HOMOLOGIA PLANA

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HOMOLOGIA PLANA 
 
PROJEÇÕES COTADAS 
 
 
Paulo Sérgio Brunner Rabello 
 
 
 
 
Professor Adjunto da Universidade do Estado do 
Rio de Janeiro 
Ex-Professor da Universidade Federal Fluminense 
Livre-Docente em Construção Civil 
Especializado em Geometria e Representação 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro, 2011 
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Primeira Parte 
 
 
HOMOLOGIA PLANA
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1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
Dois pontos são ditos correspondentes quando estão 
contidos num mesmo raio projetivo que parte de um centro de 
projeções. Deste modo pode-se inferir que duas figuras são 
correspondentes quando há correspondência respectiva entre todos 
os pontos de uma e da outra. 
figura 01-a 
 
Para que duas retas sejam correspondentes basta que dois 
quaisquer de seus pontos sejam, respectivamente correspondentes. 
 
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figura 01-b 
 
Uma correspondência é biunívoca quando a cada ponto de 
uma figura corresponde um, e somente um, ponto da outra. 
A equação y = 3x + 1 representa, algebricamente, uma 
correspondência biunívoca uma vez que, para cada valor de x existe 
somente um valor de y, e vice-versa. 
Já na equação y = x² + 1, a cada valor de x corresponde um 
só valor de y, mas a recíproca não é verdadeira e a correspondência 
não é biunívoca. 
Um exemplo clássico é a correspondência entre uma 
circunferência e uma reta. 
Quando o centro de projeções (ou centro projetivo) está 
sobre a circunferência, a correspondência é biunívoca. 
Se o centro projetivo não estiver sobre a circunferência, não 
existirá biunivocidade e a correspondência é chamada simples. 
 
 
 figura 02-a figura 02-b 
 
Quando duas figuras estão associadas por uma 
correspondência biunívoca são então chamadas homólogas. 
 
 
 
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2 – TEOREMA DE DESARGUES 
 
Se dois triângulos são homólogos, as retas que unem os 
vértices correspondentes se interceptam num mesmo ponto e os 
prolongamentos dos lados correspondentes se interceptam sobre 
uma mesma reta. 
A demonstração desse teorema só é possível quando os 
triângulos não são coplanares. 
 
 
 
figura 03 
 
Sejam: 
 
(O) : centro projetivo 
 
ABC: triângulo contido no plano () 
 
A’ B’ C’ : triângulo homólogo de ABC, contido no plano () 
 
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e : interseção de () com () 
 
Demonstração: 
 
A’ A e B’ B são coplanares, logo se interceptam num mesmo 
ponto (O). 
 
A’ A e C’ C também são coplanares e se interceptam 
também no ponto (O). 
 
Conclui-se então que A’ A, B’ B e C’ C se interceptam em 
(O). 
 
AB e A’ B’, obviamente são coplanares também, mas AB 
pertence a () e A’ B’, pertence a (). Logo AB e A’ B’ se 
interceptam num ponto M da reta e, interseção de () como (). 
Por raciocínio análogo, conclui-se que os pontos N 
(interseção de AC com A’ C’) e P (interseção de BC com B’ C’) 
pertencem também à reta e. 
 
3 - HOMOLOGIA 
 
Aplicando as conclusões de Desargues aos conceitos 
anteriormente vistos sobre correspondências, pode-se definir 
homologia como sendo a transformação geométrica que estabelece 
uma correspondência biunívoca entre pontos e pontos, retas e retas 
de duas figuras de modo que dois pontos correspondentes estejam 
alinhados com um ponto fixo e duas retas correspondentes se 
interceptem sobre uma mesma reta. 
O ponto fixo é chamado centro de homologia e à reta que 
contém os pontos comuns das retas homólogas chama-se eixo de 
homologia. 
Os pontos, retas e planos que estabelecem uma homologia 
entra duas figuras são chamados elementos da homologia. 
 
 
 
 
 
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figura 04 
 
Do sistema homológico da figura destacam-se os seguintes 
elementos: 
 
O : centro de homologia 
 
(  ) : geometral, plano horizontal que contém a figura 
objetiva AB 
 
(Q) : quadro, plano perpendicular a (), que contém a figura 
A’ B’, homóloga de AB 
 
(N) : plano neutro, também perpendicular a (), que contém 
o centro de homologia 
 
(H) : plano do horizonte, paralelo a (), que também contém 
o centro de homologia 
 
e : eixo de homologia, interseção de (Q) e () 
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 l 1 : reta limite 1, interseção de (H) com (Q) 
 
 l 2 : reta limite 2, interseção de () com (N) 
 
n : linha neutra, interseção de (H) com (N) 
 
Observando-se atentamente a figura dada, verifica-se que: 
 
1) Se prolongamos AB, indefinidamente, no sentido de B para 
A, A’ se deslocará sobre o suporte A’ B’, no sentido de B’ 
para A’ até encontrar l1, no ponto L1. Como AB, A’ B’, (O) e 
L1 são coplanares e OL1 pertence ao plano (H), paralelo a 
(), L1 será paralela ao suporte AB. 
Concluímos então que L1 é o lugar geométrico dos pontos 
homólogos dos pontos impróprios da reta que contém AB. 
Por extensão do raciocínio, concluímos também que a reta limite 
l1 é o lugar geométricos dos pontos impróprios de todas as retas que 
pertencem ao geometral. 
A distância de (O) a l, mede o afastamento do centro de 
homologia em relação ao quadro. 
 
2) Pelo teorema de Desargues, o encontro dos suportes de AB 
e A’ B’ se dá sobre o eixo de homologia (e), no ponto M. 
Se prolongarmos, agora, A’ B’, no sentido de A’ para B’, B se 
deslocará sobre o suporte AB, encontrará B’ em (H) e segue até 
interceptar l2 em L2. Como AB, A’ B’, M, (O) e L2 são coplanares 
e OL2 pertence ao plano (N), paralelo a (Q), OL2 será paralelo 
ao suporte A’ B’. 
Concluímos então L2 é o lugar geométrico dos pontos 
homólogos dos pontos impróprios da reta que contém A’ B’. 
Ainda por extensão de raciocínio, concluímos também que a 
reta limite l 2 é o lugar geométrico dos pontos impróprios de 
todas as retas que pertencem ao quadro. 
A distância de (O) a l 2, mede a altura de centro de 
homologia em relação ao geometral. 
 
3) A figura formada pelos pontos O,L1, M e L2 é um 
paralelogramo, logo OL1 = ML2 e M L1 = L2O. 
 
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4 – CONSTRUÇÃO DA HOMOLOGIA 
 
Tomam-se a reta limite 1 (l 1), e o eixo de homologia e como 
eixos de rotação. 
Gira-se o plano (H) (plano do horizonte) em torno de l 1 no 
sentido trigonométrico até que (H) se confunda com o quadro (Q). 
Gira-se o geometral (), em torno de e, também no sentido 
trigonométrico, até que () se confunda com o quadro (Q). 
 
 
figura 05 
 
 
Com estas operações é possível trabalhar com as 
homologias no plano do quadro que, em última análise é a própria 
épura do sistema homológico em questão. 
Como pode ser observado a correspondência entre A e A’, 
bem como entre B e B’ á mantida após o rebatimento. 
Também o paralelogramo definido por O,L 1, M e L2 fica bem 
evidenciado. 
O conhecimento, portanto, dessas propriedades permite a 
resolução de qualquer problema de homologia e, especialmente, 
fundamenta o estudo da perspectiva cônica. 
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5 – PROBLEMAS FUNDAMENTAIS 
 
5.1 – Dados os pontos homólogos A e A’, o centro de homologia O, 
e o eixo de homologia e, determinar as retas limites l 1 e l 2. 
 
 
 
 
 
 
 
figura 06-a 
 
 
- escolhe-se um ponto M, arbitrário, sobre e; 
- une-se A e A’ a M; 
- por O traça-se paralela a AM até encontrar o 
prolongamento de MA’ no ponto L1; 
- por L1, traça-se paralela a e, determinando l 1; 
- por O, traça-se paralela a A’M até encontrar o 
prolongamento de AM no ponto L2; 
- por L2 traça-se paralela a e, determinando l 2. 
 
 5.2 – Dados o centro de homologia O, o ponto A do 
geometral, o eixo de homologia e e a reta limite ?1, determinar 
A’ homólogo de A. 
 
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figura 06-b 
 
 
- escolhe-se um ponto L1, arbitrário, sobre l; 
- une-seO a L1; 
- por A traça-se uma paralela a OL, determinando M sobre 
e; 
- liga-se M a L1, determinando A’ sobre o raio AO. 
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5.3 – Dados o centro de homologia O, o eixo de homologia e e a 
reta limite l 1, determinar a reta limite l 2. 
- como a distância d entre 0 e l 1 é igual à distância entre e 
e l 2, basta traçar uma paralela a e com distância d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 07-a 
 
 
 5.4 – Dados o centro de homologia O, o eixo de homologia e, 
a reta limite l 1, um ponto A’ sobre l 1 e outro ponto B’, 
determinar A e B, homólogos de A’ e B’. 
 
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figura 07-b 
 
- liga-se A’ a B’ até encontrar M sobre e; 
- por M traça-se paralela a OA’; 
- como A’ está sobre l 1 seu homólogo é o ponto impróprio 
A do raio OA’; 
- liga-se 0 a B’ prolongando até encontrar MA, 
determinando B, homólogo de B’. 
 
6 – CASOS PARTICULARES 
 
 Um sistema homológico é geral quando todos os seus 
elementos são próprios. 
 
 Na realidade os elementos mais importantes numa homologia 
são o seu centro e o eixo. 
 Quando um, outro, ou ambos são impróprios, estamos diante 
dos casos particulares de homologia. 
 
 
 
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6.1 – AFINIDADE 
 
 Ocorre quando o centro de homologia é impróprio e o eixo é 
próprio. 
 Neste caso o eixo de homologia é chamado eixo de afinidade. 
 Chama-se razão de afinidade à relação entre as distâncias 
dos pontos homólogos ao eixo de homologia: 
 
 K = Aao / A’Ao = BBo / B’Bo = Cco / C’Co 
 
 A relação acima é demonstrada pelo teorema de Thales. 
 
 
figura 08-a 
 Se a direção dos raios projetantes é perpendicular ao eixo de 
homologia, diz-se que a afinidade é ortogonal. 
 
 
6.2 – HOMOTETIA 
 
 Ocorre quando o centro de homologia é próprio e o eixo 
impróprio. 
 Neste caso o centro de homologia é chamado centro de 
homotetia. 
 Os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes logo as razões 
entre os lados homólogos são iguais e determinam a razão de 
homotetia: 
 
 K = AB / A’ B’ = BC / B’ C’ = AC / A’ C’ 
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figura 08-b 
 
6.3 – TRANSLAÇÃO 
 
 Ocorre quando tanto o centro como o eixo de homologia são 
impróprios 
 Nesse caso as figuras são congruentes. 
figura 09-a 
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7 – TRANSFORMAÇÕES HOMOLÓGICAS 
 
7.1 – POLÍGONOS 
 
 Um polígono irregular pode ser homólogo de outro polígono 
qualquer de mesmo número de lados, desde que seja determinado o 
sistema homológico adequado em que o centro de homologia 
assume posição específica e determinada. 
 Se qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos, 
lembrando o teorema de Desargues, fica evidenciado porque 
polígonos homólogos tem, obrigatoriamente, o mesmo número de 
lados. 
 
7.1.1 – Transformação de um quadrilátero qualquer 
num quadrado homólogo. 
 
 Se o quadrilátero ABCD é homólogo de um quadrado A’ B’ C’ 
D’, seus lados paralelos quando prolongados determinarão a reta 
limite l 1. De fato, se AB é paralelo a CD, seus prolongamentos se 
encontrarão em L1. Sendo AD paralelo a BC, seus prolongamentos 
se encontrarão em L2. Ligando L1 a L2, tem-se a reta limite l 1. 
 O eixo de homologia tem que ser paralelo a l 1. Por facilidade 
traçamos o eixo pelo ponto A, pois seu homólogo fica logo 
determinado. 
 
 Sabe-se que OL1 será paralelo a MD’ C’, OL2 será paralelo a 
NB’ C’ e o ângulo D’ C’ B’ é reto. 
Sabe-se ainda que AB = BC = CD = DA. 
 O problema consiste então em encontrar uma posição para o 
centro projetivo O tal que L1 OL2 seja um ângulo reto. 
 Para tanto, determina-se o arco capaz de 90º em relação ao 
segmento L1L2. O arco em questão é o lugar geométrico dos pontos 
que “vêem” o segmento L1L2 sob ângulo de 90º. 
 Qualquer posição de O sobre o arco C1 faz com que A’ B’ C’ 
D’ seja, pelo menos um retângulo. 
Falta determinar uma posição específica para que o polígono 
seja um quadrado. 
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 Determinam-se então as diagonais do polígono ABCD. Liga-
se L1 ao ponto de encontro dessas diagonais determinando os 
pontos E e F. 
 Prolonga-se a diagonal AC até encontrar L3 em L1 . 
 L, EF e L3AC são lados homólogos de um ângulo de 45º. 
Acha-se então o arco capaz de 45º em relação ao segmento L1L3. É 
o arco C2. 
A interseção de C1 e C2 define a posição de O. 
Agora sim, há condições de determinar o quadrado ABCD. 
Liga-se O a A1 B1 C e D. 
Por M traça-se uma paralela a OL1 e determina-se D’ sobre 
OD e C’ sobre OC. 
Por N traça-se uma paralela a OL2 e determina-se B’ sobre 
OB. 
O ponto A é ponto unido de A’. 
Unem-se os pontos A, B, C e D e temos o quadrado 
procurado. 
 
figura 09-b 
 
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7.1.2 – Transformação de um triângulo qualquer num 
triângulo equilátero. 
 
 Se o triângulo ABC é homólogo do triângulo equilátero A’ B’ 
C’, então AC pode ser uma das diagonais de um paralelogramo 
ABCD que o divide em dois triângulos equiláteros iguais, ou seja, 
ABC e DBC. 
 Construi-se então o paralelogramo ABCD e determinam-se a 
reta limite l1 e o eixo de homologia e de análogo ao exemplo 
anterior. 
 Sabe-se que os ângulos BCA e ACD tem 60º. 
 O centro de homologia O, neste caso, estará na interseção de 
arcos capazes de 60º, c1 e c2, sendo um em relação a L1L3 e outro 
em relação a L3L2. 
 Une-se O a L1. 
Traçam-se os raios projetantes OB e OC. 
Por M, traça-se paralela a OL, determinando B’ sobre OB e C’ 
sobre OC. 
Ligando A’ B’ e C’, tem-se o triângulo equilátero pedido. 
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figura 10 
 
7.2 – CIRCUNFERÊNCIA 
 
 A transformada homológica da circunferência é sempre uma 
cônica. 
 Quando a homologia é uma afinidade, a transformada de 
circunferência é uma elipse. 
 Quando a homologia é uma homotetia ou uma translação, a 
transformada é outra circunferência (que pode ser considerada 
como uma cônica degenerada). 
 Quando a homologia é cônica a transformada da 
circunferência pode ser elipse, hipérbole ou parábola. 
 
 
 
 
 
21 
 
7.2.1 – Construção da transformada homológica de 
uma circunferência conhecendo-se o eixo de 
homologia e, o centro da circunferência O, seu 
homólogo O, o raio da circunferência e a 
direção dos raios projetantes. 
 
Se é dada a direção dos raios projetantes a transformada é 
uma afinidade. 
 O traçado de pontos da elipse é tarefa extremamente simples, 
bastando que se determinem os extremos homólogos de diâmetros 
da circunferência. 
Para determinar os eixos da elipse procede-se da seguinte 
forma: 
 
- traça-se a mediatriz do segmento OO’, determinando o 
ponto E sobre o eixo de homologia e; 
- com centro em E e raio EO ou EO’ traça-se uma 
circunferência que corta o eixo de homologia e nos pontos 
P e Q; 
- liga-se P a O e O’ determinando o diâmetro AB da 
circunferência, seu homólogo A’ B’ será o eixo maior da 
elipse; 
- liga-se Q a O e O’ determinando o diâmetro CD da 
circunferência, seu homólogo C’ D’ será o eixo menor da 
elipse. 
 
 
 
 
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figura 11 
 
Para traçar uma tangente por um ponto T’ da elipse, procede-
se da seguinte forma: 
 
- Determina-se o ponto T da circunferência, homólogo de 
T’. 
- Traça-se por T a tangente t à circunferência e prolonga-se 
até encontrar To no eixo de homologia 
- Ligando To a T’ tem-se a tangente t’ procurada. 
 
 Note-se que, ligando T’ a O’ e prolongando até o eixo de 
homologia, deverá encontrar no mesmo ponto P o prolongamento de 
TO 
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7.2.2 – Construção da transformada homológica de 
uma circunferência conhecendo-se o centro de 
homologia O, o centro da circunferência C, a 
reta limite l2 eixo de homologia e o raio da 
circunferência. 
 
1º caso: A circunferência não tem ponto de contato com a reta 
limite. 
 
 A transformada é uma elipse. 
 
 
 
 
figura 12 
24 
 
- Escolhe-se arbitrariamente um ponto L1 sobre l2 e por ele 
traçam-setangentes a circunferência nos pontos M e N; 
- Determinam-se os homólogos M’ e N’; 
- Prolonga-se MN até encontrar ?2 em L2; 
- Traçam-se por L2 novas tangentes à circunferência 
determinando os pontos P e Q; 
- Determinam-se os homólogos P’ e Q’ (notar que P, Q e L1 
são colineares); 
- A interseção de MN com PQ é o ponto D, cujo homólogo 
D’ é o centro da elipse em que M’ N’ e P’ Q’ são diâmetros 
conjugados; 
- Outros pontos da elipse são simples de serem marcados, 
o que não foi feito para não congestionar a épura. 
 
2º caso: A circunferência tem um ponto de contato com a reta limite. 
 
 A transformada é uma parábola 
 
 
 figura 13 
25 
 
Se o homólogo de F é ponto impróprio, OF é a direção homóloga do 
eixo da parábola. 
 Sabe-se que a tangente à parábola no vértice é perpendicular 
ao seu eixo. 
 O procedimento então é o seguinte: 
 
- Une-se O a F e por O traça-se uma perpendicular a OF 
até encontrar G em l 2; OG é a direção homológica da 
tangente à parábola no vértice; 
- Por G traça-se uma tangente ao círculo, no ponto V; 
- Une-se F e G a V e determinando p e t, respectivamente; 
- Determinam-se os homólogos V’, p’ e t’, respectivamente, 
vértice, eixo e tangente da parábola; 
- Outros pontos são facilmente determináveis, 
especialmente considerando que os pontos da curva são 
simétricos em relação ao eixo p da parábola. 
 
3º caso: A circunferência tem dois pontos de contato com a reta 
limite. 
 A transformada é uma hipérbole. 
 
figura 14 
26 
 
 
 
 As tangentes à circunferência nos pontos M e N encontram-se 
em S. 
 SM e SN são homológicas das assíntotas da hipérbole. 
 
 Procede-se da seguinte forma: 
 
- Traçam-se as tangentes à circunferência pelos pontos M 
e N e prolongam-se os segmentos até que se encontrem 
em S, SM e SN encontrem o eixo de homologia e, 
respectivamente em Q e T; 
- Determinam-se as assíntotas da hipérbole traçando uma 
paralela a OM por Q e outra a ON por T; determinando S’ 
(notar que S, O e S’ são colineares); 
- A bissetriz do ângulo QS’T define o eixo b’ da hipérbole; 
- O encontro de b’ com o eixo de homologia e é o ponto U 
que ligado a S determina a corda da circunferência que é 
homóloga do eixo da hipérbole; 
- Os pontos V e V1 que SU determina na circunferência que 
é homóloga do eixo da hipérbole; 
- A hipérbole não está traçada para não congestionar a 
épura porém a forma de encontrar seus pontos é análoga 
aos casos anteriores. 
 
7.2.3 – TANGENTES 
 
 O traçado de tangentes por pontos da transformada em 
qualquer caso de homologia cônica é feita da mesma forma, ou seja: 
 
- Definido o ponto T’ da transformada, acha-se seu 
homólogo T na circunferência homóloga; 
- Traça-se a tangente à circunferência no ponto T, definindo 
a reta t; 
- Determina-se a reta t’, homóloga de t, que será a tangente 
da transformada no ponto desejado. 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda Parte 
 
 
PROJEÇÕES COTADAS
28 
 
1.0 - DESCRIÇÃO DO MÉTODO 
 
O método das projeções cotadas foi idealizado por Fellipe 
Büache em meados do século XVIII com a finalidade precípua de 
executar o levantamento hidrográfico do canal da Mancha. 
Posteriormente, com o incremento das guerras napoleônicas, a 
utilização deste método foi estendida para usos militares e 
posteriormente aplicado em projetos de estradas, ferrovias e obras de 
terra. 
No método de Monge, a relação entre o valor da cota de um 
ponto e o do seu afastamento é limitada. Não é possível representar 
em épura as projeções de pontos em que haja disparidade 
considerável entre suas cotas e seus respectivos afastamentos. O 
método das projeções cotadas supre exatamente essa deficiência 
observada no método de Monge, embora a aplicação das operações 
fundamentais – projetar (por um ponto) e cortar (por um plano) – 
seja mantida. 
No método das projeções cotadas ou, simplesmente, em 
projeções cotadas, o centro projetivo é impróprio, as projeções são 
cilíndricas- ortogonais e só há um plano de projeção. 
Esse plano, suposto sempre horizontal, é chamado plano de 
comparação designado também por (). As cotas são indicadas 
algebricamente tornando desnecessária a existência de outro plano de 
projeção para “amarrar” as figuras do espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 
29 
 
 
 
Da figura 01, depreende-se que: 
 
d{(A),A(a)} = a 
d{(B),B(b)} = b 
d{(C),C(c)} = c 
------------------- 
d{(N),N(n)} = n 
 
Nos projetos em que é imprescindível conhecer a topografia do 
terreno onde será executada uma obra de engenharia, a aplicação 
desse método é insuperável. 
 
2.0 - ESCALAS 
 
A utilização do método das projeções cotadas envolve, na 
prática, figuras de grandes dimensões fazendo com que sejam 
adotados critérios para relacionar as dimensões da figura 
representada com as dimensões da figura real (figura objetiva). Esta 
relação é chamada escala. 
 
Tem-se então que E = d / D. onde d é a dimensão de um 
elemento da figura representada graficamente e D é a dimensão do 
elemento correspondente da figura real. 
 
Exemplo: 
 
Se uma viga reta de 10 metros de comprimento é 
representada graficamente por um segmento retilíneo de 5 
centímetros, a escala adotada foi: 
 
 E = 5 cm/10 m ou E = 5 cm/1000 cm ou ainda E = 1/200 
 
Isto significa que cada centímetro desenhado corresponde a 
200 cm (ou 2 m) da figura real. 
30 
 
Quando a representação gráfica é menor que a figura real, 
trata-se de uma escala de redução, que é o caso mais geral nos 
projetos de engenharia. 
Em caso contrário trata-se de uma escala de ampliação. A 
representação gráfica de mecanismos de relógios de pulso é um 
exemplo de escala de ampliação. 
É costume adotar a indicação de escalas através de 
quocientes entre valores algébricos ou relações percentuais. 
 
Exemplo: 
 
Se na representação de um objeto adotou-se E = 1/25, pode-
se escrever: 
 
 E = 1/25 ou E = 1:25 ou ainda E = 4% 
 
As escalas podem ser também gráficas, bastando para isso 
que se indique no desenho a unidade gráfica adotada. 
Esse procedimento é comum nos mapas geográficos e nas 
cartas náuticas. 
 
 
Exemplo: 
 
figura 02 
 
3.1 - ESTUDO DO PONTO 
 
3.1 - REPRESENTAÇÃO 
 
Como a representação gráfica é feita apenas sobre um plano 
de projeção – sobre o plano de comparação, como já foi dito – a 
31 
 
representação de pontos em projeções cotadas é feita por letras 
maiúsculas com a indicação das respectivas cotas entre parênteses. 
A épura, nesse tipo de representação, é muito simples e não 
tem, obviamente, linha de terra. 
 
figura 03 
 
Se o ponto está acima do plano de comparação, sua cota é 
positiva. Se estiver abaixo é negativa. 
Se o ponto pertencer ao plano de comparação, sua cota é 
nula. 
O plano de comparação é o lugar geométrico dos pontos de 
cota nula. 
 
3.2 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Dados dois pontos objetivos (A) e (B), determinar a distância 
d{(A), (B)} é determinar o comprimento do segmento de reta que 
une (A) e (B) sendo conhecidas as projeções A(a) e B(b). 
 
32 
 
 
figura 04 
Para resolver o problema o procedimento inicial é rebater o 
plano vertical que contém os pontos (A), (B), A(a) e B(b) sobre um 
plano horizontal que pode ser o próprio plano de comparação, tal 
como mostrado na figura 04. 
Pela projeção de cada ponto, traçam-se perpendiculares ao 
segmento A(a) B(b). 
Sobre cada uma das perpendiculares marcam-se as grandezas 
das cotas respectivas, determinando os pontos A1 e B1, tais que 
A(a)A1 = a e B(b) B1 = b, respeitando o sinal de cada um. 
O segmento A1 B1 é pois a solução gráfica do problema. 
A solução também pode ser dada algebricamente:d = A1 B1 = d (A)(B) 
 
 mas, d² = {A(a), B(b)}² + (b – a)², 
então, teremos: 
 
 d = [{A (a), B (b)}² + (b – a)²]½ 
 
 
33 
 
 
 
 
figura 05 
 
 
 
Se um dos pontos tem cota negativa, o procedimento é o 
mesmo, porém deve-se atentar para que o rebatimento dos pontos 
seja feito em lados distintos do segmento que une as projeções dos 
pontos. 
 
34 
 
 
 
 
figura 06 
 
d = d1 + d2 = A1 O1 + O1 B1 
 
d1 = [{A (a) O (o)}² + (-a)²]½ 
 
d2 = [{O (o) B (b)}² + b²]½ 
 
 d = [{A (a) O (o)}² + a²]½ + [{O (o), B(b)}² + b²]½ 
 
Observando a figura pode-se afirmar também que: 
 
d = [{A (a) B (b)}² + (a + b)²] ½ 
 
 
 
 
 
35 
 
4.0 – ESTUDO DA RETA 
 
4.1 - REPRESENTAÇÃO 
 
Uma reta fica definida quando se conhecem, pelo menos, 
dois de seus pontos. Assim, a representação de uma reta em 
projeções cotadas fica determinada quando são conhecidas as 
projeções de dois de seus pontos. 
Em épura, a projeção de uma reta é representada por um 
segmento retilíneo e identificada pelas projeções de dois de seus 
pontos ou por uma letra minúscula livre. 
 
 
 s(5) 
 
figura 07 
 
4.2 – POSIÇÕES DE UMA RETA EM RELAÇÃO AO PLANO 
DE COMPARAÇÃO 
 
Supondo uma reta (r) dada pelas projeções de dois de seus 
pontos A (a) e B (b), em relação ao plano de comparação (), a reta 
(r) pode estar: 
 
- inclinada (reta qualquer) : a  b 
- paralela (reta horizontal) : a = b (inclusive a = b = O) 
- perpendicular (reta vertical) : A (a)  B (b), onde a  b 
 
 
36 
 
 
4.3 – PERTINÊNCIA DE PONTO A RETA 
 
Para que um ponto pertença a uma reta é condição necessária 
e suficiente que a projeção do ponto esteja sobre a projeção da reta e 
que a cota do ponto seja a mesma da reta onde as projeções de ambos 
são coincidentes. 
Para marcar um ponto sobre uma reta ou verificar se um 
ponto pertence a uma reta, basta que se rebata a reta sobre um plano 
horizontal e se encontre na reta a cota correspondente a do ponto em 
questão. 
Sendo dada uma reta (r) pelas projeções de seus pontos A(a) 
e B(b), verificar se um ponto (M) de cota m pertence a (r) ou 
encontrar em (r) um ponto (N) de cota n, são problemas que são 
resolvidos por operações semelhantes. 
Inicialmente rebate-se (r) sobre () fazendo de r o eixo de 
rebatimento, obtendo-se r1. 
Para saber se (M) pertence a (r) basta que se verifique em r1 
se na posição de M (m) sobre r a cota de (r) é m. 
Para marcar um ponto (N) de cota n em (r), basta que se 
determine o ponto N1 de cota n em r1. Alçando N define-se a posição 
de N (n) em r. 
 
 
 
figura 08 
37 
 
Exemplo: 
 
Dada a reta (r) pelos seus pontos cotados A(1,5) e B(3,7), 
determinar o ponto (C) de cota c = 2,5, sabendo-se que d (A,B) = 7,5. 
A solução tanto pode ser gráfica como analítica. 
 
solução gráfica: 
 
un: metro 
esc: 1:100 
 
 
 
 
figura 09 
 
 
solução algébrica: 
 
O problema é resolvido quando se determina a posição de C (2,5) em 
relação a A(1,5) ou B(3,7). 
 
Da geometria elementar, temos: 
 
 
38 
 
d (A, C) / d (A, B) = (c-a) / (b-a) => d (A, C) = d (A, B) x (c-a) / (b-a) 
 
d (A,C) = (7,5 x 1,0) / 2,2 = 3,41m 
 
4.4 – PONTOS DE COTA REDONDA 
 
São pontos da reta cujas cotas são números inteiros, tais 
como: 
 
A(3), B(7), C(0), D(103), E(-7), E(-43), etc. 
 
A marcação de pontos de cota redonda de uma reta nada 
mais é do que determinar, na projeção da reta, projeções de pontos de 
cota conhecida, conforme visto anteriormente. 
 
Exemplo: 
 
Determinar os pontos de cota redonda de uma reta (r) situados entre 
dois de seus pontos (A) e (B). 
 
dados: A (-1,3) 
 B (3,4) 
 d (A,B) = 8 
39 
 
 
figura 10 
 
 
4.5 – DECLIVE E DECLIVIDADE 
 
 Uma reta genérica forma com o plano de comparação – e 
com qualquer outro plano paralelo a ele – um ângulo () que, na 
verdade, é o ângulo que a reta objetiva faz com a sua própria 
projeção. 
 
figura 11 
 
40 
 
 O ângulo () identifica o declive (ou inclinação) da reta. 
 A diferença de cotas entre dois pontos conhecidos da reta é 
representado por h. 
 A distância entre as projeções desses dois pontos 
representa-se por d. 
 
Da trigonometria temos: 
 
 tg  = h / d 
 
Da figura temos: 
 
h = n - m e d = d (M,N) 
 
Teremos, então que tg  = (n – m) / d (M, N) 
 
 Chama-se declividade de uma reta à tangente do ângulo () 
determinado pela reta objetiva e sua projeção. 
 Designa-se a declividade por p. 
 Quando a diferença entre as cotas de dois pontos é igual à 
unidade, ou seja, h = 1, a distância correspondente é chamada 
intervalo. 
 Designa-se o intervalo por i. 
 Logo, a declividade é o inverso do intervalo. 
 Como a declividade é uma relação entre cota e distância, 
costuma-se indicá-la de outras formas: 
 
Exemplo: 
 
 d = 1/4 ou d = 1 : 4 ou ainda d = 25% 
 
4.6 – GRADUAÇÃO DE RETAS 
 
Graduar uma reta é determinar a sua escala de declive. 
Esta operação nada mais é do que marcar os pontos de cota 
redonda da reta que forem necessários para resolver o problema. 
O exemplo mostrado no item 4.4 é suficiente para tal. 
41 
 
4.7 – POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
Duas retas quaisquer do espaço – retas objetivas, portanto – 
podem admitir, ou não, um ponto comum. 
Se as retas admitem ponto comum elas são concorrentes. 
Se o ponto comum é um ponto próprio as retas são ditas 
concorrentes em próprio ou, simplesmente, concorrentes. 
Se o ponto comum é impróprio, as retas são ditas paralelas. 
Se as retas não admitem ponto comum entre elas são 
reversas. 
 
4.7.1 – RETAS CONCORRENTES 
 
Quando duas retas são concorrentes, suas projeções são 
necessariamente concorrentes num ponto cuja cota será a mesma 
para as duas retas naquele ponto, independente da escala de declive 
de cada uma delas. 
 A figura 12, a seguir, mostra exemplos de retas concorrentes. 
 
 
figura 12 
 
4.7.2 – RETAS PARALELAS 
 
Quando duas retas são paralelas, suas projeções são 
necessariamente paralelas e suas escalas de declive, além de iguais, 
tem o mesmo sentido. 
42 
 
A figura 13, a seguir, mostra exemplos de retas paralelas 
 
figura 13 
 
4.7.3 – RETAS REVERSAS 
 
Quando duas retas são reversas podem ocorrer os seguintes fatos: 
 
1º) As projeções das retas concorrem num ponto. 
Nesta caso as retas tem cotas diferentes nesse ponto, tal como 
mostrado na figura 14. 
 
 
figura 14 
 
 2º) As projeções das retas são paralelas. 
Neste caso, as retas têm escalas de declive diferentes que, 
caso sejam iguais, terão sentido contrário, tal como visto na figura 
15, a seguir. 
43 
 
 
figura 15 
 
4.7.4 – RETAS PERPENDICULARES 
 
É um caso particular de concorrência de retas. Ocorre 
quando o ângulo entre elas é reto. 
Se uma das retas é horizontal, o ângulo reto se projeta em 
verdadeira grandeza e, independente das escalas de declive, as suas 
projeções são também perpendiculares. 
Se as retas são quaisquer, podem pertencer a um plano 
vertical ou a um plano qualquer. 
 
Em ambos os casos, será necessário rebater o plano que 
contém as retas sobre um plano horizontal para solucionar o 
problema. 
Sejam então dadas as projeções e a escala de declive de uma 
reta (r) e o problema seja determinar a projeção e a escala de declive 
de uma reta (s) perpendicular a (r) num ponto de cota conhecido, 
sabendo-se que (r) e (s) pertencem a um mesmo plano vertical. 
O procedimento é o seguinte: 
 
1º) Rebate-se a reta (r) sobre um plano horizontal que pode ser o 
próprio plano de comparação; 
 
2º) Marca-se a escala das cotas; 
 
3º) Localiza-se o ponto P1 em r, e traça-se a perpendicular s, a r, por 
O1;44 
 
4º) Na cota (p-1) traça-se uma paralela a r que corte r1 em R1 e o 
prolongamento de s1 em S1; 
 
5º Traça-se por P1 uma perpendicular a r que corta o segmento R1S1 
em Q1. 
 
 
figura 16 
No triângulo R1P1S1 temos: 
 
 tg  = P1Q1 / R1Q1  tg = 1 / i r = p r 
 
 tg = Q1S1 / P1Q1  tg = i s / 1 = 1 / ps 
 
Então, teremos: 
 
 p r = 1 / ps 
 
Ou seja: a declividade de uma reta é o inverso da declividade 
de outra reta que lhe seja perpendicular. 
Se o plano das retas é um plano qualquer, o procedimento é 
semelhante mas este caso será visto após o estudo de planos. 
45 
 
5 – ESTUDO DO PLANO 
 
5.1 – REPRESENTAÇÃO 
 
Em projeções cotadas um plano fica perfeitamente 
caracterizado por sua reta de maior declive. 
Sua representação é feita por dois segmentos retos paralelos, 
devidamente graduados. 
Normalmente, um dos segmentos é mais espesso que o outro, 
mas ambos devem estar bem próximos. 
 
figura 17 
 
Como resultado de sua própria definição, as retas de maior 
declive de um plano são todas paralelas entre si e perpendiculares a 
todas as retas horizontais do plano considerado. 
A horizontal de cota nula será o traço do plano no plano de 
comparação. 
46 
 
 
figura 17 
 
5.2 – DETERMINAÇÃO 
 
Da geometria elementar sabe-se que um plano fica determinado 
quando são conhecidos, pelo menos: 
 
- três pontos são colineares; 
- uma reta e um ponto que não lhe pertence; 
- duas retas concorrentes em ponto próprio ou impróprio. 
 
Um plano fica definido por uma de suas retas de maior declive e 
esta fica determinada quando se graduam, pelo menos, duas retas 
desse plano. 
Unindo-se os pontos de mesma cota de cada uma delas por 
segmentos retilíneos, obtém-se as horizontais do plano. 
47 
 
Qualquer perpendicular a essas horizontais será uma reta de 
maior declive desse plano, cuja graduação fica determinada pela cota 
de cada horizontal. 
 
48 
 
 
figuras 18-a e 18-b 
 
5.3 – PERTINÊNCIA DE PONTO A PLANO 
 
Para que um ponto pertença a um plano, basta que o ponto 
pertença a uma reta desse ponto. 
No método das projeções cotadas, para que um ponto 
pertença a um plano, basta que o ponto pertença à horizontal do 
plano cuja cota é a mesma do ponto. A figura 19 mostra tal condição. 
49 
 
 
figura 19 
 
5.4 – PERTINÊNCIA DE RETA A PLANO 
 
Para que uma reta pertença a um plano basta que dois pontos 
da reta pertençam a esse plano. 
No método das projeções cotadas, tomam-se dois pontos 
quaisquer da reta de cotas conhecidas e verifica-se se pertencem ao 
plano, da mesma forma exposta em 4.3. 
As figuras 20-a e 20-b mostram tal condição. 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
figuras 20-a e 20-b 
 
 
5.5 – POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PLANOS 
 
Dois planos quaisquer do espaço – planos objetivos – 
admitem sempre uma reta comum. 
51 
 
Se a reta comum é própria os planos são concorrentes e a reta 
comum é chamada interseção dos dois planos ou ainda, o traço de 
um sobre o outro. 
Se a reta comum é imprópria os planos são paralelos. 
 
5.5.1 – PLANOS CONCORRENTES / INTERSEÇÃO DE 
PLANOS 
 
A interseção de dois planos é uma reta cujos pontos 
pertencem simultaneamente aos dois planos. 
No caso de projeções cotadas, a reta de interseção de dois 
planos é determinada pelos pontos de interseção das horizontais de 
mesma cota de cada plano, como pode ser visto nas figuras 21-a e 
21-b. 
 
52 
 
 
 
figuras 21-a e 21-b 
5.5.2 – PLANOS PARALELOS 
 
Quando dois planos são paralelos suas retas de maior declive 
têm projeções paralelas e apresentam escalas de declive iguais e de 
mesmo sentido, tal como mostrados nas figuras 22-a e 22-b. 
 
53 
 
 
figuras 22-a e 22-b 
 
5.6 – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO 
 
Uma reta e um plano admitem sempre um ponto comum, 
próprio ou impróprio. 
Quando o ponto comum é próprio, a reta intercepta o plano 
nesse ponto que é também chamado traço da reta no plano. 
Quando o ponto é impróprio, a reta é paralela ao plano. 
 
5.6.1 – TRAÇO DE RETA EM PLANO 
 
Para se determinar o traço de uma reta (r) num plano (), tal 
como mostrado na figura 23, adota-se o seguinte procedimento: 
54 
 
 
figura 23 
 
1º) Determina-se uma reta (s), pertencente a () de projeção 
coincidente com r. 
 Logo (s) e (r) estão num mesmo plano vertical. 
 
2º) Rebate-se (s) e (r) sobre um plano horizontal (que pode ser o 
próprio plano de comparação) e determina-se o ponto O1 de 
interseção entre r1 e s1 que é o rebatimento do ponto de 
interseção de (r) com (). 
 
3º) Alça-se o ponto O1, determinando O (o). 
 
 
5.6.2 – RETA PERPENDICULAR A PLANO 
 
Para se determinar uma perpendicular (r) a um plano 
qualquer (), por um ponto (P), pertencente ou exterior ao plano, o 
procedimento mostrado na figura é o seguinte: 
 
55 
 
1º) Pela projeção do ponto (P), P (p), traça-se a projeção de uma 
reta (s), pertencente a () e paralela a sua reta de maior 
declive; 
 
2º) Rebate-se o plano vertical determinado por (s) e (P) num 
plano horizontal – que pode ser o próprio plano de 
comparação – obtendo-se s1 e P1; 
 
3º) Por P1 traça-se r, perpendicular a s1, graduando-a 
convenientemente, tal como visto em 4.7.4; 
 
4º) Alçando r1 obtém-se r, projeção de (r) procurada. 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
figuras 24-a e 24-b 
 
 
5.7 – ÂNGULO DE DUAS RETAS 
 
Quando duas retas são concorrentes num ponto próprio, o 
ponto de concorrência é o vértice dos ângulos que essas retas 
formam, admitindo-se sempre que o ângulo considerado é o menor 
deles. 
A maneira mais simples de determinar o ângulo de duas retas 
é rebater o seu plano sobre um plano horizontal, tomando como eixo 
do rebatimento uma reta horizontal desse plano horizontal. 
57 
 
 
figura 25 
 
5.8 – ÂNGULO DE DOIS PLANOS 
 
O ângulo de dois planos é o ângulo formado pelos traços de 
um plano perpendicular à interseção dos dois planos. 
Em projeções cotadas, basta que seja determinada a 
interseção dos planos e por um ponto desta, sejam traçadas 
perpendiculares à interseção, uma de cada plano. 
O ângulo formado por essas perpendiculares é a solução do 
problema e é obtido conforme visto em 5.7. 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 Rodrigues, Álvaro José - Geometria Descritiva / Operações 
Fundamentais e Poliedros, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 5ª 
ed., 1961; 
 
 Rangel, Alcyr Pinheiro – Projeções Cotadas, Livros Técnicos e 
Científicos, Rio de Janeiro, 4ª edição, 1979; 
 
 Rangel, Alcyr Pinheiro - Geometria Descritiva, SEDEGRA, Rio 
de Janeiro, 1959; 
 
 Rangel, Alcyr Pinheiro - Dicionário de Matemática, texto 
datilografado pelo próprio autor; 
 
 Rangel, Alcyr Pinheiro - Tópicos Extraídos de Palestras, 
Preleções e Publicações; 
 
 Roubaudi, C. - Traité de Géométrie Descriptive, Masson et 
Cie., Paris, 9ª ed. 1948; 
 
 Pegado, Luiz Porfírio da Motta - Curso de Geometria 
Descritiva, Typografia da Academia Real das Sciencias, Lisboa, 
1899; 
 
 Krylov, N.; Lobandyevsky, P; Men, S - Descriptive Geometry, 
Mir Publishers, Moscou, 2ª ed., 1974;