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UNIFEI 1a Prova de Equac¸o˜es Diferencias I Professora:Gisele Leite 31/08/2011 Justifique todas as respostas! 1) Considere a equac¸a˜o (2xy − 4x) + dy dx = 0. a) Ache a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o. b) Para uma soluc¸a˜o qualquer y(x), qual o limite de y(x) quando x→∞? 2) Em um modelo simplifcado de queimada, a a´rea A(t) de uma regia˜o incendiada cresce proporcionalmente ao seu per´ımetro e satisfaz (aproximadamente) a equac¸a˜o diferencial A′ = λA1/2, para alguma constante de proporcionalidade λ > 0. Se em um instante t0 temos A(t0) = A0, determine o intervalo de tempo, em func¸a˜o de A0 e λ, necessa´rio para que a a´rea quadruplique de tamanho. 3) Ache a soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o dy dx = x2 + y2 xy , com condic¸a˜o inicial y(1) = 2 e determine o maior intervalo de definic¸a˜o, da forma ]α, β[, −∞ ≤ α < β ≤ ∞, dessa soluc¸a˜o. 4) Considere a EDO dx dt = x − x2 e seja f(x) = dx dt . Esboce o gra´fico de f(x) em func¸a˜o de y, determine os pontos cr´ıticos (de equil´ıbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente esta´vel ou insta´vel. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gra´ficos de soluc¸o˜es no plano xy.
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