(6) Transformações Lineares

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CAPÍTULO 6
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
6.1 FUNÇÕES VETORIAIS
	Neste capítulo será estudado um tipo especial de função onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais, ou seja, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, daí essas funções serem chamadas de funções vetoriais ou transformações vetoriais.
	Para indicar que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escreve-se:
	T: V → W.
Sendo T uma função, cada vetor v(V tem um só vetor imagem w(W, que será indicado por w = T(v).
Exemplo 1: Uma transformação T: R2 → R3 associa vetores v = (x,y)(R2 com vetores w = (a, b, c) ( R3 (Figura 6-1). Se a lei que define T é tal que:
	a = 3x, b = –2y e c = x – y.
então a imagem de cada vetor (x,y) será representada por:
	T(v) = w		ou
	T(x,y) = (3x, –2y, x – y). 
Se, por exemplo, v = (2, 1), então w = T(2, 1) = (3(2), –2(1), 2 – 1) = (6, –2, 1).
Fig. 6-1.
Exemplo 2: Seja T a transformação que leva um vetor x = (x1,x2) em R2 no vetor 2x = (2x1,2x2) em R2. Então escrevemos:
	T(x) = 2x ou T(x1,x2) = (2x1,2x2)
Se, por exemplo, x = (–1,3), então T(x) = (–2,6).
Exemplo 3: Seja T a transformação que leva o vetor x em R3 no vetor em R3 cujas componentes são os quadrados das componentes de x. Então, se x = (x1, x2, x3), temos:
	T(x1, x2, x3) = (x12, x22, x32)
Se, por exemplo, x = (1, 2, –3), então T(x) = (1, 4, 9) 
Exemplo 4: Considere a matriz 
 e seja TA a transformação que leva um vetor coluna x de 
dimensões 2(1 em R2 no vetor-coluna Ax em R3. Então temos:
	TA(x) = Ax.
Ou seja, TA(x) = 
Podemos expressar a transformação TA em forma de matriz por
	
Ou em forma de ênupla como:
	TA(x1, x2) = (x1 – x2, 2x1 + 5x2, 3x1 + 4x2).
Por exemplo: 
 ou TA(–1, 3) = (–4, 13, 9).
Observação: Se T é uma transformação cujo domínio é Rn, contradomínio Rm e cuja imagem é um subconjunto de Rm, é costume escrever:
	T: Rn ( Rm
que se lê: “T aplica Rn em Rm”. Assim, no exemplo 4 temos:
	TA: R2 ( R3.
Exercício: Sendo x um vetor-coluna, encontre o domínio e o contra domínio da transformação 
TA(x) = Ax quando: (a) A tem dimensões 3(2; (b) A tem dimensões 2(3; (c) A tem dimensões 3(3. Em cada caso indique as dimensões do vetor x.
TRANSFORMAÇÕES MATRICIAIS
	O exemplo 4 é um caso especial de transformação matricial. Mais especificamente, se A é uma matriz m(n e se x é um vetor-coluna em Rn, então o produto Ax é um vetor em Rm. Essa transformação é denominada multiplicação por A ou a transformação A e escrevemos:
	TA: Rn ( Rm com TA(x) = Ax.
No caso especial em que A é uma matriz quadrada, n(n, dizemos que TA é um operador matricial de Rn.
	
Exemplo 5: Se 0 é a matriz nula m(n, então:
	To(x) = 0x = 0.
Essa transformação é denominada de transformação nula.
Exemplo 6: Se I é a matriz identidade n(n, então para cada vetor x em Rn temos:
	TI(x) = Ix = x.
e dizemos que TI é o operador identidade.
Exemplo 7: O problema de resolver um sistema linear Ax = b pode ser visto como o de encontrar um vetor x em Rn cuja imagem pela transformação TA é o vetor b de Rm. Então, seja TA: R2 ( R3 a transformação do exemplo 4. Encontre se houver um vetor x em R2 cuja imagem por TA é:
	(a) 
		(b) 
Solução (a): 
. Assim, a forma escalonada reduzida por linha da matriz aumentada é:
	
. Portanto, temos a solução única 
Solução (b): 
. Neste caso, pode ser mostrado que esse sistema é inconsistente. 
Assim, o vetor b não está na imagem de TA.
6.2 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
	As transformações lineares são utilizadas no estudo de processos caóticos, no projeto de sistemas de controle, na filtragem de ruído em sinais elétricos e em computação gráfica.
Existem três categorias de uso para a palavra linear:
Algébrica (descrevendo a forma de uma equação).
Geométrica (descrevendo a forma de objetos)
Operacional (descrevendo a maneira pela qual um sistema, função ou transformação responde às entradas).
No capítulo 3 foram vistas as interpretações algébricas e geométricas da linearidade. Vejamos agora a terceira interpretação.
	Lembre que uma variável y é dita diretamente proporcional a uma variável x se existir uma constante k tal que:
	y = kx.
que na forma de função é escrita como:
	y = f(x) = kx.
Essa equação tem duas propriedades importantes:
Homogeneidade: Modificando a entrada (variável independente, x) por um escalar multiplicativo (, modifica a saída (variável dependente, y) pelo mesmo escalar, ou seja:
f((x) = k((x) = ((kx) = (f(x).						(6-1)
Aditividade: A soma de duas entradas provoca a soma das saídas correspondentes, ou seja:
f(x1 + x2) = k(x1 + x2) = kx1 + kx2 = f(x1) + f(x2).				(6-2)
Por estas propriedades introduzimos a seguinte definição para o caso de transformações:
-Uma função T: Rn ( Rm é dita uma transformação linear de Rn em Rm se as duas propriedades seguintes valem para quaisquer vetores v e w e qualquer escalar (:
 
T((v) = (T(v) [Homogeneidade]
T(v + w) = T(v) + T(w) [Aditividade]
Veja ilustração na figura 6-2.
No caso especial em que m = n, a transformação linear T é denominada um operador linear de Rn.
As duas propriedades dessa definição podem ser combinadas para resultar na equação:
	T((1v1 + (2v2 + ... + (kvk) = (1T(v1) + (2T(v2) + ... + (kT(vk).		(6-3) 
que os engenheiros e físicos chamam de princípio da superposição.
Fig. 6-2.
Exemplo 8: T: R ( R definida por T(x) = kx .
	Como T(u + v) = k(u + v) = ku + kv = T(u) + T(v)
e
	T((u) = k((u) = ((ku) = (T(u)
Então, T é uma transformação linear.
Exemplo 9: T: R2 ( R3 definida por T(x, y) = (2x, 0, x + y).
	
	Seja: u = (x1, y1) e v = (x2, y2), então temos:
	u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
	T(u) = (2x1, 0, x1 + y1), T(v) = (2x2, 0, x2 + y2)
	T(u) + T(v) = (2x1 + 2x2, 0, x1 + y1 + x2 + y2)
	T(u + v) = (2(x1 + x2), 0, x1 + x2 + y1 + y2) = (2x1 + 2x2, 0, x1 + y1 + x2 + y2).
	
Ou seja, a aditividade é satisfeita, pois: T(u + v) = T(u) + T(v). Também:
(u = ((x1, (y1).
T((u) = (2(x1, 0, (x1 + (y1)
(T(u) = ((2x1, 0, x1 + y1) = (2(x1, 0, (x1 + (y1).
	Ou seja, a multiplicação por um escalar também é satisfeita, pois: T((u) = (T(u).
Logo, a transformação é linear.
Exemplo 10: Se A é uma matriz m(n e x é um vetor-coluna em Rn, então a transformação matricial TA: Rn ( Rm, onde TA(x) = Ax, é linear, pois:
	TA((v) = A((v) = ((Av) = (TA(v)
	TA(v + w) = A(v + w) = Av + Aw = TA (v) + TA(w).
Exercício: Verificar se as seguintes transformações são lineares:
	a) T(x, y) = (3x, – 2y, x – y)		b) T(x, y) = (x + y, x)
Resposta: São lineares.
Teorema: Se T: Rn ( Rm é uma transformação linear, então:
T(0) = 0.
T(–v) = –T(v). 
T(v – w) = T(v) – T(w).
Exemplo 11: A soma de um vetor xo com um vetor x tem o efeito de transladar o ponto final de x por xo. (figura 6-1). Assim, o operador T(x) = xo + x de Rn tem o efeito de transladar cada ponto de Rn por xo. Logo T não é linear se xo ( 0. Para mostrar, basta verificar que:
	T(0) = xo + 0 = xo ( 0.
violando a parte (a) do teorema. Também se pode mostrar, neste caso, que a aditividade e a homogeneidade não são satisfeitas.
Fig. 6-1.
Exercício: Mostre que as seguintes transformações não são lineares.
	a) T(x, y) = (xy, x)	b) T(x, y) = (x + 3, 2y, x + y).
Teorema: Seja T: Rn ( Rm uma transformação linear em que T(x) = Ax, onde x é qualquer vetor coluna de Rn, então as colunas de A representam as transformações dos vetores colunas unitários canônicos e1, e2, ..., en, ou seja, a matriz A pode ser escrita como
	A = [T(e1) T(e2) ... T(en)].							(6-4)
Por este motivo a matriz A também é denominada a matriz canônica da transformação T. A seguinte notação também é usada para denotar a matriz canônica:[T] = [T(e1) T(e2) ... T(en)].
Neste caso a transformação é expressa como:
	T(x) = [T]x.									(6-5)
Exemplo 12: Encontre a matriz canônica do operador T: R2 ( (R3 definido por 
T(x) = (x – 2y, –3x, x + 3y).
Solução: Pelo teorema anterior, a matriz canônica de T é:
	[T] = [T(e1) T(e2)] = [T(1, 0) T(0, 1)] = [(1, –3, 1) (–2, 0, 3)]
Logo, a matriz canônica é
	[T] = 
 
Para conferir, verifique que:
	
Exercício:
1) Um operador linear T: R2 → R2 é definido por T(1, 0) = (2, –3) e T(0, 1) = (–4, 1). Determinar T(x,y) em forma de ênupla.
Resposta: (2x – 4y, –3x + y).
2) Encontre T(x) usando a matriz canônica dada da transformação linear T, onde:
	(a) [T] = 
; x = 
		(b) [T] = 
; x = 
 
Resposta: (-1, 1); (3, 13).
Observação: Muitas vezes especificamos as transformações de Rn em Rm por fórmulas que relacionam os componentes de um vetor x = (x1, x2, ..., xn) em Rn com os componentes de sua imagem w = T(x) = (w1, w2, ..., wm). Então, tal transformação é linear se, e somente se, a relação entre w e x pode ser expressa por w = Ax, onde A = [aij] é a matriz canônica de T. Em outras palavras, as equações do sistema w = Ax são todas lineares.
Exercício:
1) Encontre o domínio e o contradomínio da transformação w = T(x) definida pelas equações a seguir e determine se T é linear.
	w1 = 3x1 – 2x2 + 4x3
	w2 = 5x1 – 8x2 + x3.
2) Seja o operador linear T(x,y) = (r, s) definido pelas equações:
	2x + y = r
	6x + 2y = s
Encontre a imagem da reta x + y = 1 por essa transformação.
6.3 ALGUNS OPERADORES LINEARES IMPORTANTES NO R2
	Alguns dos operadores lineares mais importantes de R2 e R3 são as rotações, as reflexões e as projeções. Mostraremos nesta seção como obter as matrizes canônicas desses operadores.
ROTAÇÃO EM TORNO DA ORIGEM
	Considerando a figura 6-2, fixemos um ângulo ( e consideremos o operador T que gira cada vetor x de R2 em torno da origem por um ângulo (. Analisando a seqüência de figuras, não é difícil concluir que T é linear. Por exemplo, a figura 6-2(b) mostra a homogeneidade, já que tanto faz multiplicar u por (, primeiro e depois girar, como girar primeiro e depois multiplicar por (. Por sua vez, a figura 6-2(c) mostra a aditividade, ou seja, tanto faz somar u e v primeiro para depois girar a soma como girar u e v primeiro para depois somar.
	 a)				 b)				 c)
Fig. 6-2.
Para encontrar a matriz canônica, denotada por R(, vamos nos ater a figura 6-3. Por essa figura tiramos:
	R( = [T(e1) T(e2)] = 
					(6-6)
de modo que a imagem de um vetor x = (x, y) por essa rotação é
	T(x,, y) = R(x = 
					(6-7)
Fig. 6-3.
Exemplo 13: Encontre a imagem de x = (1, 1) pela rotação de π/6 rd em torno da origem.
Solução: Da equação (6-7) com θ = π/6, tiramos:
	Rπ/6x = 
Ou em forma de ênupla a imagem é T(1, 1) = (0,37; 1,37).
Observação: A matriz de rotação tem seu determinante igual a 1. A recíproca não é verdadeira
REFLEXÕES EM RETAS PELA ORIGEM
	Seja o operador T: R2 ( R2 que reflete cada vetor x numa reta pela origem que faz um ângulo θ com o eixo positivo x. (Figura 6-4). Chamando de Hθ a matriz canônica da reflexão da figura 6-4, pode ser mostrado que:
	Hθ = [T(e1) T(e2)] = 
	(6-8)
De modo que a imagem do vetor x = (x, y) por essa reflexão é
	Hθx = 
						(6-9)
Fig. 6-4.
	As reflexões mais básicas são no eixo x (θ = 0o), no eixo y (θ = 90º) e na reta x = y (θ = 45º). A tabela 6-1 mostra um resumo dessas três reflexões.
TABELA 6-1
	OPERADOR
	IMAGENS DE e1 e e2
	MATRIZ CANÔNICA
	Reflexão no eixo y
T(x,y) = (–x, y)
	T(e1) = T(1, 0) = (–1, 0)
T(e2) = T(0, 1) = (0, 1)
	
	Reflexão no eixo x
T(x,y) = (x, –y)
	T(e1) = T(1, 0) = (1, 0)
T(e2) = T(0, 1) = (0, –1)
	
	Reflexão na reta y = x
T(x,y) = (y, x)
	T(e1) = T(1, 0) = (0, 1)
T(e2) = T(0, 1) = (1, 0)
	
Exemplo 14: Encontre a imagem do vetor x = (1, 1) pela reflexão na reta pela origem que faz um ângulo de 30º com o eixo positivo x.
Solução: Substituindo θ = 30º em (6-9) temos:
	Hπ/6x = 
Exercício:
1) Encontre a matriz canônica para a reflexão no R2 pela reta y = –x.
2) Encontre a imagem do vetor x = (3, 4) pela reflexão na reta y = 2x.
Resposta: (1,4 ; 4,8).
3) Encontre a matriz canônica da reflexão pela reta y = mx, em termos de m.
Observação: A matriz de reflexão tem seu determinante igual a –1. A recíproca não é verdadeira. 
PROJEÇÕES ORTOGONAIS SOBRE RETAS PELA ORIGEM
	Seja T: R2 ( R2 que projeta cada vetor x de R2 sobre uma reta pela origem ao longo de uma perpendicular à reta, como mostra a figura 6-5. Pode-se mostrar que essas projeções são lineares e, portanto, são operadores matriciais.
Fig. 6-5.
Pela figura 6-5 pode ser mostrado que:
	Pθx – x = ½(Hθx – x)
E, portanto, após algumas manipulações algébricas encontramos:
	Pθ = 
						(6-10)
De modo que a imagem do vetor x = (x, y) por essa projeção é
	Pθx = 
						(6-11)
Exemplo 15: Encontre a projeção ortogonal do vetor x = (1, 1) sobre a reta pela origem que faz um ângulo de π/12 rd com o eixo x.
Solução: Substituindo θ = 15º em (6-11) temos:
	Pπ/12x = 
Exercício: Encontre as matrizes canônicas das projeções ortogonais no R2 sobre os eixos coordenados x e y.
Observação: A matriz de projeção ortogonal tem seu determinante igual a zero. A recíproca não é verdadeira.
TRANSFORMAÇÕES COMPOSTAS
	Às vezes precisamos fazer várias transformações em seqüência sobre um dado vetor coluna x. Por exemplo, digamos que um vetor x deva ser girado de um ângulo ( e o resultado dessa transformação deva ser refletido sobre uma reta que forma um ângulo ( com o eixo x e em seguida o resultado deva ser projetado sobre uma reta que forma um ângulo ( com o eixo x. Então estas transformações poderiam ser realizadas assim:
Resultado da rotação: T(x) = R(x.
Resultado da reflexão: T(R(x) = H((R(x) = (H(R()x.
Resultado da projeção: T(H(R(x) = P((H(R(x) = (P(H(R()x.
O resultado final nos mostra que poderíamos ter realizado as três transformações seqüenciais simplesmente multiplicando o vetor x pela matriz canônica composta:
	[T] = P(H(R(.
Observe que a matriz composta é o produto das matrizes de cada transformação na seqüência inversa.
Exercício: Seja T: R2 ( R2 a transformação que projeta um vetor x ortogonalmente sobre o eixo x e em seguida reflete o vetor obtido no eixo y. Encontre a matriz canônica da transformação composta. Encontre o resultado destas transformações sobre o vetor (2, 1).
TRANSFORMAÇÕES DO QUADRADO UNITÁRIO
	O quadrado unitário em R2 é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). Muitas vezes é possível entender melhor algumas transformações esboçando as imagens desses vértices. Figura 6-6.
 O quadrado unitário O quadrado unitário girado Refletido no eixo y Refletido na reta y = x Projetado sobre x
Fig. 6-6
Exercício: Encontre os vértices do quadrado unitário pela rotação na origem de um ângulo de 60º . Esboce a imagem dessa transformação.
6-4 GEOMETRIA DE OPERADORES LINEARES
	Estudaremos nesta seção algumas propriedades geométricas de operadores lineares. As idéias desenvolvidas aqui têm aplicações na computação gráfica e em muitos algoritmos numéricos importantes.
OPERADORES LINEARES QUE PRESERVAM A NORMA
	As rotações em torno da origem e as reflexões em retas pela origem não modificam o comprimento de vetores nem o ângulo entre eles.
	Em geral, um operador linear T: Rn ( Rn com a propriedade ||T(x)|| = ||x|| é denominado um operador ortogonal ou uma isometria linear, ou seja, uma transformação que preserva medidas.
Teorema: Se T: Rn ( Rn é um operador linear de Rn, então as seguintes afirmações são equivalentes:
||T(x)|| = ||x|| para qualquer x em Rn.T(x)•T(y) = x•y para qualquer x e y em Rn.
Como o ângulo entre dois vetores é dado por:
	
então, por preservar o comprimento de vetores e o produto escalar, segue que um operador linear ortogonal preserva ângulos.
MATRIZES ORTOGONAIS
	Seja A a matriz canônica de um operador linear ortogonal T: Rn ( Rn. Como T(x) = Ax para cada x em Rn e como ||T(x)|| = ||x||, segue que:
	||Ax|| = ||x||.									(6-12)
Teorema: Se A é uma matriz n(n, então as seguintes afirmações são equivalentes:
ATA = I (A é ortogonal)
||Ax|| = ||x|| para qualquer x em Rn.
Ax•Ay = x•y para qualquer x e y em Rn.
det(A) = 1 ou det(A) = –1.
Desse teorema pode-se dizer que um operador linear é ortogonal se, e somente se, sua matriz canônica é ortogonal. Também podemos afirmar que todos operadores lineares ortogonais de R2 são rotações ou reflexões. Assim, se T: R2 ( R2 é um operador linear ortogonal, então a matriz canônica de T pode ser expressa por (6-6) ou (6-8). O determinante de A pode ser usado para distinguir entre os dois casos, já que:
	det(Rθ) = 1 (Rotação)		e	det(Hθ) = –1 (Reflexão)
Exemplo 16: Descreva o operador linear que corresponde à matriz A dada a seguir.
	(a) 
		(b) 
Solução (a): Os vetores-coluna ou vetores linha de A são ortogonais e unitários, portanto, A é ortogonal. E, como det(A) = 1, então o operador é uma rotação. Podemos determinar o ângulo de rotação comparando A com a matriz de rotação em (6-6). Isso dá:
	cosθ = 
 e senθ = 
 e podemos concluir que θ = 45º.
Solução (b): Verificamos que A também é ortogonal e, como det(A) = –1, então o operador é uma reflexão. Comparando essa matriz com a matriz de reflexão em (6-8), tiramos:
	cos2θ = 
 e sen2θ = 
 e podemos concluir que θ = 22,5º.
CONTRAÇÕES E DILATAÇÕES NO R2
	Se k é um escalar não negativo, então o operador linear T(x, y) = (kx, ky) é dito uma homotetia de razão k. Esse operador é uma contração se 0 < k < 1 e uma dilatação se k > 1. As contrações reduzem seus comprimentos na razão de k e as dilatações aumentam seus comprimentos na razão de k. Para qualquer uma delas a matriz canônica é:
	
A figura 6-7 ilustra a contração sobre o quadrado unitário e sobre um vetor x, e a figura 6-8 ilustra a dilatação.
Fig. 6-7.
Fig. 6-8.
COMPRESSÕES E EXPANSÕES HORIZONTAIS E VERTICAIS NO R2
	Um operador T(x, y) = (kx, y), onde k é uma constante não negativa, tem o efeito de expandir (k > 1) ou comprimir (0 < k < 1) na direção x. Já o operador 
T(x, y) = (x, ky) realiza as mesmas operações na direção y. As matrizes canônicas que realizam tais operações nas direções x e y são, respectivamente,
	
		
ou seja,
T(x, y) = 
 comprime ou expande o vetor (x, y) na direção x, e
	T(x, y) = 
 comprime ou expande o vetor (x, y) na direção y.
As figuras 6-9 e 6-10 ilustram compressões e expansões nas direções x e y, respectivamente, sobre o quadrado unitário.
				(a)						(b)
Fig. 6-9 (a) Compressão na direção x; (b) Expansão na direção x.
				 (a)						 (b)
Fig. 6-10. (a) Compressão na direção y; (b) Expansão na direção y.
CISALHAMENTO
	Um operador da forma T(x ,y) = (x + ky, y) translada um ponto (x, y) paralelamente ao eixo x por uma quantidade ky. Dizemos que esse operador é o cisalhamento na direção x de razão k. Se k for positivo, o cisalhamento é para a direita e se for negativo, o cisalhamento é para a esquerda. Analogamente, um operador linear da forma T(x, y) = (x, y + kx) é dito um cisalhamento na direção y de razão k. Se k for positivo, o cisalhamento é para cima e se for negativo, o cisalhamento é para baixo. A figura 6-11 fornece informação básica sobre os cisalhamentos de R2, sobre o quadrado unitário. As matrizes canônicas do cisalhamento nas direções x e y são respectivamente:
	
	 Cisalhamento horizontal: k > 0 e k < 0.
		Cisalhamento vertical: k > 0 e k < 0.
Fig. 6-11
Exemplo 17: Para cada uma das matrizes dadas a seguir, descreva o operador linear associado e mostre seu efeito sobre o quadrado unitário.
	
Solução: A matriz A1 corresponde a um cisalhamento na direção x de razão 2. A matriz A2 corresponde a uma dilatação de razão 2 e A3 corresponde a uma expansão na direção x de razão 2. Os efeitos sobre o quadrado unitário são mostrados na figura 6-12.
Fig. 6-12.
A figura a seguir mostra uma fotografia digitalizada de Einstein e duas transformações lineares computadorizadas
Exercício: Determine a matriz canônica resultante de uma transformação composta de um cisalhamento horizontal de razão 2 seguida de uma reflexão no eixo y. Esboce o efeito dessa transformação sobre o quadrado unitário.
OPERADORES LINEARES DE R3
	Como em R2, vamos querer distinguir entre operadores que preservam comprimentos (Operadores ortogonais) e os que não preservam. Os mais importantes que não preservam comprimentos são as projeções ortogonais sobre subespaços, sendo as mais simples, as projeções sobre planos coordenados do sistema xyz. A tabela 6-2 fornece informação básica sobre esses operadores.
Tabela 6-2: Projeções ortogonais sobre os planos coordenados.
	OPERADOR
	MATRIZ CANÔNICA
	Projeção ortogonal sobre o plano xy.
T(x, y, z) = (x, y, 0)
	
	Projeção ortogonal sobre o plano xz.
T(x, y, z) = (x, 0, z)
	
	Projeção ortogonal sobre o plano yz.
T(x, y, z) = (0, y, z)
	
Exercício: Encontre a imagem do vetor x = (–1, 2, 4) pela projeção ortogonal no plano z = 0.
Resposta: T(x) = (–1, 2, 0).
As matrizes ortogonais 3(3 correspondem a operações lineares de R3 dos seguintes tipos:
	Tipo 1: Rotações em torno de retas pela origem.
	Tipo 2: Reflexões em planos pela origem.
Tipo 3: Rotação em torno de uma reta pela origem seguida de uma reflexão num plano pela origem que é perpendicular à reta.
Se A é a matriz ortogonal 3(3 então, se det(A) = 1, ela representa uma rotação, ou seja, é uma operação do tipo 1. Se det(A) = –1, ela representa uma operação do tipo 2 ou 3. Para saber se é do tipo 2 ou 3 precisamos analisar seus autovalores e autovetores.
REFLEXÕES EM PLANOS COORDENADOS
	As reflexões mais básicas têm informações dadas na tabela 6-3. 
Tabela 6-3: Reflexões em planos coordenados.
	OPERADOR
	MATRIZ CANÔNICA
	Reflexão no plano xy.
T(x, y, z) = (x, y, –z)
	
	Reflexão no plano xz.
T(x, y, z) = (x, –y, z)
	
	Reflexão no plano yz.
T(x, y, z) = (–x, y, z)
	
Exercício: Encontre a imagem do vetor x = (–1, 2, 4) pela reflexão no plano x = 0.
Resposta: T(x) = (1, 2, 4).
ROTAÇÃO DE R3
	Uma rotação de R3 é um operador ortogonal como uma reta de pontos fixos, denominada eixo de rotação. Para simplificar, vamos estudar somente rotações em torno de retas pela origem e com ângulo de no máximo 180º.
	Então, se T: R3 ( R3 é uma rotação por um ângulo θ em torno de uma reta pela origem e se W é o plano pela origem que é perpendicular ao eixo de rotação, então T gira cada vetor não-nulo w de W em torno da origem por um ângulo θ até um vetor T(w) em W (Figura 6-13). Portanto, sobre o plano W, o operador T se comporta como uma rotação de R2 em torno da origem. A orientação u do eixo de rotação é escolhida tal que as rotações no plano W pareçam anti-horárias quando vistas a partir do ponto final de u. Se θ ≠ 0 e θ ≠ 180º, então podemos fazer isso tomando:
	u = w ( T(w).
Fig. 6-13.
	
As rotações mais básicas são em torno dos eixos coordenados conforme mostra a tabela 6-4.
Tabela 6-4: Rotação em torno dos eixos coordenados.
	OPERADOR
	MATRIZ CANÔNICA
	Rotação em torno do eixo x positivo
	
	Rotação em torno do eixo y positivo
	
	Rotação em torno do eixo z positivo.
	
Exercício: Encontre a imagem do vetor x = (1, 1, 1) pela rotação em R3, em torno do eixo positivo z, por um ângulo de 60º. 
Resposta: (–0,37; 1,37; 1).
ROTAÇÕES ARBITRÁRIAS
	Uma análisecompleta de rotações quaisquer envolve muitos detalhes para ser apresentado aqui. Então, vamos nos ocupar com apenas dois problemas básicos importantes:
Encontrar a matriz canônica, dado o eixo e o ângulo de rotação.
Dada a matriz canônica, encontrar o eixo e o ângulo de rotação.
A solução do primeiro problema é dada pelo teorema a seguir:
Teorema: Se u = (a, b, c) é o vetor unitário de orientação do eixo de rotação, então a matriz canônica Ru,θ da rotação pelo ângulo θ em torno do eixo pela origem com orientação u é dada por:
Ru,θ = 
	(6-13)
Exercício: Encontre a matriz canônica da rotação em R3, em torno da reta cuja orientação é dada pelo vetor (1, –1, 0), por um ângulo de 60º.
	A solução do segundo problema é resolvida como segue: o eixo de rotação consiste nos pontos fixos de A, então a reta que o descreve pode ser encontrada resolvendo o sistema linear:
	(I – A)x = 0.									(6-14)
	Uma vez conhecido o eixo de rotação, podemos encontrar um vetor não-nulo w no plano W pela origem que é perpendicular a esse eixo e orientá-lo usando o vetor: 
	u = w ( Aw.
Então, o ângulo θ será anti-horário em W e calculado pela fórmula:
	
								(6-15)
Exemplo 18: Mostre que a matriz 
 representa uma rotação em torno de uma reta pela 
origem de R3. Encontre o eixo e o ângulo de rotação.
Solução: A matriz A é de rotação, pois é ortogonal e det(A) = 1 (Comprove). Para encontrar o eixo de rotação precisamos resolver o sistema (I – A)x = 0, ou seja:
	
Cuja solução geral é x = 
. Assim, o eixo de rotação é uma reta pela origem que passa pelo ponto (1, 1, 1). O plano pela origem que é perpendicular a essa reta é dado pela equação:
	x + y + z = 0.
Para encontrar um vetor não-nulo w ( W escolhemos x = 1 e y = –1. Logo z = 0. Assim:
	w = 
Assim, a rotação de ângulo θ relativa à orientação u = w(Aw = (1, 1, 1) satisfaz a equação:
	 
 = –1/2.
O ângulo de rotação, portanto, é θ = 120º. (Figura 6-14).
Fig. 6-14.
	Para aplicações que envolvem muitas rotações, é desejável ter fórmulas para calcular o eixo e o ângulo de rotação. A fórmula para o ângulo, deduzida a partir de 
(6-13), é dada por:
	
								(6-16)
O eixo de rotação é dado pela fórmula de Dan Kalman:
	u = Ax + ATx + [1 – tr(A)]x.							(6-17)
onde A é a matriz de rotação e x é qualquer vetor não-nulo de R3 que não seja perpendicular ao eixo de rotação.
Exercício: Usando as equações (6-16) e (6-17), encontre o ângulo e o eixo de rotação no R3 dada a
matriz canônica 
Resposta: u = (a, 0, 0) com a > 0 e ( = 90º.
6.5 COMPUTAÇÃO GRÁFICA
	A área da computação gráfica se ocupa da exibição, transformação e animação de objetos bidimensionais e tridimensionais na tela do monitor de um computador. Nesta seção vamos nos ocupar apenas de transformações matriciais para mover e transformar objetos compostos de segmentos de reta.
ESTRUTURAS
	Os pontos, denominados de vértices, e os segmentos de retas que unem esses pontos, denominados de arestas, formam o que chamamos de uma estrutura. 
	Para um computador desenhar uma estrutura, precisamos fornecer as coordenadas dos vértices junto com a informação de quais vértices são ligados por arestas.
	A figura 6-15(a) mostra a estrutura de uma casa caída e a figura 6-15(b) tem os mesmos vértices da casa, mas ligados de maneira diferente.
				 (a)			 (b)
Fig. 6-15.
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL
Os vértices da estrutura são representados por vetores–coluna para compor a matriz de vértices. Por exemplo, a matriz de vértices representando as estruturas da figura 6-15 é dada por:
	
A ordem em que os vértices são listados é irrelevante.
	
As informações de como esses vértices estão conectados, podem ser armazenadas numa matriz de conexões C de tamanho n(n na qual a entrada da linha i e coluna j é 1 se o vértice da i-ésima coluna de V está conectado ao vértice da j-ésima coluna de V e é 0 caso contrário. Por exemplo, a matriz de conexões da estrutura da figura 6-15(a) é dada por:
	
Observação: As matrizes de conexões são sempre simétricas. Assim, para economia de espaço em disco do computador, precisamos armazenar apenas as entradas acima ou abaixo da diagonal principal.
Exemplo 19: Esboce a estrutura cujas matrizes de vértices e conexões são:
	
Solução: A estrutura é mostrada na figura 6-16.
Fig. 6-16.
TRANSFORMANDO ESTRUTURAS
	Agora vamos aplicar uma transformação linear à matriz de vértices de uma estrutura supondo que sua matriz de conexões é conhecida e que as ligações dos vértices transformados são descritas pela mesma matriz de conexões.
Exemplo 20: Vamos colocar de pé a casa caída da figura 6-15(a), resultando na figura 6-17. Para isso, precisamos fazer uma rotação no sentido anti-horário de seus vértices por 90º. A matriz canônica dessa rotação é:
	
A nova matriz de vértices obtida é:
	
O que confere com a figura 6-17.
Fig. 6-17.
Exemplo 21: Os caracteres usados em telas de monitores em geral têm uma versão de pé (romana) e uma versão inclinada (itálica). A versão itálica é obtida pelo cisalhamento da versão romana. Por exemplo, a figura 6-18(a) mostra a estrutura da letra T romana e a figura 6-18(b) mostra a versão itálica obtida pelo cisalhamento na direção positiva x por um ângulo de 15º. Encontre os vértices do T itálico com duas casas decimais de precisão.
		 (a)				 (b)			 (c)
Fig. 6-18.
A matriz de vértices do T romano, tirado a partir da figura 6-18(a) é:
	
A matriz do cisalhamento é dada por:
	
De modo que uma matriz de vértices do T itálico é:
	
	
TRANSLAÇÃO USANDO COORDENADAS HOMOGÊNEAS
	A translação é uma operação importante na computação gráfica. Entretanto ela não é uma operação linear e, portanto não é um operador matricial, ou seja, não existe matriz 2(2 ou 3(3 que translade vetores em R2 ou R3 pela multiplicação matricial. Teremos então que usar um artifício baseado no seguinte teorema relativo a matrizes em bloco:
Teorema: Se x e xo são vetores em Rn e se In é a matriz identidade n(n, então:
	
	Esse teorema diz que modificando x e xo + x pela adjunção de um componente adicional igual a 1, existe uma matriz (n + 1)((n + 1) que transforma o vetor x modificado no vetor xo + x modificado pela multiplicação matricial. Então, dado um vetor x = (x1, x2, ..., xn) em Rn, dizemos que o vetor (x1, x2, ..., xn, 1) modificado em Rn+1 representa o vetor x em coordenadas homogêneas.
Exemplo 22: A translação do vetor x = (x, y) por xo = (2, 3) produz o vetor 
x + xo = (x + 2, y + 3). Usando o teorema anterior, podemos efetuar essa conta em coordenadas homogêneas como:
	
O vetor transladado pode agora ser recuperado ignorando o 1 final.
Exemplo 23: Use multiplicação matricial para transladar a casa de pé da figura 6-19(a) para a posição mostrada na figura 6-19(b).
				 (a)		 (b)
Fig. 6-19.
 Solução: A matriz de vértices da casa de pé é:
	
Para transladar a casa à posição desejada precisamos transladar cada vetor-coluna de V por:
	xo = 
Pelo teorema anterior, essas translações podem ser obtidas em coordenadas homogêneas pela multiplicação com a matriz de translação dada por:
	T =
Convertendo os vetores-coluna de V para coordenadas homogêneas, podemos transladar todos os vértices de uma vez com a única multiplicação matricial:
	
Ignorando a última linha dessa matriz, temos a matriz de vértices da casa transladada:
Um problema com a translação ainda persiste: por exemplo, uma rotação em R2 é executada por uma matriz 2(2, enquanto que uma translação necessita de uma matriz 3(3. Uma saída para isso é executar todas as transformações básicas em coordenadas homogêneas. O próximo teorema nos permite fazer isso. 
Teorema: Se A é uma matriz n(n e x é um vetorem Rn dado em forma de coluna, então:
	
Exemplo 24: Uma rotação em torno da origem por um ângulo θ no vetor x = (x,y) resulta em:
	
Usando o teorema anterior podemos escrever essa mesma equação em coordenadas homogêneas:
	
Exemplo 25: A figura 6-19(b) pode ser vista como uma seqüência de transformações das figuras 6-15(a) e 6-17, ou seja, uma rotação seguida de uma translação. Para compor essas transformações usando uma única multiplicação matricial em coordenadas homogêneas, devemos primeiro expressar a matriz de rotação por:
	
 
Como a matriz da translação é:
	T = 
A composição da translação com a rotação pode ser executada em coordenadas homogêneas como segue:
	TR90 =
	TR90V = 
Assim, descartando a última linha de 1s obtemos os vértices da estrutura desejada.
			
�
PROBLEMÁTICA.
1) Seja T: V→ W uma transformação linear. Mostrar que:
	(a) T(–v) = –T(v)
	(b) T(u – v) = T(u) – T(v).
2) Determinar se as seguintes transformações são lineares
T: R ( R definida por T(x) = 3x.
T: R2 ( R definida por T(x, y) = x + y.
T: R2 ( R2 definida por T(x, y) = (3x + y, 2x – 2y).
3) Seja o operador linear no R3 definido por:
	T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y – z, –x + y + 4z).
	(a) Determinar o vetor u ( R3 tal que T(u) = (–1, 8, –11). 
	(b) Determinar o vetor v ( R3 tal que T(v) = v. 
4) Mostre que a transformação T: R3 ( R2 definida por T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 – x3) é linear e encontre sua matriz canônica.
5) Se T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, 3x1), encontre o domínio de T e a imagem de x = (1, –2) por T.
6) Se T(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, x1 – 2x3), encontre o domínio de T e a imagem de 
x = (0, –1, 4) por T.
7) Seja a transformação TA cuja matriz canônica A é dada. Encontre se houver um vetor x cuja imagem por TA é b.
	(a) 
	(b) 
8) Nas transformações a seguir, encontre a matriz canônica de T e use-a para calcular T(x).
T(x1, x2) = (-x1 + x2, x2); x = (–1, 4).
T(x1, x2, x3) = (2x1 – x2 + x3, x2 + x3, 0); x = (2, 1, –3). 
9) Nas matrizes ortogonais a seguir, determine se a multiplicação por A é uma rotação em torno da origem ou uma reflexão numa reta pela origem. Encontre o ângulo de rotação ou o ângulo que a reta faz com o eixo positivo x.
	(a) 
	(b) 
	(c) 
	(d) 
10) Para cada uma das operações a seguir encontre a matriz canônica do operador linear no R2.
Contração de razão 1/5
Compressão na direção x de razão 1/3
Expansão na direção y de razão 3
Dilatação de razão 5
Cisalhamento na direção x de razão 3.
11) Esboce a imagem do retângulo de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 2) e (0, 2) pelas seguintes transformações:
Reflexão no eixo x
Reflexão no eixo y
Compressão na direção y de razão 1/4
Expansão na direção x de razão 3
Cisalhamento na direção x de razão 3
Cisalhamento na direção y de razão 2.	
12) Esboce a imagem do quadrado unitário pela multiplicação por A dada a seguir:
	(a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
13) Use a multiplicação matricial para encontrar a reflexão do vetor (2, 5, 3) no plano:
	(a) xy		(b) xz		(c) yz.
14) Use a multiplicação matricial para encontrar a projeção ortogonal do vetor (–2, 1, 3) no plano:
	(a) xy		(b) xz		(c) yz.
15) Encontre a matriz canônica do operador linear que efetua a rotação em R3 pelo ângulo:
90º em torno do eixo x positivo.
90º em torno do eixo y positivo
–90º em torno do eixo z positivo.
16) Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor (–2, 1, 2) pela rotação:
Por um ângulo de 30º em torno do eixo x positivo.
 Por um ângulo de 45º em torno do eixo y positivo.
Por um ângulo de -60º em torno do eixo z positivo.
17) Mostre que a matriz A representa uma rotação em torno da origem de R3 e encontre o eixo e o ângulo de rotação.
	
18) Esboce a estrutura cujas matrizes de vértice e conexões estão dadas a seguir:
	(a) 
	(b) 
19) Encontre, se existir, a matriz canônica para cada uma das transformações a seguir:
	a) T(x, y) = (2x, 0, x + y)
b) T(x, y) = (x + y, x)
c) T(x, y, z) = (x, x + y + z)
d) T(x, y) = (x + 1, y)
e) T(x, y, z) = (3x – 4y, 2x – 5z).
20) Qual é a transformação linear T:R2 ( R3 tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e 
T(0, –2) = (0, 1, 0)?
21) Qual é a transformação linear T:R3 ( R2 tal que T(3, 2, 1) = (1, 1), 
T(0, 1, 0) = (0, –2) e T(0, 0, 1) = (0, 0)?
22) No plano uma rotação anti-horária de 45º é seguida por uma dilatação de √2. Ache a matriz canônica que representa essa transformação.
							 		
23) Qual é a matriz canônica que representa uma contração de 1/√2 seguida por uma rotação horária de 45º?
24) Use a equação (6-13) para encontrar a imagem de x = (1, –2, 5) na rotação por um ângulo de 45º em torno de um eixo pela origem orientado na direção e sentido de 
u = (2/7, 3/7, 6/7). 
25) Um vetor em R3 primeiro é girado 45º em torno do eixo x positivo, depois o vetor resultante é girado 45º em torno do eixo y positivo e em seguida o vetor resultante é girado 45º em torno do eixo z positivo. Encontre um eixo apropriado e um ângulo de rotação que dá o mesmo resultado em uma única rotação.
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