Probabilidade - Estudo dirigido

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UNIDADE II – ESTUDO DIRIGIDO 
MEDIDAS DESCRITIVAS 
1 – No setor de uma indústria metalúrgica, 11 prensas estão ligadas a uma chave automática que desliga quando a 
corrente atinge 50A. No estudo do comportamento deste processo, onze observações por um período de 10 
segundos, forneceram os seguintes resultados em termos de quantidade de interrupções (desligamento por 
aumento da corrente): 
5 8 12 15 10 11 18 10 17 9 7 
Determine: a) média aritmética; b) mediana; c) moda; d) primeiro quartil; e) vigésimo percentil; f) amplitude total; 
g) desvio médio; h) variância; i) desvio-padrão; j) coeficiente de variabilidade; k) desvio interquartílico. 
 
2 - Os valores abaixo se referem ao número de operários acidentados/mês na indústria da construção civil na 
cidade Y, durante dois anos. Encontre: 
a) média aritmética; b) mediana; c) moda; d) terceiro quartil; e) septuagésimo percentil; f) amplitude total; g) 
desvio médio; h) variância; i) desvio-padrão; j) coeficiente de variabilidade; k) desvio interquartílico. 
Acidentes/mês Meses 
3 4 
4 8 
5 6 
6 4 
7 2 
 
 
4 – A distribuição de freqüências abaixo representa o número de defeitos por carro numa frota de 60 veículos. 
Qual é a média de defeitos por carro? 
J Nº DE DEFEITOS carros 
1 0 7 
2 1 8 
3 2 17 
4 3 14 
5 4 9 
6 5 5 
 
5 – O capital de uma empresa está formado pelo aporte dos acionistas, por financiamentos de longo prazo e pela 
emissão de debêntures. Cada tipo de capital tem um custo diferente, dado por uma taxa de juros anual. Com os 
dados apresentados na tabela abaixo, pede-se calcular a taxa de juros média das fontes de capital da empresa. 
Fonte de capital Participação (R$) Taxa de juros (%) 
Acionistas 1.000.000,00 12 
Financiamentos de Longo Prazo 600.000,00 8 
Debêntures 400.000,00 14 
 
6 - Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e 
História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 
7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? 
7 – Em uma empresa, 64 pessoas que trabalham no setor A são remuneradas da seguinte maneira: 12 recebem R$ 
50,00/dia; 10 recebem R$ 60,00/dia; 20 recebem R$ 25,00/dia; 15 recebem R$ 90,00/dia e 7 recebem R$ 
120,00/dia. Determine a média salarial por dia do grupo. 
8 - A idade de 6 estudantes que participaram de uma expedição geológica era 18, 19, 20, 17, 19 e 18 anos, e a 
idade do professor orientador que os acompanhou era 60 anos. Encontre a idade média do grupo. Esta medida é 
adequada para representar a tendência central dos dados? Por quê? 
 
9 - Se o rendimento anual médio de 3 empresários é de R$156.000,00, pode um deles obter um rendimento anual 
de R$ 500.000,00? 
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10 – Quais as medidas de tendência central que são sensíveis a valores fora do padrão? 
11 – Em um processo produtivo foi encontrada a altura média de 19,54cm para blocos cerâmicos de 12 furos com 
desvio padrão de 0,21cm. Considerando esta variável normalmente distribuída, dentro de que limites estarão as 
alturas de aproximadamente 95,45% dos blocos cerâmicos oriundos desta linha de produção? 
12 - Em recente estudo desenvolvido pelo setor de controle de qualidade de uma empresa, foi determinado que a 
resistência à compressão mediana de uma amostra de blocos cerâmicos de 21 furos era de 105,04 kgf/cm². Que 
significa isto? 
13 - O salário modal dos engenheiros de uma empresa é de R$ 10.800,00. Que significa isto? 
16 - Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos que se situam: 
a) Acima do c20 b) acima do q3 c) abaixo do c90 
d) entre o c10 e o c80 e) entre o q1 e o q3 f) entre o q3 e o c80 
g) entre o c90 e o c92 
 
17 – As medidas abaixo representam as pontuações obtidas por dois grupos de alunos. 
Turma A: X = 5 e S = 2,5 Turma B: X = 4 e S = 2 
A partir destas informações é possível afirmar: 
a) a turma B apresenta maior dispersão absoluta; 
b) a dispersão absoluta é igual para ambas as turmas; 
c) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; 
d) a dispersão relativa e a absoluta para a turma B são iguais; 
e) a dispersão relativa da turma A é igual à da turma B. 
 
18 – Uma avaliação consta de três provas com peso (Pi) iguais a 1, 2 e 3, respectivamente (i = 1, 2, 3). Considerando 
o valor máximo de cada prova igual a dez (10) e que um aluno obteve média oito (8) na avaliação, que pontuação ele 
conseguiu na 1ª prova, sabendo-se que na 2ª prova obteve seis (6) e na 3ª, nove (9)? 
 
19 – Em um grupo de 600 hóspedes de um determinado hotel, têm-se os seguintes valores com relação ao tempo de 
permanência: Média = 9 dias; 1º Quartil = 5 dias; 3º Quartil = 15 dias; Coeficiente de variação = 20%. Pede-se: a) 
quantos hóspedes permaneceram mais de 15 dias; b) quantos hóspedes permaneceram entre 5 e 15 dias; c) o desvio 
padrão para o tempo de permanência; d) supondo que todos os hóspedes permanecem mais dois dias, calcule a nova 
média, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
20– Um caminhão cujo peso vazio é de 3.200 kg será carregado com 470 caixas de 11 kg cada, 360 caixas de 9 kg 
cada, 500 caixas de 4 kg cada e 750 caixas de 6 kg cada. O motorista do caminhão pesa 75 kg e a lona de 
cobertura da carga pesa 48 kg. a) Sabendo-se que esse caminhão tem que passar por uma balança que só permite 
passagens a veículos com peso máximo de 16 toneladas, pergunta-se: Ele passará pela balança? b) Qual o peso 
médio das caixas carregadas no caminhão? 
 
21 – Três categorias (A, B e C) de funcionários de uma determinada empresa ganhavam de remuneração, os 
seguintes valores em reais: categoria A = 160,00; 180,00; 180,00; 230,00 e 250,00; na categoria B os funcionários 
teriam que passar pela categoria A, de modo que recebiam um adicional de 200,00 reais; na categoria C, os 
funcionários também teriam que passar pelas categorias anteriores, recebendo um adicional de 600,00 reais em 
relação à categoria B. Sabendo-se que, cada categoria era composta por cinco funcionários, respeitando os salários 
iniciais da categoria A com o adicional por categoria, pede-se: a) qual o salário médio de cada categoria? b) qual a 
variância de cada categoria? 
 
22– Os desvios tomados em relação à média aritmética de um conjunto de números são: {-7; -5; -1; 0; 0; 1; 4; 4; 4}. 
Sabendo-se que x = 45, determine o conjunto de números, a moda, mediana, variância, desvio padrão e o 
coeficiente de variação. 
 
 18
23 – Os dados abaixo se referem aos salários anuais (em dólares) dos diretores executivos de 60 pequenas 
empresas americanas. Os executivos foram classificados em dois grupos de acordo com sua idade: menos de 50 
anos e pelo menos 50 anos.Em qual das faixas etárias devem ser encontrados os maiores salários? 
Tabela 23: Medidas síntese para salários anuais (milhares de dólares) 
Idades Tamanho (n) Média Desvio-padrão 
Menos de 50 anos 35 382,2 219,98 
Pelo menos 50 anos 25 398,61 197,92 
 
24 - Os valores abaixo se referem ao tempo de carga de um aplicativo em três salas do Laboratório de 
Informática, em min. 
sala A: 0,6 0,4 0,5 0,8 0,2 0,8 
sala B: 0,7 0,8 0,6 0,9 0,5 1,1 0,3 
sala C: 0,6 0,7 2,0 0,5 0,8 0,9 0,9 
a – Encontre o valor máximo, o valor mínimo, a média, o desvio-padrão, a mediana e o intervalo interquartílico para 
os dados de cada um dos laboratórios. 
b – Escolha, justificando, uma medida de tendência central e uma medida de dispersão para comparar os 
resultados. 
 
25 - Em uma região, a temperatura média em um certo período é de 24°C e a pressão média, 750mm de Hg. O 
desvio padrão das temperaturas é de 2,5 °C e o das pressões, 28mm de Hg. Em relação a que fenômeno a 
variabilidade é maior? 
 
26 – Os valores abaixo representam os tempos de espera(em minutos) de clientes no Jefferson Valley Bank (onde 
todos os clientes formam uma fila única) e no Bank of Providence (onde os clientes formam filas separadas para 
cada um dos três guichês). Qual instituição apresenta a maior variabilidade absoluta? E relativa? 
Jefferson Valley Bank: 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 
Bank of Providence: 4,2 5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 
 
27 - Considere os dados: 12; 17; 17; 17; 10; 10; 9; 9; 9; 12; 12; 6; 6; 6; 17; 17; 12; 12; 9; 9; 9; 12; 12; 12; 12. Suponha 
que sejam valores assumidos por uma variável aleatória discreta X. Pede-se: a) tabela de distribuição de 
freqüência; b) média, mediana e moda; c) variância, desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
28 - Completar a tabela abaixo. Utilize intervalo fechado à esquerda. 
Classes Pmj nj Naj fj 
 10 5 0,0625 
 20 8 
 19 0,075 
 4 
 10 33 
 0,15 
 15 60 
 0,125 
 10 80 
Pede-se: a) Média aritmética e Mediana; b)Variância, Desvio padrão e Coeficiente de variação; c) 1º quartil e o 30º 
percentil; d) Valor acima do qual encontram-se 60% dos dados. 
 
29 - 
Tabela 1 – Limite de fadiga de cordas do tipo AA, 
Empresa XYZ, janeiro de 2011 
Limite de fadiga (MPa) Unidades ensaiadas 
 350 ├── 356 06 
 356 ├── 362 04 
 362 ├── 368 07 
 368 ├── 374 12 
 374 ├── 380 08 
 380 ├── 386 06 
 386 ├──│ 392 06 
a) A partir dos dados não agrupados (ED1): 
- construir um ramo e folhas; 
- determinar a mediana, o primeiro quartil, o terceiro quartil, 
o desvio interquartílico; 
- construir um Box Plot; 
- encontrar a média e o desvio padrão; 
b) A partir dos dados agrupados (tabela 1): 
- construir um histograma; 
- encontrar a média e o desvio padrão; 
- encontrar a mediana, o primeiro quartil, o terceiro quartil, o 
desvio interquartílico; 
 19
Fonte: Setor de Controle de Qualidade 
 
- construir um Box plot; 
c) comparar e comentar os resultados encontrados nos itens 
(a) e (b). 
 
 
30 - Usando métodos gráficos e analíticos, avalie a assimetria e a curtose dos dados 
a) 
20,1 21,1 27,0 26,4 25,4 22,3 26,1 24,0 23,2 
27,0 25,2 24,6 26,5 22,5 25,8 27,1 26,2 24,1 
b) 
faltas empregados 
0 20 
1 42 
2 53 
3 125 
4 84 
5 40 
6 14 
7 3 
8 2 
 
31 - As propriedades mecânicas permissíveis para projetos de veículos aeroespaciais metálicos exigem um método 
aprovado para análise estatística de dados de testes empíricos. O artigo “Establishing Mechanical Property 
Allowables for Metals” (J. of Testing and Evaluation, 1998, p.239-299) usou os dados para resistência a tração 
(ksi) como base para definir as dificuldades de desenvolvimento do método. Faça uma análise exploratória dos 
dados. 
122,2 124,2 124,3 125,6 126,3 126,5 126,5 127,2 127,3 127,5 127,9 128,8 129,0 
129,2 129,4 129,6 130,2 130,4 130,8 131,3 131,4 131,4 131,5 131,6 131,6 131,8 
131,8 132,3 132,4 132,4 132,5 132,5 132,5 132,5 132,6 132,7 132,9 133,0 133,1 
133,1 133,1 133,1 133,2 133,2 133,2 133,3 133,3 133,5 133,5 133,6 133,8 133,9 
134,0 134,0 134,0 134,0 134,1 134,2 134,3 134,4 134,4 134,6 134,7 134,7 134,7 
134,8 134,8 134,8 134,9 134,9 135,2 135,2 135,2 135,3 135,3 135,4 135,5 135,5 
135,6 135,6 135,7 135,8 135,8 135,8 135,8 135,8 135,9 135,9 135,9 135,9 136,0 
136,0 136,1 136,2 136,2 136,3 136,4 136,4 136,6 136,8 136,9 136,9 137,0 137,1 
137,2 137,6 137,6 137,8 137,8 137,8 137,9 137,9 138,2 138,2 138,3 138,3 138,4 
138,4 138,4 138,5 138,5 138,6 138,7 138,7 139,0 139,1 139,5 139,6 139,8 139,8 
140,0 140,0 140,7 140,7 140,8 140,9 141,2 141,4 141,5 141,6 142,9 143,4 143,5 
143,6 143,8 143,8 143,9 144,1 144,5 144,5 147,7 147,7 
 
Respostas 
 
1 – a) 11,09 interrupções; b) 10 interrupções; c) 10 interrupções; d) 8 interrupções; e) 7,4 
interrupções; f) 13 interrupções; g) 3,21 interrupções; h) 16,89 interrupções2; i) 4,10 interrupções; j) 
37,06%; k) 7 interrupções. 
2 - a) 4,67 acidentes/mês; b) 4,5 acidentes/mês; c) 4,0 acidentes/mês; d) 5,75 acidentes/mês; e) 5 
acidentes/mês; f) 4 acidentes/mês; g) 1,0 acidentes/mês; h) 1,45 (acidentes/mês)2; i) 1,20 
acidentes/mês; j) 25,80%; k) 1,75 acidentes/mês. 
4 – 2,4 defeitos/carro 5 – 11,2% 6 – 6,45 7 – R$ 60,78 
8 – 24,42 anos. Não. 9 – Não. Todos juntos recebem R$ 468.000,00. 
10 – média aritmética 11 – [19,12;19,96] cm 
12- 50% dos blocos cerâmicos da amostra têm resistência de no máximo 105,04 kgf/cm2 e 50% dos 
blocos tem resistência de pelo menos 105,04 kgf/cm2 
13 – O salário mais freqüente entre os engenheiros da empresa é de R$ 10.800,00. 
16 – a) 144 elementos; b) 45 elementos; c) 162 elementos; d) 126 elementos; e) 90 elementos; f) 9 
elementos; g) 4 elementos 
 20
17 – e 18 – 9 
19 – a) 150 hóspedes; b) 300 hóspedes; c) 1,8 hóspedes; d) 11 hóspedes; 1,8 hóspedes e 16,36%. 
20– a) não b) 7,17 kg 
21 – a) 200,00; 400,00; 1.000,00; b) = 1.450,00; 1.450,00; 1.450,00. 
22 - 38;40;44;45;45;46;49;49;49 (49; 45; 15,5; 3,937; 8,748%). 
23 – No grupo com menos de 50 anos. 
24 - 
a) Lab A: 0,2; 0,8; 0,55; 0,23; 0,55; 0,45 
Lab B: 1,1; 0,3; 0,7; 0,26; 0,7; 0,4 
Lab C: 2,0; 0,5; 0,91; 0,50; 0,8; 0,3 
b) mediana e desvio interquartílico 
25 – temperatura 
26 – JVB: 7,15; 0,4767; 0,2272; 6,67% 
BP: 7,15; 3,3183; 1,8216; 25,47% 
Maior variabilidade: BP 
27 – a) 
Valores freqüências 
6 3 
9 6 
10 2 
12 9 
17 5 
b) 11,4; 12; 12; 
c) 11,91; 3,45; 30,26%; 
28 - a) 56,5; 60,833; 68,75; b) 592,65; 24,34; 43,07%; c) 37,5; 46,0; d) 54. 
29 – 
a) 
Figura 29.1 – Limite de fadiga de cordas do tipo AA, Empresa XYZ, janeiro de 2011 
6 35 0 0 1 2 2 4 
3 35 6 8 9 
5 36 1 2 3 4 4 
5 36 5 5 6 8 9 
11 37 0 0 0 1 1 1 1 2 2 3 4 
7 37 5 6 6 7 8 8 9 
6 38 0 0 1 2 3 4 
1 38 8 
5 39 1 1 2 2 2 
Fonte: Setor de Controle de Qualidade 
- 371; 363,5; 379,5; 16 
- 371,20; 11,79 
Figura 29.1 – Limite de fadiga de cordas do tipo AA, Empresa XYZ, janeiro de 2011 
 
Fonte: Setor de Controle de Qualidade 
 21
b) - 371,61; 11,04 
- 372; 364,14; 380,5; 16,36 
Figura 1 – Limite de fadiga de cordas do tipo AA, Empresa XYZ, janeiro de 2011 
0
2
4
6
8
10
12
14
347 353 359 365 371 377 383 389 395
Fadiga (MPa)
un
id
ad
es
 
Fonte: Setor de Controle de Qualidade 
 
30) a) as1= -0,85; as2=-0,42; as3=-0,44; ak=0,282 
- Ramo e folhas 
1 20 1 
1 21 1 
2 22 3 5 
1 23 2 
3 24 0 1 6 
3 25 2 4 8 
4 26 1 2 4 5 
3 27 0 0 1 
 
- Diagrama de Pontos 
Dados com assimetria negativa e leptocúrticos 
 
b) as1= 0,16; as2=0; as3=0; ak=0,25 
0
20
40
60
80
100
120
140
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dados com leve assimetria e platicúrticos. 
 
 
31) 
=n 152 =maxx 122,2 =minx 147,7 
=x 135,43 =s 4,57 
=md 135,45 =1q 133,025 =3q 138,275 =dq 5,25 
=10c 129,46 =90c 141,34 
=1as -0,01 =2as 0,08 =3as -0,01 
=ak 0,222 
Histograma e Box Plot 
 22
 
Ramo e folhas 
1 122 2 
1 122 2 
2 123 23 
1 124 3 
1 125 6 
3 126 355 
4 127 2359 
1 128 8 
4 129 0246 
3 130 248 
8 131 34456688 
10 132 3445555679 
15 133 011112223355689 
18 134 000012344677788899 
20 135 22233455667888889999 
12 136 001223446899 
10 137 0126688899 
12 138 223344455677 
6 139 015688 
6 140 007789 
4 141 2456 
1 142 9 
6 143 456889 
3 144 155 
- 145 
- 146 
2 147 77