Modelagem Econômica-financeira - Equivalência de taxas e capitais

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Fundamentos da Modelagem Econômica financeira
Equivalência de TAXAS e Equivalência de Capitais
Prof. Jéssica Nunes
A conceituação de EQUIVALÊNCIA DE TAXAS estabelece que duas taxas, referentes a períodos distintos de capitalização, são equivalentes quando produzem o mesmo montante, no final de um determinado tempo, pela aplicação de um capital inicial de mesmo valor. 
Em outros termos, isso significa que se um capital C aplicado à taxa mensal, durante 12 meses, produz um montante M, e se esse mesmo capital C aplicado a uma taxa anual, por prazo idêntico, produz o mesmo montante M, diz-se que as taxas mensal e anual são equivalentes.
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DUAS TAXAS DE JUROS são denominadas EQUIVALENTES 
se, ao serem aplicadas sobre um
 mesmo capital (VP), 
durante 
um mesmo período (n), 
produzirem 
o mesmo montante ou valor futuro (VF). 
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DUAS TAXAS DE JUROS são denominadas EQUIVALENTES 
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DUAS TAXAS DE JUROS são denominadas EQUIVALENTES 
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Ou
(1 + ia) = (1 + ib)n 
ia = taxa atual equivalente 
ib = taxa do período dado 
n = número de períodos 
DUAS TAXAS DE JUROS são denominadas PROPORCIONAIS
O conceito de taxas proporcionais é utilizado somente para capitalização simples, no sentido de que o valor dos juros é linearmente proporcional ao tempo. 
Duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção
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Operações com TAXAS DE JUROS
DUAS TAXAS DE JUROS são denominadas PROPORCIONAIS
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	EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Ás vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos.
Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. 
Por exemplo, títulos de crédito com vencimentos diferentes.
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	EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
O que é equivalência de capitais?
Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais.
A solução desse tipo de problema consiste em estabelecer uma data – data de comparação – e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. 
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	EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. 
 
• Já no regime de capitalização composta, a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos. 
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Exercícios
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Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 4,5%. 
Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia.
Qual a taxa semestral equivalente a 40% ao ano.
Qual a taxa mensal de juros referentes a uma taxa anual de 144%. 
Calcule os juros acumulados durante 2 anos referentes a uma taxa mensal de 0,5%. 
Exercícios
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Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 4,5%. 
Temos que 4,5% = 4,5 / 100 = 0,045 
(1 + ia) = (1 + 0,045)12 
1 + ia = 1,04512 
1 + ia = 1,6959 
ia = 1,6959 – 1 
ia = 0,6959 
ia = 69,59 % ao ano 
Exercícios
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2. Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. 
Sabemos que 0,2% = 0,2 / 100 = 0,002 
(1 + ia) = (1 + 0,002)30 
1 + ia = 1,00230 
1 + ia = 1,0618 
ia = 1,0618 – 1 
ia = 0,0618 
ia = 6,18% ao mês 
Exercícios
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3.Qual a taxa semestral equivalente a 40% ao ano
Temos que 40% = 40 / 100 = 0,4 
Nesse caso, vale ressaltar que 1 ano possui 2 semestres, então: 
(1 + ia)2 = 1 + 0,4 
(1 + ia)2 = 1,4 
1 + ia = 1,4 1/2 
1 + ia = 1,1832 
ia = 1,1832 – 1 
ia = 0,1832  ou 18,32% ao semestre .
Exercícios
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4. Qual a taxa mensal de juros referentes a uma taxa anual de 144%.
Temos que 144% = 144/100 = 1,44 
(1 + ia)12 = 1 + 1,44 
(1 + ia)12 = 2,44 
1 + ia = 2,44 1/12 
1 + ia = 1,0768 
ia = 1,0768 – 1 
ia = 0,0768 ou 7,68% ao mês  
Exercícios
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5.Calcule os juros acumulados durante 2 anos referentes a uma taxa mensal de 0,5%.
0,5% = 0,5 / 100 = 0,005 
(1 + ia) = (1 + 0,005)24 
1 + ia = 1,00524 
1 + ia = 1,1271 
ia = 1,1271 – 1 
ia = 0,1271  ou 12,71%  
Exercícios
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1. Rayane Carvalho pretende comprar um refrigerador que é vendido à vista por $1.800,00 ou a prazo mediante o pagamento de $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.050,00 após 90 dias. Qual seria taxa mensal de juros compostos do financiamento? 
VF = VP (1+i)n 
1050 = 1000 (1+i)3 
i = [(1050/1000)1/3] – 1 i = 1,64% a.m. 
Exercício
Calcular a taxa anual proporcional 
 a) 6% ao mês; 
	b) 10% ao bimestre.
Encontrar as taxas de juro simples mensal, trimestral e anual, proporcionais a 2% ao dia.
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Respostas do Exercício
1.
 6% x 12 = 72% aa
10% x 10 = 60 % aa
2.
1 mês = 30 dias x 2% ad = 60% am
1 trimestre = 90 dias x 2% ad = 180 % at
1 ano = 360 dias x 2% ad = 720% aa
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REFERÊNCIAS
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson, 2010
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira: aplicações com HP 12C e Excel. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 2010