONTEÚDOS: Produto Escalar, Produto Vetorial e Produto Misto.
1. Considere os pontos A(2,4), B(4,5) e C(5,2). Encontre a:
a) equação cartesiana da reta r que passa pelos pontos A e C;
b) equação cartesiana da reta s que passa por B e é perpendicular à reta r;
c) altura h do triângulo ABC em relação a base AC.
2. Considere os pontos A(0,3), B(2,1), C(0,-2) e D(3,3). Verifique que os segmentos AB e CD se intersectam e determine o ponto de intersecção.
3. Sejam r a reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(3,4) e t a reta que passa pelos pontos C(6,0) e D(1,-3). Verifique que as retas r e t são concorrentes e determine o ponto P de intersecção. O ponto P pertence ao segmento AB, à semirreta ou à semirreta oposta a ? O ponto P pertence ao segmento CD, à semirreta ou à semirreta oposta a ?
4. Encontre as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(1,3) e é paralela à reta s: 2x + 4y = - 4.
5. Determine o ponto P de ordenada – 4 sobre a reta s que passa pelo ponto A(-2,5) e é perpendicular à reta r: ; t ∈ ℝ.
6. Ache a equação afim da reta:
a) paralela à reta que passa pelo ponto (6,2);
b) perpendicular à reta que passa pelo ponto (4,0);
c) perpendicular à reta que passa pelo ponto (2,4).
7. Determine a equação da reta r paralela à reta s: y = 3x -2 que passa pelo ponto médio do segmento AB, onde A(3,-4) e B(9,8).
8. Dadas as equações paramétricas das retas abaixo, diga quais delas representam a mesma reta e quais são paralelas:
 ; t ∈ ℝ; ; s ∈ ℝ e ; q ∈ ℝ.
9. Mostre que as retas r1, r2, r3 e r4 formam um quadrado, onde:
; ; e ; t ∈ ℝ.
10. Considere o paralelogramo ABCD de vértices A(1,1), B(4,3) e C(5,4). Encontre a equação da reta r que passa pelo vértice D e é paralela à diagonal de ABCD que não passa por D.
11. Discuta em função de m ∈ ℝ, a posição relativa das retas:
r: 4mx – my = 3 e s: 12x – 3my = m.
12. Para que valores de λ ∈ ℝ, as retas (λ-1)x + 6y = -1 e 4x + (λ+1)y = 1 são paralelas?
13. Encontre todas as retas perpendiculares à reta s: 3x + 4y = 1.
14. Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta r que:
a) passa pelos pontos A(1,2,3) e B(4,5,6);
b) passa pelo ponto C(2,2,4) e é paralela ao vetor ;
c) passa pelos pontos A(2,4,6) e B(3,4,5);
d) passa pelo ponto C(3,-1,4) e é paralela ao vetor 
15. Considere as retas , , e , onde A(1,1,1), B(3,4,2), C(3,4,5), D(-7,-10,-7), E(1,1,0), F(-4,-6,-6), G(-1,-2,0) e H(5,7,3). Verifique se as retas ri e rj, i ≠ j, i,j = 1,2,3,4, são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas.
16. Considere as retas e , onde A(5,1,2), B(9,0,1), C(4,1,3) e D(-2,2,6). Mostre que as retas se intersectam em apenas um ponto P. Este ponto P pertence ao segmento AB e/ou ao segmento CD?
17. Verifique quais pares de retas r e s são coincidentes e quais são paralelas, onde:
a) e ;
b) e ;
c) e .
18. Obtenha a equação paramétrica da reta s que passa pelo ponto P(5,0,-3) e é paralela à reta .
19. Encontre a equação simétrica da reta r que contém a mediana AM do triângulo ABC, onde A(-2,3,1), B(1,6,3) e C(-1,5,1).
20. Seja r a reta que passa pelo ponto A(2,1,3) e é paralela ao vetor . Quais dos pontos P(1,-1,-1) e Q(4,5,8)pertencem à reta r?
21. Sejam os pontos A(1,2,4), B(4,6,3), C(-2,0,5), P(1,1,0), Q(4,3,-1) e R(10,1,1), e π o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de π. Verifique se os pontos P, Q e R pertencem a π e se o vetor é paralelo a π.
22. Obtenha as equações paramétricas do plano π que:
a) passa pelos pontos A(1,1,4), B(6,5,4) e C(-2,0,2);
b) passa pelo ponto D(1,1,1) e é paralelo aos vetores e ;
c) passa pelo ponto E(1,2,0) e F(4,6,1) e é paralelo ao vetor ;
d) passa pelo ponto G(0,3,0) e é paralelo aos vetores e .
23. Seja r a reta que passa pelos pontos P(-2,0,-1) e Q(-3,2,5). Verifique se r, se r // π ou se r é um ponto, em cada item da questão anterior. Caso r seja um ponto, determine este ponto.
24. Obtenha as equações cartesianas dos planos da questão 22.
25. Encontre as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano π normal ao vetor que contém o ponto P(2,1,1).
26. Considere os planos , e e a reta r que passa pelos pontos A(3,1,4) e B(4,0,3). Verifique se , ou r corta o plano num ponto, para i = 1,2,3. Caso seja um ponto, obtenha este ponto.
27. Seja a reta r que passa pelo ponto P(4,4,3) e é paralela ao vetor . Determine as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano π que contém a reta r e o ponto Q(0,3,1).
28. Considere a reta r que passa pelo ponto A(1,4,2) e é paralela ao vetor e a reta s que passa pelos pontos B(6,1,0) e C(4,-1,-4). Mostre que r e s são retas paralelas e obtenha as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano que as contém.
29. Ache o ponto simétrico Q do ponto P(1,3,-4) em relação ao plano .
30. Do ponto P(5,4,-7) é traçada uma perpendicular ao plano π. Se o pé desta perpendicular é o ponto Q(2,2,-1), encontre a equação cartesiana de π.
31. Considere o plano π gerado pelos vetores e que contém o ponto A(-1,0,2) e a reta r paralela ao vetor que passa pelo ponto B(-1,6,4). Encontre a equação cartesiana de π e obtenha a reta contida em π que passa pelo ponto B e é perpendicular a r.
32. Para que valores de A e D, a reta está contida no plano .
33. Determine todos os pontos de interseção dos planos:
(a) e ;
(b) e ;
(c) e .
34. Sejam os planos e . Descreva a posição relativa entre os planos e em termos de e b.
35. Ache o conjunto solução do sistema e determine em caso geométrico ele se enquadra:
 
 
36. Considere os planos , e . Obtenha todos os valore de e b, caso existam, de modo que a interseção dos planos , e seja:
(a) um único ponto; (b) uma reta; c) o conjunto vazio.
37.Encontre os números reais , e a fim de que o conjunto solução do sistema 
Seja uma reta que passa pelo ponto A(0,1,-1).
38. Considere os planos e , onde . Determine m e n, de modo que e sejam paralelos.