analise mat7

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Questão 1/12 - Análise Matemática
 Veja esta informação sobre relação de equivalência.
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linh
gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de
que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre as relações entre conjun
assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto 
:
Nota: 0.0
Questão 2/12 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que uma função , definida num intervalo aberto , é derivável em se existe e é f
o limite da razão incremental
 
 
com . Esse limite é, por definição, a derivada da função no ponto . Para indicar esse
limite, usam-se as notações
 
A
B
C
 
D
E
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3),
Essa relação é reflexiva, pois 
pois para cada par que pertence à o se
 também pertence à . E essa relação é transi
pares e , então, o par també
 (livro-base, capítulo 1).
(x, x) ∈ R, ∀x
(x, y) R
R
(x, y) (y, z) (x, z)
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5),
R = {(2, 2), (3, 3)}
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 1), (2, 4)}
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2),
f I x0 ∈ I
f(x) − f(x0)
x − x0
x → x0 f x0
 
 
esta última sendo o quociente de diferenciais”.
 
 
De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise Matemáti
a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir e marque V para as 
assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
 I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto do seu domínio possui derivada neste ponto.
 II. ( ) Se duas funções possuem derivada num ponto , então a derivada da 
soma é igual à soma das derivadas.
 III. ( ) Uma função possui derivada num ponto de acumulação do seu domínio se, 
somente se, existe e é finito o limite .
 
IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto de uma curva indica a inclinação da r
tangente à curva em .
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 0.0
A V-F-V-F
B F-V-F-V
C V-V-V-F
D F-V-V-F
E F-V-V-V
f ′(x0), (∂f)(x0) e (x0),
df
dx
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ÁVILA, G. Ánálise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 175-176.
x0
f, g : I → R x0 ∈ I
f : I → R x0
limx→x0
[f(x) − f(x0)]
x − x0
x0
x0
A alternativa que apresenta a sequência
correta é a letra e). A afirmativa I é falsa,
basta observar a função . Essa
função é contínua em , porém, não é
derivável em . A afirmativa II é
verdadeira pela regra da soma. A
afirmativa III é verdadeira, pois é a
definição de derivada. A afirmativa IV é
verdadeira, pois é a noção geométrica de
derivada (livro-base, p. 112-121).
f(x) = |x|
x = 0
x = 0
Questão 3/12 - Análise Matemática
Observe o intervalo representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as 
assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I. ( ) é um conjunto aberto.
 II. ( ) é um conjunto limitado.
 III. ( ) é um conjunto compacto.
 IV. ( ) é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 0.0
A V-V-F-F
B V-V-V-F
C F-F-V-V
D F-V-F-F
X = (−√2, √2 )
X
X
X
X
A alternativa que apresenta a sequência
correta é a letra a). A afirmativa I é
verdadeira porque todo ponto do conjunto 
 é ponto interior de . A afirmativa II é
verdadeira porque existe , por
exemplo, tal que para todo 
. A afirmativa III é falsa porque o
conjunto não é fechado e nem limitado.
A afirmativa IV é falsa porque o
complementar do conjunto não é aberto,
por exemplo, pertence ao
complementar de , mas não é ponto
interior do complementar. (livro-base, p.
88-91).
X X
R > 0
R = 3 |x| < 3
x ∈ X
X
X
x = √2
X
E V-F-V-F
Questão 4/12 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das 
limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrav
curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um 
processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecid
na História da Matemática como o ‘Problema da Tangente’”.
 
 
De acordo com as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre
Derivadas, sendo , assinale a alternativa que contém o limite q
devemos calcular para encontrar a derivada da função no ponto :
Nota: 0.0
A
 
B
 
C
 
D
E
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>. Acesso em: 20 jun. 2017.
f ′(x0) = limx→x0
[f(x) − f(x0)]
x − x0
f(x) = x2 − 1 x = 2
limx→2
(x2 − 1) ± 5
x − 2
limx→2
(x2 − 1) − 3
x − 2
Como e 
 quando
esse limite existir, então, 
f(2) = 3
f ′(2) = limx→2
f(x) − f(2)
x − 2
limx→2
(x2 − 1) − 3
x − 2
limx→0
(x2 − 1) − 2
x − 2
limx→2
(x2 − 1)
x − 2
limx→0
(x2 − 1)
x
Questão 5/12 - Análise Matemática
Na definição de integral definida , trabalhamos com uma função definida em um 
intervalo limitado e presumimos que não tenha uma descontinuidade infinita. 
 Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e
também para o caso onde tem uma descontinuidade infinita em . Em ambos os casos, a
integral é chamada integral imprópria. 
 
 
Observe a imagem:
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Integrais
impróprias, a área da região hachurada na figura é o valor da integral imprópria que 
corresponde a:
Nota: 0.0
A
 
B
 
C
∫ ba f(x)dx f
[a, b] f
f [a, b]
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São PaCengage, 2013. v. I. p. 470.
∫ +∞1 dx
1
x2
A(D) = ∞
A(D) = 2
A(D) = 1
Questão 6/12 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Aplicando a Regra de L’Hôpital
Passo 1: Verifique que lim é uma forma indeterminada do tipo .
Passo 2: Diferencie separadamente e .
Passo 3: Encontre o limite de . Se esse limite for finito, ou , então ele é igual ao lim
de ”.
 
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática , podem
dizer que é igual a:
Nota: 0.0
D
 
E
 
A
B
 
 
 
C 4
 (livro-base, p. 
∫ +∞1 = limt→+∞ ∫
t
1 dx = limt→+∞(F(t)
1
x2
1
x2
limt→+∞ (− + 1) = 0 + 1 = 1
1
t
A(D) = e
A(D) = e−1
f(x)
g(x)
0
0
f g
f ′(x)
g ′(x)
+∞ −∞
f(x)
g(x)
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, StepCálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. I. p. 257.
limx→2
x2 − 4
x − 2
1
7
1
2
Questão 7/12 - Análise Matemática
"Uma função é contínua em um número se 
 
1. está definida (isto é, está no domínio de )
 2. existe
 3. ".Observe o gráfico da função definida no intervalo :
 
 
 
 
De acordo com a figura e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Lim
e Continuidade, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
D 8
E 1
Temos , pela regra de L'Hôpital, que 
 
 
 
Livro (p128 e p129).
limx→2 = limx→2 = 2.2 = 4
x2 − 4
x − 2
2x
1
f a limx→a f(x) = f(a)
f(a) a f
limx→a f(x)
limx→a f(x) = f(a)
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São PaCengage, 2013. v. I. p. 109.
f(x) [−1, 4]
A O limite lateral de quando x tende a -1
pela direita é 
B O limite lateral de quando x tende a 
pela esquerda é .
C O limite de quando tende a existe e
vale zero.
D A função é contínua em .
E O limite lateral de quando tende a 
 pela esquerda é .
Questão 8/12 - Análise Matemática
f(x)
-2
f(x) 2
1
f(x) x 2
f(x) x = 2
f(x) x
(−1) 0
Pelo gráfico podemos ver que quando se
aproxima de pela esquerda o se
aproxima de zero (livro-base, p. 96).
x
−1 y
Observe o gráfico da função e da sua reta tangente no ponto .
 
 
Fonte: Imagem produzida pelo autor da questão.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
Derivadas, assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente ao gráfico da função 
no ponto :
 
Nota: 10.0
A
 
B
 
C
 
f(x) = x2 x = 1
f
x = 1
y = −2x + 1
y = 3x– 3
2
y = 2x– 1
Você acertou!
A alternativa correta é letra c. Temos que 
, logo, é a inclinação
da reta tangente. No ponto temos 
f ′(x) = 2x f ′(1) = 2
x = 1
D
 
E
Questão 9/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte imagem:
 
 
 
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática
sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre
eixo e o gráfico da função no intervalo limitado por e .
 
 
 
Nota: 0.0
. Assim a equação da reta
tangente é: , isto é: 
. (livro-base, p. 111-113).
y = f(1) = 1
(y − 1) = 2(x − 1)
y = 2x − 1
y = −x + 3
y = −x + 4
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão.
x f(x) = x + 2 x = 0 x = 2
Questão 10/12 - Análise Matemática
Considere as funções dadas por e e seja a função composta 
.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas, 
podemos concluir que a derivada da função composta dada é:
Nota: 10.0
A 
B 
C
D
A 2
B
 
C 4
D
E 6
3
2
1
4
A área da região é dada por: 
p. 156).
A(D) = ∫ 20 (x + 2)dx = ( + 2x)
∣
∣
∣
2
0
= ( +x
2
2
22
2
f, g : R → R f(x) = ex g(x) = 3x
(f ∘ g)(x) = e3x
(f ∘ g)′(x) = 3ex + 2ex
(f ∘ g)′(x) = 3ex + 2e2x
(f ∘ g)′(x) = e3x2+2
(f ∘ g)′(x) = 3e3x
Você acertou!
A alternativa correta é a letra d), pois
temos que e . Logo,
pela Regra da Cadeia, temos que 
 
(livro-base, p. 119-121).
 
f ′(x) = ex g ′(x) = 3
(f ∘ g)′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x) = 3e3x
E
Questão 11/12 - Análise Matemática (questão opcional)
Atente para o gráfico da função representado abaixo.
 
 
Observando o gráfico dado e com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática, anal
as afirmativas abaixo e marque V para as afirmativa verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I. ( ) .
 
II. ( ) A função é contínua no ponto .
III. ( ) 
 
IV. ( ) é descontínua no ponto .
 
V. ( ) 
Assinale a alternativa que possui a seqûencia correta.
Nota: 0.0
A V-F-V-F-V
B F-F-V-V-V
C V-F-V-V-V
(f ∘ g)′(x) = (3x2)ex
f : R → R
limx→3 f(x) = 5
f x = 3
limx→1+ f(x) = 5.
f x = 1
f(1) = 3
D V-V-V-V-V
E F-V-V-V-F
Questão 12/12 - Análise Matemática (questão opcional)
Atente para a seguinte informação sobre topologia:
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o
domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o 
se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos 
equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de 
funções”.
 
 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos topológicos, 
assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de acumulação de um 
conjunto. 
Nota: 0.0
A É um ponto de um conjunto que é
simultaneamente fechado e limitado.
B É um ponto do conjunto tal que todos os
pontos aderentes pertencem a ele.
C É um ponto que possui uma vizinhança
inteiramente contida no conjunto.
D
É
A alternativa que possui a sequência
correta é a letra c). A afirmativa I é
verdadeira porque os limites laterais são
iguais .
A afirmativa II é falsa porque 
. A afirmativa III é
verdadeira porque quando se aproxima
de 1 pela direita, a função se aproxima de
5. A afirmativa IV é verdadeira porque os
limites laterais são diferentes. A afirmativa
V é verdadeira, pois 3 (livro-base,
Capítulo 3).
limx→5− f(x) = 5 = limx→5+ f(x)
limx→3 f(x) = 5 ≠ f(3)
x
f(1) =
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed.de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161.
É um ponto que é limite de uma sequência de
elementos do conjunto.
E É um ponto tal que toda vizinhança dele
possui um ponto do conjunto diferente
dele.
Definição de ponto de acumulação (livro-
base, p. 89).