dimensões fracionadas

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INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS – CAMPUS MACEIÓ 
 
CURSO LICENCIATURA EM FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anderson da Silva dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió-AL 
2018 
 
2 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS – CAMPUS MACEIÓ 
 
CURSO LICENCIATURA EM FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anderson da Silva dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió-AL 
2018 
Relatório de aulas práticas da 
disciplina de Introdução a Física 
sobre o tema Dimensões Inteiras 
e Fracionárias, realizado no dia 
02/07/2018, sob orientação do 
Prof°: Alex Emanuel Barros 
Costa 
3 
 
Sumário 
RESUMO..................................................................................................................... 4 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4 
REFERENCIAL TEÓRICO.......................................................................................... 5 
OBJETIVOS ................................................................................................................ 6 
EXPERIMENTO .......................................................................................................... 6 
RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................ 9 
QUESTÕES .............................................................................................................. 10 
CONCLUSÃO ........................................................................................................... 11 
ANEXO ..................................................................................................................... 12 
 
 
 
 
4 
 
RESUMO 
 
 Realizei um experimento simples, porém, de complexo entendimento. Usei 
duas folhas de papel A4, e dividi uma ao meio, obtive duas partes de uma folha, 
onde guardei uma parte e dividi a outra ao meio, repeti o mesmo processo algumas 
vezes até chegar a seis partes da folha dividida e uma folha inteira, atribui massa 1 
para menor parte da folha, massa 2 para segunda menor parte, massa 4 para 
terceira menor parte e assim sucessivamente, sempre atribuindo o dobro para cada 
próxima parte até chegar na folha inteira, com massa 64. Fiz “bolinhas” de papel 
com as partes da folha e com a outra inteira e usamos um paquímetro para medir 7 
vezes o diâmetro de cada bolinha de papel. 
 Anotei cada diâmetro numa tabela e calculei a média aritmética de cada 
bolinha, usei as médias da bolinha num gráfico log-log, onde a massa que atribui 
para cada bolinha ficava no eixo das abscissas e a média do diâmetro de cada 
bolinha no eixo das ordenadas. 
 Foi pedido que usando a Geometria Fractal encontrasse a dimensão das 
bolinhas, é esperado que a dimensão seja um numero não inteiro entre 2 e 3, pois 
as bolinhas feitas serão como uma tentativa falha de formar uma esfera regular de 3 
dimensões, onde sua forma de origem é um plano com duas dimensões. 
 
INTRODUÇÃO 
 
 De acordo com a Geometria Euclidiana é possível calcular as dimensões de 
objetos regulares, por exemplo: uma folha de papel A4 é possível calcular sua área 
através do produto de sua base com sua altura, assim obtêm um resultado 
bidimensional, com isso poderemos saber seu volume, sua densidade e etc. Graças 
também a Geometria Euclidiana, também se é possível calcular dimensões 
tridimensionais, temos a esfera como um exemplo. Mas se caso temos uma folha 
A4, de inicio bidimensional, e amassamos para tentar formar uma esfera, é evidente 
que não obteríamos uma esfera tridimensional regular, porém também não ainda 
teríamos uma folhar A4 bidimensional regular, nesses casos que se é necessário a 
Geometria Fractal. 
 A Geometria Fractal é aquela responsável em atribuir dimensões quando a 
Geometria Euclidiana é falha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
REFERENCIAL TEÓRICO 
 
 Média aritmética: todas as medidas divididas pelo número de medidas feitas. 
 
(X1 X2 ...Xn)
x
n
+ +
=
(Eq 1) 
 
 Desvio de uma medida:medida feita menos a média aritmética. 
 
xi xi x = − (Eq2) 
 
 Desvio padrão: a raiz quadrada da soma dos desvios das medidas ao 
quadrado dividido pelo número de medidas menos 1. 
 
2
1
( )
1
n
i
i
X X
n
 =
−
=
−

(Eq3) 
 
 Desvio padrão da média: desvio padrão dividido pela raiz quadrada do 
numero de medidas feita. 
 
m
n

 =
(Eq4) 
 
 Erro aleatório: coeficiente de Student, t, pode assumir diferentes valores, 
dependendo do número de medidas e da confiabilidade desejada. Por simplicidade 
será adotado t como sendo 1. Portanto, erro aleatório é mais ou menos a 
multiplicação do coeficiente de student e o erro padrão da média. 
.t m
(eq5) 
 Erro total= erro de aleatório + erro de escala + erro sistemático(Eq 6) 
 Formula que relaciona a Massa do objeto com seu diâmetro: Onde seu 
diâmetro é representado pelo produto de uma constante com a massa do objeto 
elevado a um dividido sobre a dimensão do objeto 
1/dD KM=
(Eq 7) 
 Em forma de logaritmo: 
6 
 
1
log log logD M K
d
= +
(Eq 8) 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVOS 
 
 Fazer medidas de diâmetro de um corpo irregular, aplicações de teoria de 
erros e algarismos significativos. Medir a dimensão dos corpos de formas 
geométricas irregulares. 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO 
 
Material utilizado: 
 
 
 
 
 
 ( Fig 1) 
 
 
 
 
Imagem de autoria própria do aluno (2018) 
 
Folha de papel: 
 
 (Fig 2) 
 
 
Imagem de autoria própria do aluno (2018) 
 
7 
 
 
 
Experimento: 
 
• De inicio dividimos uma folha em 6 partes e deixamos outra inteira e atribuímos 
massa para cada pedaço da folha partida como indica a fig 3. 
 
 
 
 
 (Fig 3) 
 
 
 
 
 
Imagem de fonte desconhecida (2018) 
• Construiu-se sete bolas de papel amassado com os pedaços indicados na 
imagem 3 e demonstrados na fig 4. 
 
 
 
 
 
 (Fig 4) 
 
 
 
 
Imagem de autoria própria do aluno (2018) 
 
• Fiz sete medidas do diâmetro em pontos diferentes em cada uma das bolas de 
papel como está exemplificado na fig 5. 
 
 
 
 
 
 (Fig 5) 
 
 
 
 
 
 
Imagem de autoria própria do aluno (2018) 
 
• Anotei os valores na tabela 1, e com as equações 1, 2, 3, 4, 5 e 6 obtive a 
média e erro total da média também anotados na tabela 1. 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Tabela1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de autoria própria do aluno (2018) 
 
• Construiu-se o gráfico log-log, presente no anexo do trabalho.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
 Foi pedido para encontrar K e d e estimar a incerteza de d. Ao observar a 
formula que relaciona a massa do objeto com seu diâmetro em logaritmo mostrado 
na eq 8, vi que essa equação se tratava de uma função de primeiro grau 
exemplificado na eq 9. 
1
log log logD M K
d
= +
(Eq8)
 
 
Y= aX + b(equação 9) 
 
 
 Onde logD=y, 
1
𝑑
= 𝑎 , X=logM, b=logK 
 Com o conhecimento das propriedades da função linear, O b é chamado de 
coeficiente linear, ou seja, é o local de cruzamento da reta no eixo y, no caso o 
coeficiente linear da nossa função é logK, e tomando nossos valores encontrados no 
gráfico log-log, logK=log5,83 = 0,74. 
 
 Para achar d podemos resolver analisando o gráfico deduzimos que a é o 
coeficiente angular, para achar o coeficiente angular divide o cateto oposto pelo 
cateto adjacente como está presente e resolvida na equação 10. 
 
 Dados do gráfico: cateto oposto =log 38,48–log5,83, cateto adjacente =log64-
log1 
 
 
1
𝑑
=
𝑙𝑜𝑔38,48−𝑙𝑜𝑔5,83
𝑙𝑜𝑔64−𝑙𝑜𝑔1
1 
𝑑
=
1,58−0,74
1,81
1
𝑑
=0,45
𝑑=
1
0,45
𝑑=2,22
 (Eq 10) 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES 
 
a) Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade 
uniforme? E para uma“esfera” bidimensional – um objeto circular, como uma 
moeda, de densidade uniforme? E para uma esfera unidimensional? 
 
 Esperaria um valor para a esfera tridimensional 3, para uma ‘esfera’ 
bidimensional 2, e para um objeto unidimensional 1. 
 
b) Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à 
pergunta 1 ? 
 
Esfera tridimensional ; 
 
Esfera bidimensional 
 
Esfera unidimensional 
 
c) Como você interpreta o valor de d obtido? 
 
 Desde que uma esfera perfeita possui dimensão 3 e sendo impossível que as 
bolinhas de papel tivessem dimensão maior que esta, e tambem não poderia ser 
menor que 2, pois antes de serem amassadas a área delas tinham dimensão 2. O 
resultado obtido era esperado, pois já sabíamos que encontraria uma valor entre 2 e 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
CONCLUSÃO 
 
Conclui-se que é de extrema importância o estudo da Geometria Fractal, pois a 
maioria dos objetos encontrados na natureza não tem dimensões inteiras, dessa 
forma não será possível calcular suas dimensões com a Geometria Euclidiana. E o 
mais interessante no experimento é a comprovação que a dimensão do objeto seria 
entre os números 2 e 3, pois 2 é a sua dimensão topológica, e 3 é a dimensão do 
nosso espaço Euclidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
ANEXO