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DisciplinaEquações Diferenciais I5.503 materiais32.091 seguidores
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UNIFEI
1a Prova de Equac¸o\u2dces Diferencias I
Professora:Gisele Leite 31/08/2011
Justifique todas as respostas!
1) Considere a equac¸a\u2dco (2xy \u2212 4x) + dy
dx
= 0.
a) Ache a soluc¸a\u2dco geral dessa equac¸a\u2dco.
b) Para uma soluc¸a\u2dco qualquer y(x), qual o limite de y(x) quando x\u2192\u221e?
2) Em um modelo simplifcado de queimada, a a´rea A(t) de uma regia\u2dco incendiada cresce
proporcionalmente ao seu per´\u131metro e satisfaz (aproximadamente) a equac¸a\u2dco diferencial
A\u2032 = \u3bbA1/2, para alguma constante de proporcionalidade \u3bb > 0. Se em um instante t0
temos A(t0) = A0, determine o intervalo de tempo, em func¸a\u2dco de A0 e \u3bb, necessa´rio para
que a a´rea quadruplique de tamanho.
3) Ache a soluc¸a\u2dco particular da equac¸a\u2dco
dy
dx
=
x2 + y2
xy
, com condic¸a\u2dco inicial y(1) = 2
e determine o maior intervalo de definic¸a\u2dco, da forma ]\u3b1, \u3b2[, \u2212\u221e \u2264 \u3b1 < \u3b2 \u2264 \u221e, dessa
soluc¸a\u2dco.
4) Considere a EDO
dx
dt
= x \u2212 x2 e seja f(x) = dx
dt
. Esboce o gra´fico de f(x) em
func¸a\u2dco de y, determine os pontos cr´\u131ticos (de equil´\u131brio) e classifique cada um como sendo
assintoticamente esta´vel ou insta´vel. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gra´ficos de
soluc¸o\u2dces no plano xy.