Aula 14 Análise combinatória

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015
Teoria e exercícios comentados 
Prof. Felipe Lessa - Aula 14
AULA 14:
7. Combinações, Arranjos e Permutação.
SUMARIO
I. Análise Combinatória - Conceitos iniciais...................................................2
II. Princípio Fundamental da Contagem (PFC) ............................................... 5
III. Combinação................................................................................................16
IV. Permutação. ............................................................................................... 24
V. Mais Questões Comentadas. .................................................................... 29
VI. Lista das Questões Apresentadas. ......................................................... 35
Olá, Pessoal! Animados para mais uma Aula? Vamos manter o foco...
Amanhã é dia de votar! Exerça sua cidadania! Vote consciente...Mas depois 
de votar, volte aos estudos!!!! Rsrsrs...
Hoje vamos estudar Análise Combinatória. A Aula de hoje contempla TODA 
a teoria e exercícios que você precisa saber sobre o tema. Postarei também 
uma Aula Extra apenas de exercícios de análise combinatória misturados 
com probabilidade.
Vamos lá?
"Quando penso que cheguei no meu limite descubro que tenho 
forças para ir além. (Ayrton Senna)"
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I. Análise Combinatória - Conceitos iniciais
Querido Aluno, não se assuste! Só o nome que é feio... A matéria é 
simples...
A análise combinatória é o ramo da matemática que vai se dedicar à 
contagem de eventos, ou seja, utilizará técnicas (que nós vamos estudar 
aqui) para saber de quantas maneiras determinado evento pode ser 
realizado.
- Como assim, Professor? Como são as questões dessa tal de "análise 
combinatória"?
- São quase todas do mesmo formato, só muda a forma de resolução. Elas 
são assim:
Exemplo 1:
"A senha para um programa de computador consiste em uma 
seqüência LLNNN, onde "L" representa uma letra qualquer do 
alfabeto normal de 26 letras e "N" é um algarismo de 0 a 9. 
(...) o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:"
Ou então:
Exemplo 2:
Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 
60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). (...) 
O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso 
da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza 
matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho 
esteja correto é:
Perceberam para que serve a Análise Combinatória? Toda vez que o 
problema pedir uma CONTAGEM, você usará a Análise Combinatória.
- Mas Mestre, o senhor falou que as questões eram parecidas e só mudava 
a forma de resolver. Como é isso? Quais são essas formas?
- Bem lembrado, caro Aluno! Vê-se que você está bem atento!
Há basicamente três técnicas de resolver esses tipos de problema, a saber:
1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
2. Arranjo
3. Combinação
Entretanto, para fins de Concurso, só estudaremos duas dessas 
técnicas: PFC e Combinação. Você verá que as questões que, na 
teoria são de Arranjo, nós resolveremos por PFC.
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O PFC (não, não é o canal de futebol! - desculpem a brincadeira, não resisti 
rsrs) é usado quando, no subconjunto que queremos contar, é permitida a 
coexistência de elementos iguais. No exemplo 1 acima podíamos ter 
letras e números iguais na placa.
Outro exemplo: Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os 
algarismos { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}?
Ora, se eu não tenho problema com repetição de algarismos, posso formar 
TODOS os algarismos de 0 a 99: 00, 01, 02, 03, ..., 99, incluindo: 11, 22, 
33, 44, 55, 66, 77, 88. Para contar quantos são, usaremos o PFC.
Outra aplicação do PFC é quando não podemos ter elementos iguais, 
mas a ordem que eles ocupam importa. É o caso do Exemplo 2 acima. 
Este é o caso que a Teoria da Análise Combinatória nos manda 
resolver por Arranjo. Mas nós vamos resolver por PFC! É bem mais 
simples!
Outro exemplo: Quantos números de 2 algarismos distintos podemos 
formar com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}?
Ora, eu agora tenho problema com repetição de algarismos. Posso formar 
TODOS os algarismos de 0 a 99: 00, 01, 02, 03, ..., 99, exceto: 11, 22, 33, 
44, 55, 66, 77, 88. Para contar quantos são, usaremos o PFC. Quando 
dizemos que a ordem importa é porque, por exemplo, o número 13 é 
diferente do número 31, apesar de formados com os mesmos algarismos.
Por fim, a Combinação é usada quando não é permitido elementos 
iguais e a ordem que eles ocupam não importa. É o caso do Exemplo 
3 acima.
Outro exemplo: Quantas duplas de algarismos distintos podemos formar 
com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}?
Ora, repare que os algarismos não podem ser iguais e não existe uma regra 
de ordem entre os algarismos: a dupla 1-3 é igual à dupla 3-1, diferente 
do exemplo anterior onde o número 13 era diferente do número 31. Para 
contar quantos são, usaremos a Combinação.
- Muito abstrato né? Também acho! Então vamos cair dentro dos exercícios 
que você vai entender direitinho como se faz Análise Combinatória.
Mas, antes, fiz um quadro-resumo para você entender melhor...
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Resumindo
- Ok, Professor, já entendi quando se usa cada uma das técnicas. Agora, 
preciso aprender COMO se usa!
- Vamos lá! Vamos para o próximo passo...
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II. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
O Princípio Fundamental da Contagem é o bê-á-bá da Análise Combinatória. 
Será utilizado todas as vezes que, em seu problema de contagem de 
elementos de determinado evento, for permitida repetição de elementos e, 
por conseguinte, a ordem não importar. Também será utilizado quando não 
for permitida a repetição de elementos e a ordem importar.
Nada melhor para aprender a fazer do que fazer! 
Vamos retomar aqueles exemplos anteriores:
II.1 1° caso do PFC - repetição permitida
Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os 
algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}?
O enunciado nada falou a respeito da repetição de algarismos. Então, 
partindo do princípio que é permitida, deveremos usar o PFC. A técnica nos 
manda fazer o seguinte:
1) Fazemos um quadrinho representando aquilo que devemos contar. 
Como são os números de dois algarismos, desenhamos um quadro, 
onde cada coluna simboliza um algarismo:
Algarismo
1
Algarismo
2
2) Avaliamos de quantas maneiras podemos preencher os quadrinhos. 
No nosso caso, para preencher o primeiro algarismo, temos 10 
opções: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Essa é a quantidade que irá 
alimentar nosso esquema:
10
Algarismo
1
Algarismo
2
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Para preencher o segundo algarismo, temos novamente 10 opções, 
pois não há restrições quanto a repetição de algarismos. Eu continuo 
podendo usar os mesmos 10 algarismos que poderiam ter sido 
usados para preencher o "Algarismo 1": {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
Essa é a quantidade que irá alimentar nosso esquema:
10 10
Algarismo
1
Algarismo
2
3) Aplicamos o PFC:
O PFC nos diz que podemos multiplicar essas 
acharmos ^ a quantidade final:
10 e< 10
Algarismo
1
Algarismo
2
quantidades para
100
Portanto, há 100 números de 2 algarismos que podemos formar com os 
algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}
Entenderam essa primeira parte? Então vamos fazer uma questão de 
prova?
Questão 1: ESAF - AUFC/TCU/1999
A senha para um programa de computador consiste em uma 
seqüência LLNNN, onde "L" representa uma letra qualquer do 
alfabeto normal de 26 letras e "N" é um algarismo de 0 a 9. Tanto 
letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é 
essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes 
dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre 
letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes 
senhas possíveis é dado por:
a) 226 310
b) 262 103
c) 226 210_________________________________________________
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d) 26! 10!
e) C26,2 Cl0,3 
SOLUÇÃO:
Essa questão é aplicação direta do PFC, Observe que não há restrições 
quanto a repetição. As letras podem ser repetidas, bem como os 
números.
26 26 10 10 10
Letra
1
Letra
2
No.
1
No.
2
No.
3
Pelo PFC, o número possíveis de senhas é 26x26x10x10x10 = 262x103 
Gabarito: Letra B
II.l 2° caso do PFC - repetição NÃO permitida e ordem importa
Outro exemplo: Quantos números de 2 algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}?
O enunciado falou que os algarismos devem ser distintos, ou seja, não há 
repetição. Além disso, como estamos formando números, é óbvio que a 
ordem dos algarismos importa, pois, como disse outrora, o número 13 é 
diferente do número 31, apesar de formados pelos mesmos algarismos. 
Então, aqui também devemos usar o PFC. A técnica nos manda fazer o 
seguinte:
1) Fazemos um quadrinho representando aquilo que devemos contar. 
Como são os números de dois algarismos, desenhamos um quadro, 
onde cada coluna simboliza um algarismo:
Algarismo
1
Algarismo
2
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2) Avaliamos de quantas maneiras podemos preencher os quadrinhos. 
No nosso caso, para preencher o primeiro algarismo, temos 10 
opções: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Essa é a quantidade que irá 
alimentar nosso esquema:
10
Algarismo
1
Algarismo
2
Para preencher o segundo algarismo, só podemos usar agora 9 
opções, pois não posso repetir o algarismo já utilizado para o 
"Algarismo 1". Suponha que o "Algarismo 1" tenha sido preenchido 
com o 4. Eu só posso usar agora para preencher o "Algarismo 2": {0, 
1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} = 9 opções. Essa é a quantidade que irá 
alimentar nosso esquema:
10 9
Algarismo
1
Algarismo
2
3) Aplicamos o PFC:
O PFC nos diz que podemos multiplicar essas 
acharmos a quantidade final:
10 e< 9
Algarismo
1
Algarismo
2
quantidades para
90
Portanto, há 90 números de 2 algarismos distintos que podemos formar 
com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}.
Entenderam essa segunda parte? Então vamos fazer outra questão de 
prova...
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Questão 2: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008
Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico 
cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de 
sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais 
pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo- 
se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número 
de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56
b) 5760
c) 6720
d) 3600
e) 4320__________________________________________________
SOLUÇÃO:
Essa questão é aplicação direta do PFC, Observe que há restrições 
quanto a repetição e ordem das tintas. A cada cor utilizada em um 
pedaço da parede, temos uma opção a menos de cor para pintar o 
próximo pedaço.
Assim:
8 7 6 < 5 > 4
Cor Cor Cor Cor Cor
1 2 3 4 5
Pelo PFC, o número possível de maneiras é 8x7x6x5x4 = 6720 
Gabarito: Letra C
Estes dois primeiros exercícios, em que pese terem sido retirados de 
prova da ESAF, foram molezinha né!
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Eu vou fazer com vocês agora uma sequência de alguns exercícios de 
PFC mais elaborados, mas nada impossível! Antes de ler minha 
resolução, tente rabiscar uma saída para o problema!
Questão 3: ESAF - AFRE MG/SEF MG/2005
Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão 
participar de um desfile de modas. A promotora do desfile 
determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre 
em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, 
a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou 
Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. 
Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é 
igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60 
SOLUÇÃO:
Vamos analisar cada caso separadamente e somar as possibilidades. 
Vejamos:
1. Ana é a última da fila
Ora, se Ana é a última, naquela posição só temos uma possibilidade. 
Como Denise não pode ser a primeira e Ana já é a última restam 7-1- 
1=5 opções para o primeiro lugar da fila.
Para o segundo lugar, temos igualmente 7-1-1=5 opções 
Finalmente, para o terceiro lugar, temos 7-1-1-1=4 opções
D A
5 E l 4 1
= 5x5x4x1 = 100 opções
2. Beatriz é a última da fila
Ora, se Beatriz é a última, naquela posição só temos uma possibilidade. 
Como Denise não pode ser a primeira e Beatriz já é a última restam 7­
1-1 =5 opções para o primeiro lugar da fila.
Para o segundo lugar, temos igualmente 7-1-1=5 opções 
Finalmente, para o terceiro lugar, temos 7-1-1-1=4 opções
D B
5 5 4 1
= 5x5x4x1 = 100 opções
3. Carla é a última da fila
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Ora, se Carla é a última, naquela posição só temos uma possibilidade. 
Como Denise não pode ser a primeira e Carla já é a última restam 7-1 - 
1=5 opções para o primeiro lugar da fila.
Para o segundo lugar, temos igualmente 7-1-1=5 opçõesFinalmente, para o terceiro lugar, temos 7-1-1-1=4 opções
D C
5 5 4 1
= 5x5x4x1 = 100 opções
4. Denise é a última da fila
Ora, se Denise é a última, naquela posição só temos uma possibilidade. 
Como Denise já é a última, restam 7-1=6 opções para o primeiro lugar 
da fila.
Para o segundo lugar, temos 7-1-1=5 opções 
Finalmente, para o terceiro lugar, temos 7-1-1-1=4 opções
D D
6 5 4 1
= 6x5x4x1 = 120 opções
Somando-se as possibilidades dos 4 casos 
possíveis:100+100+100+120=420
Gabarito: Letra A
Questão 4: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2008 
Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente 
acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede 
emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido 
da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número 
de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira 
caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
a) 681384
b ) 382426
c ) 43262
d) 7488
e) 2120 
SOLUÇÃO:
Na terceira retirada, Ana pode retirar 1 caixa (a de número 20) 
Na primeira retirada, Ai
1 2 3 4
1
na pode retirar 89 caixas (pois não há reposição)
1 2 3 4
89 1
Na segunda retirada, Ana pode retirar 88 caixas
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1 2 3 4
89 88 1
Na quarta retirada, Ana pode ^ retirar 87 caixas (pois não há reposição)
1 2 3 4
89 88 1 87
Pelo PFC, o número possível de maneiras é 89x87x1x87 = 681384
Dica: para não precisar fazer essas contas na hora da prova, verifique 
qual será o último algarismo da resposta. Nesse exemplo, ao multiplicar 
89x88, o último algarismo obrigatoriamente é 2, pois 9x8=72.
Ao multiplicar um número terminado em 2 por 87, o último algarismo 
obrigatoriamente é 4, pois 2x7=14. Analisando as alternativas, a única 
que termina com 4 é a letra a).
Gabarito: Letra A
Questão 5: ESAF - ATA MF/MF/2012
O número de centenas ímpares e maiores do que trezentos, com 
algarismos distintos, formadas pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, é 
igual a
a) 15.
b) 9.
c) 18.
d) 6.
e) 12.
SOLUÇÃO:
Primeira análise a ser feita:
- centenas têm três algarismos
- não há repetição
- para serem ímpares, devem qirminar em 1 ou 3
- para serem maiores que 300, devem começar por 3, 4 ou 6
Como o algarismo 3 está simultaneamente em duas das condições, 
temos que dividir as situações possíveis:
1. Centenas começando com 3
Ora, se a centena começa com 3, para ser ímpar, ela só pode terminar 
em 1. Dessa forma, restam 5-1-1 =3 ^ opções para o segundo algarismo:
3 1
1 3 1
= 1x3x1 = 3 opções
2. Centenas começando com 4 ou 6
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Ora, se a centena começa com 4 ou 6, para ser ímpar, ela só pode 
terminar em 1 ou 3 Dessa forma, restam 5-1-1=3 opções para o 
segundo algarismo: ______________
4/6 1/3
2 3 2
= 2x3x2 = 12 opções
Somando-se as possibilidades dos 2 casos possíveis:3+12=15
Gabarito: Letra A
Questão 6: ESAF - ATA MF/MF/2012
Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram 
Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis 
aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um 
em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será 
alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de 
alocação desses seis aprovados é igual a
a) 720.
b) 480.
c) 610.
d) 360.
e) 540.
SOLUÇÃO:
Na primeira sala, só pode homem (4 possibilidades: Carlos, Danilo, 
Emerson e Fabiano)
1 2 3 4 5 6
4
Na segunda sala, podemos colocar qualquer um dos 6, exceto o que está 
na sala 1 (pois não há reposição) = 6-1=5_______
1 2 3 4 5 6
4 5
E assim sucessivamente:
1 2 3 4 5 6
4 5 4 3 2 1
Pelo PFC, o número possível de maneiras é 4x5x4x3x2x1 = 480 
Gabarito: Letra B
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Questão 7: ESAF - AnaTA MF/MF/2013
O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com 
FA e nessa ordem é igual a:
a) 130
b) 124
c) 120
d) 115
e) 136 
SOLUÇÃO:
Anagrama é uma palavra que se forma com as mesmas letras de outra. 
Assim, AGITETRAES é um anagrama de ESTRATEGIA. Basta embaralhar 
as letras de uma palavra e teremos um anagrama para ela.
FAZENDA tem 7 letras. A questão pede todos os anagramas iniciados 
por FA (nesta ordem). Assim, teremos:
Na primeira sala, só pode homem (4 possibilidades: Carlos, Danilo, 
Emerson e Fabiano)
F A
1 1 5 4 3 2 1
Pelo PFC, o número possível de anagramas é 5x4x3x2x1 = 120 
Gabarito: Letra C
Questão 8: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e
Orçamento/2005
Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas 
em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e 
Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique 
ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a) 80
b) 72
c) 90
d) 18
e) 56 
SOLUÇÃO:
Para achar a solução desta questão, vamos calcular o total de maneiras 
pelas quais Pedro e Paulo podem escolher suas cadeiras e subtrair o 
número de arranjos em que os dois ficam juntos (Pedro/Paulo e 
Paulo/Pedro).
O Total de maneiras que os dois podem escolher suas cadeiras é:
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Pedro
1,2,3,4,5,6,7,8,9 
ou 10
Paulo 
Todas 
exceto a 
que já foi 
escolhida
10 9
= 10x9 = 90 opções
Os casos em que os dois ficam juntos são os seguintes:
1. Pedro na frente de Paulo: se Pedro vai sentar na frente de Paulo, ele 
pode escolher todas as cadeiras, exceto a última pois, se assim fosse, 
não sobraria cadeira para Paulo__________
Pedro
9
opções
Paulo 
1 única 
opção(atrás 
de Pedro)
9 1
= 9x1 = 9 opções
2. Paulo na frente de Pedro: se Paulo vai sentar na frente de Pedro, ele 
pode escolher todas as cadeiras, exceto a última pois, se assim fosse, 
não sobraria cadeira para Pedro__________
Paulo
9
opções
Pedro 
1 única 
opção(atrás 
de Paulo)
9 1
= 9x1 = 9 opções
Assim, o número possível de maneiras é 90-9-9=72
Gabarito: Letra B
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III. Combinação
A técnica da combinação é usada quando, em seu problema de contagem 
de elementos de determinado evento, NÃO for permitida repetição de 
elementos e a ordem NÃO importar.
A fórmula de cálculo da combinação é um pouco mais complexa do que a 
utilizada no PFC. Ela vai exigir que você, nobre candidato, relembre um 
conceito lá do seu ensino médio: F-A-T-O -R-I-A-L !!!!!!
O fatorial de um número, representado pelo ponto de exclamação (!), 
nada mais é do que o produto desse número pelo seu antecessor, pelo 
antecessor do antecessor, pelo antecessor do antecessor do antecessor... 
atéchegar a 1 o último termo do produto. Assim:
7! = 7x6x5x4x3x2x1 
4! = 4x3x2x1
10! = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
Uma propriedade importante do fatorial é que ele SEMPRE pode ser 
reescrito como um novo fatorial. Assim:
7! = 7x6x5x4!
10! = 10x9x8x7!
Perceberam?
Decorrente disso, ocorre uma coisa muito legal sempre que temos uma 
razão com fatoriais no numerador e no denominador, pois sempre 
podemos "cortar" grande parte d as contas. Basta desenvolvermos o 
maior fatorial até aparecer o menor e cortá-lo tanto no denominador 
quanto no numerador. Exemplo:
7! 7x6x5x4! 7x6x5x44
0! 0 x 9 x 8 x 7! 0x9x8x74 5x3x8x74
7! 3! 7!x3x2x1 74-x3x2x1 74-x3x2x4
Agora que relembraram o que é um fatorial, tenho a honra de apresentá- 
los a fórmula da combinação de n elementos tomados p a p:
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Estratégia
r n N r i i R ç n çC O N C U R S O S
DESPENCA 
na prova
- Mas Professor! Como é que eu vou usar isso?
- Take it easy! Nada melhor para aprender a fazer do que fazer!
Vamos retomar o último exemplo:
Quantas duplas de algarismos distintos podemos formar com os 
algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}?
O enunciado falou que os algarismos devem ser distintos, ou seja, não há 
repetição. Além disso, como NÃO estamos formando números (estamos 
formando duplas), é óbvio que a ordem dos algarismos NÃO importa, pois, 
como disse outrora, a dupla 1-3 é exatamente igual à dupla 3-1. Neste 
caso, devemos usar a combinação.
Ora, eu tenho um espaço amostral de 10 algarismos e quero saber quantas 
duplas eu posso formar com esses algarismos. Temos que calcular a 
combinação de 10 elementos 2 a 2. Pela fórmula:
Portanto, há 45 maneiras de combinar 2 algarismos distintos com os 
algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}.
Vamos ver como isso caiu na prova... Apresento a seguir uma bateria de 
exercícios resolvidos... Tente resolver antes de ler a solução!
Questão 9: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008
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1 0! 1 0x9
Cl0’2 2!( 8 )! 2 x 1 4 5
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Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 
questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 
questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes 
Ana pode escolher as questões?
a) 3003
b) 2980
c) 2800
d) 3006
e ) 3005 
SOLUÇÃO:
Esta questão é bem simples e envolve o conceito básico de combinação. 
Sem repetição. Sem importar a ordem de escolha.
n 1 5! 15x14x13x12x11x10! 15x14x13x12x11x40
Cl5'10 _ 1 0 ! (5)! _ 1 0! 5x4x3x2x 1 _ 105x4x3x2x1
1 5x 1 4x 1 3 x 1 2 x 1 1x10;
Cic in — -------------------------- — 3 00 3
1540 1045x4x3x2x1
Gabarito: Letra A
Questão 10: ESAF - AFRFB/SRFB/2009
Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, 
estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes 
sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma 
reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes 
sete pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32 
SOLUÇÃO:
Trata-se de questão clássica de combinação. Quantas retas podem se 
traçar a partir de 7 pontos no plano. Ora, dois pontos definem uma reta. 
Logo, estes 7 pontos definem um total de:
7! 7 x 6x5!
= 2 ( 5 ) ! = 2 5 5 = 2 1 retaS
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Entretanto, a questão não é tão simples assim, pois quatro desses 7 
pontos são colineares, ou seja, estão alinhados, sobre a mesma reta r. 
Estes 4 pontos definem um total de:
4! 4x3x2!
Ca7 = = = 6 retas, incluindo a re ta r
4'2 2 !( 2 )! 2 x 1 x2!
Como a questão quer saber o número de retas gerado por 7 pontos no 
plano, sendo 4 deles colineares, devemos pegar o total de retas (21), 
subtrair a quantidade de retas geradas pelos 4 pontos colineares 2 a 2 
(6) e somar + 1 reta (que é a reta r que contém os 4 pontos).
Assim: 21-6+1=16
Gabarito: Letra A
Questão 11: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2001
Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam- 
se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um 
quadrilátero.
O número total de diferentes quadriláteros que podem ser 
formados é:
a) 128
b) 495
c) 545
d) 1.485
e) 11.880________________________________________________
SOLUÇÃO:
Esta questão é bem simples e envolve o conceito básico de combinação.
n 2! 1 2 x 1 1 x 1 0 x9 x8
Cl2'4 ~ 41(8)! _ 844x3x2x1 _
Gabarito: Letra B
Questão 12: ESAF - AFC (CGU)/CGU/2001
Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o 
número de elementos de X é igual a:
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a) 10
b) 20
c) 35
d) 45
e) 90____________________________________________________
SOLUÇÃO:
Seja n o número de elementos de X:
n\ n (n — 1 — 2)4
Cn'2 ~ 2 ! (n - 2 ) ! _ 2 x 1 (n - 2)T ~ ~
n (n — 1) =
Preste atenção porque essa equação costuma cair em provas da ESAF:
n (n — 1) = 9 0
Um número, que multiplicado pelo seu antecessor, é igual a 90. Só pode 
ser o 10, porque 10 x 9 = 90.
Assim, n=10
Se você não enxergar essa saída rápida, pode partir para resolver uma 
equação do segundo grau, pela fórmula de Báskara:
n (n — 1) = 9 0 
n 2 — n — 9 0 = 0
- ( - 1) ± V (- 1 )2 - 4 ( 1 )(-9 0 )
n =
+ V 1 + +
n = = = 1 0 ou —
Assim, n=10
Gabarito: Letra A
Questão 13: ESAF - AFC (CGU)/CGU/2002
Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 
possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta 
simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 
6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas 
no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 
02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples 
para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para 
ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu 
sonho esteja correto é:
a) 8_____________________________________________________
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b) 28
c) 40
d) 60
e) 84 
SOLUÇÃO:
Esta questão é bem simples e envolve o conceito básico de combinação. 
Precisamos escolher 6 entre as 8 dezenas que Pedro sonhou.
n _ 8! _ 8x7x44 _
Cs'6 _ 6 !( 2 )! _ 642 ~ 2 8
Gabarito: Letra B
Questão 14: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e
Orçamento/2005
Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para 
escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao 
Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 
15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes 
cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as 
moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. 
Há um total de150 cumprimentos.
O número de moças é, portanto, igual a:
a) 10
b) 14
c) 20
d) 25
e) 45 
SOLUÇÃO:
Considere:
15 rapazes 
n moças
O número de cumprimentos entre os rapazes é :
n 1 5! 1 5 x 1 4x 43
Cl5'2 _ 2 !( 1 3)! _ 4 3 2 _ 1 ° 5
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Descontando este número do total de 150, temos 150-105 = 45 
cumprimentos entre moças. Para achar o número n de moças, fazemos:
n! n(n — 1 — 2H
Cn'2 = 2 ! (n - 2 ) ! = 2 x 1(n - 2 ) T~ = 4 5 
n (n — 1) = 9 0
Preste atenção porque essa equação costuma cair em provas da ESAF:
n (n — 1) = 9 0
Um número, que multiplicado pelo seu antecessor, é igual a 90. Só pode 
ser o 10, porque 10 x 9 = 90.
Assim, n=10
Se você não enxergar essa saída rápida, pode partir para resolver uma 
equação do segundo grau, pela fórmula de Báskara:
n (n — 1) = 9 0 
n 2 — n — 9 0 = 0
_ - ( - 1) ± V (- 1 )2 - 4 ( 1 )(-9 0 )
1 ± VTT36Õ 1 + 1 9
n = = = 1 0 ou — 9
2 2
Assim, n=10
Gabarito: Letra A
Questão 15: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2005 
Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro 
meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no 
exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as 
passagens de apenas seis depsas crianças. Sabendo-se que nas 
apresentações do programa de danças devem participar pelo 
menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis 
crianças podem ser escolhidas é igual a:
a) 286
b) 756
c) 468
d) 371
e) 752 
SOLUÇÃO:
Como a questão fala que o grupo deve conter, PELO MENOS, duas 
meninas, devemos considerar caso a caso:
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1. 2 meninas/4 meninos: C4,2 x C74 = 6 x 35 = 210
2. 3 meninas/3 meninos: C4 3 x C73 = 4 x 35 = 140
3. 4 meninas/2 meninos: C44 x C72 = 1 x 21 = 21
SOMANDO AS POSSIBILIDADES, TEMOS: 210 + 140 + 21 = 371
Gabarito: Letra D
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IV. Permutação
A permutação é um caso particular do PFC. Todas as questões que você 
resolve com permutação são passíveis de serem resolvidas por PFC. 
TODAS!
Entretanto, vou apresentar este conceito e o de Permutação Circular porque 
julgo que possam ser importantes para ganhar tempo em uma prova. 
Existem algumas questões que você vai bater o olho e dizer: "Essa é de 
Permutação!".
A permutação é usada para contar de quantas maneiras os elementos de 
um conjunto podem trocar de lugar. Imaginem as crianças Antonia, Bia e 
Carina. De quantas maneiras elas podem sentar-se no banco de um carro?
A fórmula de permutação é bem simples: a permutação de n elementos é 
igual a n!
pn = m
Assim, as crianças podem sentar-se de P3 = 3! = 6 maneiras. 
Seriam:
A - B - C 
A - C - B 
B - A - C 
B - C - A 
C - A - B 
C - B - A
Note, caro aluno, que esta questão também poderia ser matada pelo PFC. 
Trata-se de uma evento em que não há repetição e a ordem importa (pois 
a configuração A - B - C * C - B - A.
Como resolveríamos essa questão por PFC, seu usar Permutação?
Simples, no primeiro banco, temos a possibilidade de colocar 3 crianças:
3
Banco
1
Banco
2
Banco
3
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No segundo, 2 crianças, pois uma já terá sentado no Banco 1
3 2
Banco
1
Banco
2
Banco
3
Finalmente, no terceiro, só restará uma opção.
3 2 1
Banco
1
Banco
2
Banco
3
6
Aplicando o PFC, temos 6 maneiras. Viram como o resultado foi idêntico ao 
da Permutação?
Mais questões para você treinar...
Questão 16: ESAF - AIET/DNIT/Ambiental/2013 
Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus 
quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros 
distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em 
linha reta, sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar 
juntos. Então, o número de possibilidades distintas de montar essa 
exposição é igual a:
a) 5
b) 12
c) 24
d) 6
e) 15 
SOLUÇÃO:
Considere os quadros de Antônio azuis e os de Batista amarelos.
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A primeira coisa a se considerar é a ordem em que posso colocá-los. 
Como os quadros são inseparáveis, considero como se fosse uma coisa 
só. Ou coloco Antonio / Batista ou Batista / Antonio. É uma Permutação 
de 2 elementos, posso fazer de P2 =2 ! = 2 maneiras.
P2 = 2!
Agora, devemos considerar as permutações dentro de cada conjunto. O 
conjunto de Antonio posso dispor de P3=3!=6 maneiras.
O conjunto de Batista posso dispor de P2=2!=2 maneiras.
P3 = 3! P2 = 2!
P2 = 2!
Multiplicando isso tudo, temos: 6 x 2 x 2 = 24 maneiras 
Gabarito: Letra C
Questão 17: ESAF - AFT/MTE/1998
Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os 
cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas 
quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas 
moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24____________________________________________________
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d) 48
e) 120 
SOLUÇÃO:
Neste tipo de questão, devemos considerar as duas moças, as que não 
podem se separar, como se fossem uma pessoa só.
Para saber de quantas maneiras os 3 rapazes e esta dupla de moças 
podem sentar-se, basta fazer P4 = 4!=24
Para saber de quantas maneiras as 2 moças podem sentar-se no interior 
da dupla, basta fazer P2 = 2!=2
Multiplicando isso tudo, temos: 24 x 2 = 48 maneiras
Gabarito: Letra D
Questão 18: ESAF - AFRFB/SRFB/2012
Na prateleira de uma estante, encontram-se 3 obras de 2 volumes 
e 2 obras de 2 volumes, dispondo-se, portanto, de um total de 10 
volumes. Assim, o número de diferentes maneiras que os volumes 
podem ser organizados na prateleira, de modo que os volumes de 
uma mesma obra nunca fiquem separados, é igual a
a) 3.260.
b) 3.840.
c) 2.896.
d) 1.986.
e) 1.842.
SOLUÇÃO:
Neste tipo de questão, devemos considerar os volumes de uma obra 
como se fossem uma coisa só.
Para saber de quantas maneiras as cinco obras podem dispor-se, basta 
fazer P5 = 5!=120
Para saber de quantas maneiras os 2 volumes de cada obra podem 
dispor-se no interior da obra, basta fazer P2 = 2!=2. Como são 5 obras 
de 2 volumes, teremos P2 x P2 x P2 x P2 x P2 = 25=32.
Multiplicando isso tudo, temos: 120 x 32 = 3840 maneiras
Gabarito: Letra B
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Questão 19: ESAF - ATA MF/MF/2012
Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis 
pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De 
quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em 
torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice- 
Presidente fiquem juntos?
a) 96
b) 360
c) 120
d) 48
e) 24____________________________________________________
SOLUÇÃO:
Trata-se de uma questão clássica de permutação circular de 6 
elementos.
Entretanto, a questão pede que a presidenta e o vice permaneçam 
juntos. Resolveremos então como se fosse uma questão de permutação 
circular de 5 elementos, pois a presidenta e o vice serão tratados como 
um único elemento.
Pcircular 5 = 4! = 24
Não se esqueça agora de considerar a permutação entre a presidenta e 
o vice:
P2 = 2! = 2
Multiplicando isso tudo, temos: 24 x 2 = 48 maneiras
Gabarito: Letra D
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V. Mais Questões Comentadas...
Questão 20: ESAF - AFT/MTE/2006
Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 
5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha 
exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 
anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com 
idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, 
diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que 
podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é 
igual a:
a) 120
b ) 1220
c) 870
d) 760
e) 1120
SOLUÇÃO:
As idades são as seguintes:
- 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 => 8 candidatas < 23 anos
- 23 => 1 candidata = 23 anos
- 24, 25, 26, 27, 28, 29 => 6 candidatas > 23 anos
A questão fala que o grupo de dança deve conter 5 com menos de 23 
anos, uma com 23 anos, e 3 com idade superior a 23 anos.
Fazendo as combinações: C8,5 x C11 x C6,3 = 56 x 1 x 20 = 1120
Gabarito: Letra E
Questão 21: ESAF - AFT/MTE/2010
O departamento de vendas de uma empresa possui 10 
funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções 
possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 
funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo 
menos uma mulher?
a) 192.
b) 36.
c) 96.
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d) 48.
e) 60.
SOLUÇÃO:
Para achar o total de equipes que contém pelo menos um homem e pelo 
menos uma mulher, acharemos o total de equipes possíveis e 
subtrairemos do total de equipes contendo só homens e só mulheres.
Equipes totais possíveis: C103 = 120 
Equipes contendo só homens: C4 3 = 4 
Equipes contendo só mulheres: C6,3 = 20
Assim: 120 - 4 - 20 = 96
Gabarito: Letra C
Questão 22: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008
Uma turma de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. 
A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura 
composta por 5 formandos. O número de diferentes comissões que 
podem ser formadas, de modo que em cada comissão deve haver 3 
rapazes e 2 moças, é igual a:
a) 2500
b ) 5400
c) 5200
d) 5000
e) 5440
SOLUÇÃO: I
Fazendo as combinações: C103 x C102 = 56 x 1 x 20 = 5400 
Gabarito: Letra B
Questão 23: ESAF - FR (Pref RJ)/Pref RJ/2010
O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 
corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres.
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Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 
corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?
a) 15
b) 45
c) 31
d) 18
e) 25
SOLUÇÃO:
Para achar o total de equipes que contém pelo menos uma mulher, 
acharemos o total de equipes possíveis e subtrairemos do total de 
equipes contendo só homens.
Equipes totais possíveis: C8,2 = 28 
Equipes contendo só homens: C5,2 = 10
Assim: 28 - 10 = 18
Gabarito: Letra D
Questão 24: ESAF - ATEng (Pref RJ)/Pref RJ/2010 
O departamento técnico de uma construtora imobiliária tem 10 
técnicos de nível superior sendo 7 engenheiros e 3 arquitetos. 
Quantas equipes técnicas distintas podem ser formadas por 2 
desses técnicos com a participação de pelo menos um engenheiro 
em cada equipe?
a) 14
b) 35
c) 21
d) 28
e) 42
SOLUÇÃO:
Para achar o total de equipes que contém pelo menos um engenheiro, 
acharemos o total de equipes possíveis e subtrairemos do total de 
equipes contendo só arquitetos.
Equipes totais possíveis: C10,2 = 45 
Equipes contendo só arquitetos: C3,2 = 3
Assim: 45 - 3 = 42
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Gabarito: Letra E
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Questão 25: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e
Orçamento/2010
Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de 
reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados 
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em 
três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na 
sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. 
Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir 
seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440
b) 5.600
c) 4.200
d) 24.000
e) 42.000
SOLUÇÃO:
Para saber quantas possibilidades eu tenho de escolher 4 pacientes em 
10 para ocupar a sala 1, basta fazer C10,4
Tendo ocupado a sala 1, para ocupar a sala 2, preciso agora escolher 3 
pacientes dentre os 6 restantes (10 menos os 4 da sala 1). Basta fazer
C6,3
Tendo ocupado as salas 1 e 2, a sala 3 é ocupada com o restante: C3,3
Sala 1 - 4 vagas Sala 2 k 3 vagas Sala 3 - 3 vagas
C104 C6,3 C3,3
10 !
Assim, C10,4 x C6,3 x C3 3 = ■ = 4200
4 !3 ! 3 !
Gabarito: Letra C
Questão 26: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil/2013
De um grupo com 5 homens e 4 mulheres, deseja-se formar uma
comissão com exatamente 3 pessoas. A exigência é que nessa
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comissão precisa ter pelo menos 2 mulheres. Então, o número de 
possibilidades de formar essa comissão é igual a
a) 20
b) 42
c) 24
d) 34
e) 48
SOLUÇÃO:
Como a questão fala que a comissão deve conter, PELO MENOS, duas 
mulheres, devemos considerar caso a caso:
1. 2 mulheres/1 homem: C4,2 x C5,1 = 6 x 5 = 30
2. 3 mulheres/0 homem: C4,3 x C5,0 = 4 x 1 = 4 
SOMANDO AS POSSIBILIDADES, TEMOS: 30 + 4 = 34
Gabarito: Letra D
Questão 27: ESAF - AnaTA MF/MF/2013
Uma comissão com 6 pessoas será formada para representaro 
Ministério da Fazenda em um congresso internacional. Essas 6 
pessoas serão selecionadas de um grupo formado por 5 homens e 
6 mulheres. O número de possibilidades de nessa comissão termos 
4 pessoas do mesmo sexo é igual a:
a) 210
b) 215
c) 245
d) 225
e) 240
SOLUÇÃO: I
Como a questão fala que a comissão deve conter quatro homens OU 
quatro mulheres, devemos considerar caso a caso:
1. 2 mulheres/4 homens: C6,2 x C54 = 15 x 5 = 75
2. 4 mulheres/2 homens: C6,4 x C5,2 = 15 x 10 = 150 
SOMANDO AS POSSIBILIDADES, TEMOS: 75 + 150 = 225
Gabarito: Letra D
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Questão 28: ESAF - MTUR/2013
Com as letras M, N, O, P, Q, S, T e X, formam-se códigos de quatro 
letras, sendo que repetições das letras não são permitidas. O 
número de códigos possíveis é igual a:
a) 1.680
b) 1.560
c) 1.590
d) 1.670
e) 1.650__________________________________________________
SOLUÇÃO:
Como não são permitidas repetições, pelo PFC:
8x7x6x5 = 1.680
Gabarito: Letra A
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VI. Lista das Questões Apresentadas
Questão 1: ESAF - AUFC/TCU/1999
A senha para um programa de computador consiste em uma 
seqüência LLNNN, onde "L" representa uma letra qualquer do 
alfabeto normal de 26 letras e "N" é um algarismo de 0 a 9. Tanto 
letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é 
essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes 
dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre 
letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes 
senhas possíveis é dado por:
a) 226 310
b) 262 103
c) 226 210
d) 26! 10!
e) C26,2 C10,3
Questão 2: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008
Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico 
cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de 
sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais 
pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se 
que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de 
diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56
b) 5760
c) 6720
d) 3600
e) 4320
Questão 3: ESAF - AFRE MG/SEF MG/2005
Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar 
de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as 
modelos não desfilarão sozinhp s, mas sempre em filas formadas 
por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada 
fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. 
Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o 
número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
Questão 4: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2008
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Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente 
acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede 
emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido 
da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número 
de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira 
caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
a) 681384
b ) 382426
c) 43262
d) 7488
e) 2120
Questão 5: ESAF - ATA MF/MF/2012
O número de centenas ímpares e maiores do que trezentos, com 
algarismos distintos, formadas pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, é 
igual a
a) 15.
b) 9.
c) 18.
d) 6.
e) 12.
Questão 6: ESAF - ATA MF/MF/2012
Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram 
Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis 
aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um 
em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será 
alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de 
alocação desses seis aprovados é igual a
a) 720.
b) 480.
c) 610.
d) 360.
e) 540.
Questão 7: ESAF - AnaTA MF/MF/2013
O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA 
e nessa ordem é igual a:
a) 130
b) 124
c) 120
d) 115
e) 136
Questão 8: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e
Orçamento/2005
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Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas 
em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e 
Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique 
ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a) 80
b) 72
c) 90
d) 18
e) 56
Questão 9: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008
Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 
questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 
questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes 
Ana pode escolher as questões?
a) 3003
b) 2980
c) 2800
d) 3006
e) 3005
Questão 10: ESAF - AFRFB/SRFB/2009
Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, 
estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes 
sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma 
reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes 
sete pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32
Questão 11: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2001
Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam- 
se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um 
quadrilátero.
O número total de diferentes quadriláteros que podem ser 
formados é:
a) 128
b) 495
c) 545
d) 1.485
e) 11.880
Questão 12: ESAF - AFC (CGU)/CGU/2001
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Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o 
número de elementos de X é igual a:
a) 10
b) 20
c) 35
d) 45
e) 90
Questão 13: ESAF - AFC (CGU)/CGU/2002
Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 
possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta 
simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 
dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no 
próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 
05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o 
próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter 
certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho 
esteja correto é:
a) 8
b) 28
c) 40
d) 60
e) 84
Questão 14: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e
Orçamento/2005
Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para 
escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao 
Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 
15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes 
cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as 
moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. 
Há um total de 150 cumprimentos.
O número de moçasé, portanto, igual a:
a) 10
b) 14
c) 20
d) 25
e) 45
Questão 15: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2005 
Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro 
meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no 
exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as 
passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas 
apresentações do programa de danças devem participar pelo
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menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis 
crianças podem ser escolhidas é igual a:
a) 286
b) 756
c) 468
d) 371
e) 752
Questão 16: ESAF - AIET/DNIT/Ambiental/2013 
Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus quadros. 
Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. 
Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, 
sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. 
Então, o número de possibilidades distintas de montar essa 
exposição é igual a:
a) 5
b) 12
c) 24
d) 6
e) 15
Questão 17: ESAF - AFT/MTE/1998
Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os 
cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais 
eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças 
fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120
Questão 18: ESAF - AFRFB/SRFB/2012
Na prateleira de uma estante, encontram-se 3 obras de 2 volumes 
e 2 obras de 2 volumes, dispondo-se, portanto, de um total de 10 
volumes. Assim, o número de diferentes maneiras que os volumes 
podem ser organizados na prateleira, de modo que os volumes de 
uma mesma obra nunca fiquem separados, é igual a
a) 3.260.
b) 3.840.
c) 2.896.
d) 1.986.
e) 1.842.
Questão 19: ESAF - ATA MF/MF/2012
Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis 
pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De
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quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em 
torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice- 
Presidente fiquem juntos?
a) 96
b) 360
c) 120
d) 48
e) 24
Questão 20: ESAF - AFT/MTE/2006
Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 
5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha 
exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 
anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com 
idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, 
diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que 
podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é 
igual a:
a) 120
b) 1220
c) 870
d) 760
e) 1120
Questão 21: ESAF - AFT/MTE/2010
O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, 
sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem 
para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo 
na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?
a) 192.
b) 36.
c) 96.
d) 48.
e) 60.
Questão 22: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2008
Uma turma de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. 
A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura 
composta por 5 formandos. O número de diferentes comissões que 
podem ser formadas, de modo que em cada comissão deve haver 3 
rapazes e 2 moças, é igual a:
a) 2500
b) 5400
c) 5200
d) 5000
e) 5440
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Questão 23: ESAF - FR (Pref RJ)/Pref RJ/2010 
O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 
corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres.
Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 
corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?
a) 15
b) 45
c) 31
d) 18
e) 25
Questão 24: ESAF - ATEng (Pref RJ)/Pref RJ/2010 
O departamento técnico de uma construtora imobiliária tem 10 
técnicos de nível superior sendo 7 engenheiros e 3 arquitetos. 
Quantas equipes técnicas distintas podem ser formadas por 2 
desses técnicos com a participação de pelo menos um engenheiro 
em cada equipe?
a) 14
b) 35
c) 21
d) 28
e) 42
Questão 25: ESAF - APO (MPOG)/MPOG/Planejamento e
Orçamento/2010
Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de 
reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados 
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em 
três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na 
sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. 
Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir 
seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440
b) 5.600
c) 4.200
d) 24.000
e) 42.000
Questão 26: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil/2013 
De um grupo com 5 homens e 4 mulheres, deseja-se formar uma 
comissão com exatamente 3 pessoas. A exigência é que nessa 
comissão precisa ter pelo menos 2 mulheres. Então, o número de 
possibilidades de formar essa comissão é igual a
a) 20
b) 42
c) 24
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e) 48
Questão 27: ESAF - AnaTA MF/MF/2013
Uma comissão com 6 pessoas será formada para representar o 
Ministério da Fazenda em um congresso internacional. Essas 6 
pessoas serão selecionadas de um grupo formado por 5 homens e 
6 mulheres. O número de possibilidades de nessa comissão termos 
4 pessoas do mesmo sexo é igual a:
a) 210
b) 215
c) 245
d) 225
e) 240
Questão 28: ESAF - MTUR/2013
Com as letras M, N, O, P, Q, S, T e X, formam-se códigos de quatro 
letras, sendo que repetições das letras não são permitidas. O
JT m r mm W m W m m
número de códigos possíveis é igual a:
a) 1.680
b) 1.560
c) 1.590
d) 1.670
e) 1.650
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^^G abarito
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A A A B C B
9 10 11 12 13 14 15 16
A A B A B A D C
17 18 19 20 21 22 23 24
D B D E C B D E
25 26 27 28
C D D A
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