Geometria e Cálculo - UFF 2023.1

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Fundamentos de Cálculo e Geometria - UFF 2023.1
Lista 9 - Espaço: Retas, planos, esferas, ângulos e distâncias
1. Para quais valores de A e D a reta x = 3 + 4t
y = 1− 4t
z = −3 + t
, t ∈ R
está contida no plano Ax+ 2y − 4z +D = 0?
2. Em cada caso, encontre as equações paramétricas da reta r, sabendo que:
(a) r passa pelos pontos (1,−1, 3) e (2, 3,−5).
(b) r é a interseção dos planos 3x+ y − z = 3 e x+ y + z = 7.
(c) r é perpendicular ao plano 2x− 3y + 4z = 0 e passa pelo ponto (1, 2, 3).
(d) r é perpendicular aos vetores −→u = (1, 2, 3) e −→v = (2, 3, 4) e passa pelo ponto (3, 4, 5).
3. Encontre as equações paramétricas do plano π nos seguintes casos:
(a) π passa pelo ponto A = (1, 2, 1) e é paralelo aos vetores −→u = (1, 2, 3) e −→w = (2,−1, 1).
(b) π é perpendicular ao plano 4x − 3y + 2z = 9 e passa pelos pontos A = (2,−6, 4) e B =
(3,−7, 5).
(c) π passa pelo ponto A = (3,−1, 0) e é perpendicular aos planos 4x−y−z = 1 e 2x+y+3z = 6.
(d) π contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano β : 3x+ 5y − 7z = 39.
(e) π contém o ponto A = (2, 3, 4) e é perpendicular à reta
r :
 x = 1− t
y = 2 + 2t
z = 1 + 3t
, t ∈ R
4. Em cada caso, encontre a equação cartesiana do plano α tal que:
(a) α contém os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 0).
(b) α contém o ponto A = (1, 1, 1) e a reta
r :
 x = 1 + t
y = 2t
z = 0
, t ∈ R
(c) α contém os pontos A = (1, 2, 1) e B = (2, 1, 3) e é perpendicular ao plano β : x+y+z = 2.
(d) α contém as retas
r1 :
 x = t
y = 0
z = 0
; t ∈ R e r2 :
 x = 0
y = t
z = 0
; t ∈ R
(e) α contém as retas
r1 :
 x = t
y = −2t
z = 1
; t ∈ R e r2 :
 x = 1− 2t
y = 4t
z = 2
; t ∈ R
(f) α é paralelo ao plano Π : x+y−2z−4 = 0 e tangente à esfera S : x2+y2+z2−4x−2y−4z+8 =
0.
1
5. Considere as seguintes retas:
t :
{
2x− y + z = 3
4x+ z = 1
m :
 x = 1− t
y = 2 + t
z = 3
, t ∈ R
n :
{
x− 2 = y+1
2
z = 2
r :
x+ 7
2
=
y
2
=
z + 2
−1
s :
{
x+ y = 3
2x+ 2y − z = 7
E os planos
α : 2x− y + z = 1 β : −y + 3z = 4 π :
 x = 2λ− µ
y = λ+ µ+ 1
z = 1− λ
;λ, µ ∈ R
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(a) m e α (b) n e r (c) α e β (d) m e s (e) n e α (f) t e π
Caso as retas sejam reversas, determine os pontos nas retas que realizam a distância entre as
retas.
6. Sejam π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 2), C = (2, 1, 3) e π2 o plano
que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (1, 0, 0) e é paralelo ao vetor −→v = (1, 2, 1). Ache o
ângulo entre π1 e π2.
7. Calcule a distância do ponto P0 = (2, 5,−1) à reta que passa pelo ponto A = (1,−1, 2) e é
paralela ao vetor −→v = (1, 0, 1).
8. Encontre o ponto simétrico Q do ponto P = (4, 1, 6) em relação à reta x = 5 + 2t
y = 17− 2t
z = t
, t ∈ R
9. Encontre o ponto simétrico P ′ do ponto P = (1, 3,−4) em relação ao plano 3x+ y − 2z = 0.
10. Um plano Π1 é paralelo ao plano Π2 : 2x− 2y + z = −4 e o ponto (2, 2, 2) é equidistante de Π1
e Π2. Determine a equação de Π1.
11. Mostre que as retas r1 : x = y−1
3
= z − 2 e r2 :
{
2x− y + z = 3
−3x+ y = −4
são paralelas, determine a
equação cartesiana do plano que as contém e calcule d(r1, r2).
12. Encontre a equação da esfera S que passa pelos pontos A = (−1, 2, 3), B = (1, 4,−1), C =
(3,−2,−1) e D = (0, 4, 1).
13. Mostre que a reta r = {(4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1); t ∈ R} é tangente à esfera S : (x− 1)2 + (y+ 3)2 +
(z + 1)2 = 3 e encontre o ponto de tangência.
2
14. Determine a equação da esfera S que tem raio 3 e é tangente ao plano Π : x+ 2y + 2z = −3 no
ponto P = (1, 1,−3).
15. Encontre a equação da esfera tangente ao plano π1 : x + 2y + 2z = 16 no ponto (2, 3, 4) e ao
plano π2 : 2x+ 2y + z = −3 no ponto (−1,−1, 1).
16. Analise a posição relativa entre a esfera S e o plano π dados abaixo. Caso π∩S seja um ćırculo,
determine o centro e o raio do ćırculo, e caso π ∩ S seja um ponto, obtenha suas coordenadas.
(a) S : x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y = 2 e π : x+ 2y − z = 1.
(b) S : x2 + y2 + z2 − 2y − 4z = 0 e π : x+ 2z = −1.
3
GABARITO
1. A = 3, D = −23.
2. (a)
 x = 1 + t
y = −1 + 4t
z = 3− 8t
, t ∈ R
(b)
 x = t
y = 5− 2t
z = 2 + t
, t ∈ R
(c)
 x = 1 + 2t
y = 2− 3t
z = 3 + 4t
, t ∈ R
(d)
 x = 3− t
y = 4 + 2t
z = 5− t
, t ∈ R
3. (a)
 x = 1 + t+ 2s
y = 2 + 2t− s
z = 1 + 3t+ s
, t, s ∈ R
(b)
 x = 2 + 4t+ s
y = −6− 3t− s
z = 4 + 2t+ s
, t, s ∈ R
(c)
 x = −4− 7t+ 3s
y = t
z = s
, t, s ∈ R
(d)
 x = −2− 5
3
t+ 7
3
s
y = t
z = s
, t, s ∈ R
(e)
 x = −16 + 2t+ 3s
y = t
z = s
, t, s ∈ R
4. (a) z = 0.
(b) 2x− y + z = 2.
(c) −3x+ y + 2z = 1.
(d) z = 0.
(e) −2x− y + 2z = 2.
(f) x+ y − 2z = 1±
√
6.
5. (a) A reta m e o plano α são concorrentes, ∠(m,α) = π
3
.
(b) A reta n e a reta s são reversas, ∠(n, s) = arccos(2
√
5
5
), e d(n, s) = 9. P1 = (3, 1, 2) ∈ n e
P2 = (−3, 4,−4) ∈ s são os pontos que realizam a distância entre n e s.
(c) O plano α e o plano β são concorrentes, e ∠(α, β) = arccos 2
√
15
15
.
(d) As retas m e s são paralelas, e d(m, s) = 4.
(e) A reta n e o plano α são paralelas, ∠(n, α) = 0◦ e d(n, α) =
√
6.
6. ∠(π1, π2) = arccos
√
2
3
.
7. 2
√
11.
8. Q = (22, 17, 2).
4
9. P ′ = (−5, 1, 0).
10. 2x− 2y + z = 8.
11. r1 :
 x = t
y = 3t+ 1
z = t+ 2
, t ∈ R , e r2 :
 x = s
y = 3s− 4
z = s− 1
, s ∈ R . O plano que contém as retas r1
e r2: 4x− 3y + 5z = 7. d(r1, r2) = 5
√
22
11
.
12. (x− 1
2
)2 + (y − 1
2
)2 + z2 = 27
2
.
13. O ponto de tangência: (0,−2, 0).
14. (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9 ou x2 + (y + 1)2 + (z + 5)2 = 9.
15. (x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 9.
16. (a) π ∩ S é um ćırculo, com o centro (−1
3
, 1
3
,−2
3
) e o raio 2
√
3
3
.
(b) π é tangente a S no ponto P = (−1, 1, 0).
5